.
Ответ: 
.
Алгебраическое решение
Данное уравнение легко «превратить» в рациональное уравнение восьмой степени возведением обеих частей исходного уравнения в квадрат. Поиск корней получившегося рационального уравнения затруднен, и необходимо обладать высокой степенью изобретательности, чтобы справиться с задачей. Поэтому целесообразно знать иной способ решения, менее традиционный. Например, подстановку 
, предложенную И. Ф. Шарыгиным [57].
Положим 
, тогда
Преобразуем правую часть уравнения 
:
.
С учетом преобразований уравнение 
примет вид
.
Введем замену 
, тогда
.
Второй корень является лишним, поэтому 
, а 
.
Ответ: 
.
Если заранее не известна идея решения уравнения 
, то решать стандартно возведением обеих частей уравнения в квадрат проблематично, так как в результате получается уравнение восьмой степени 
, найти корни которого чрезвычайно сложно. Решение с помощью тригонометрической подстановки выглядит громоздким. Могут возникнуть трудности с поиском корней уравнения 
, если не заметить, что оно является возвратным. Решение указанного уравнения происходит с применением аппарата алгебры, поэтому можно сказать, что предложенное решение является комбинированным. В нем сведения из алгебры и тригонометрии работают совместно на одну цель – получить решение. Также решение указанного уравнения требует аккуратного рассмотрения двух случаев. Решение заменой 
технически проще и красивее, чем с помощью тригонометрической подстановки. Желательно, чтобы учащиеся знали такой способ замены и применяли его для решения задач.
Подчеркнем, что применение тригонометрической подстановки для решения задач должно быть осознанным и оправданным. Использовать подстановку целесообразно в тех случаях, когда решение другим способом сложнее или вовсе невозможно. Приведем еще один пример, который, в отличие от предыдущего, проще и быстрее решается стандартным способом.
Пример 5. Решить уравнение
[51].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как переменная 
может принимать любые действительные значения, можно положить 
. Уравнение примет вид
.
В силу того, что 
, можно раскрыть модуль
.
Так как 
, то 
.
Ответ: 
.
Алгебраическое решение
Проверкой убеждаемся, что 
– корень.
Ответ: .
1.2 Рациональные уравнения
Тригонометрическая подстановка применяется при решении рациональных уравнений, когда уравнение не имеет рациональных корней или найденные рациональные решения не исчерпывают всего множества решений уравнения.
При решении иррациональных уравнений возможность введения тригонометрической подстановки была видна по структуре уравнения. В нескольких следующих задачах применение метода тригонометрической подстановки не так очевидно. Вот почему прежде чем ввести подстановку, нужно доказать законность такого введения.
Пример 1. Сколько корней имеет уравнение
[37].
Решение этой задачи любым методом начинается одинаково. Докажем, что все корни данного уравнения принадлежат промежутку 
. Действительно, если
.
Но тогда в исходном уравнении слева стоит произведение больше восьми, а справа единица, что невозможно.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим 
. Тогда каждому корню 
исходного уравнения будет соответствовать ровно один корень 
, где 
. Наоборот, каждому корню 
уравнения соответствует ровно один корень исходного уравнения. Таким образом, задача может быть переформулирована так: сколько корней на промежутке 
имеет уравнение
.
Так как 
и 
, то можно взять 
. Заметим, что если 
- корень данного уравнения, то и 
тоже корень. Вот почему достаточно рассмотреть 
, то есть отыскать только положительные решения. С учетом выше изложенного исходное уравнение перепишется в виде
.
Так как , то можно обе части равенства умножить на 
, получим
.
Ответ: шесть корней.
Алгебраическое решение
Так как выражение от правой части равенства четное и и 
, выясним вопрос о наличии корней на промежутке 
. Проверкой устанавливаем, что 
– корень. Рассмотрим функции от правой и левой частей уравнения, то есть функции 
и 
. Так как
и функция 
непрерывна на числовой прямой, то найдутся такие значения 
и 
, что 
. Поэтому на промежутке 
уравнение имеет три корня, а на всей числовой прямой – шесть корней.
Ответ: 6 корней.
В данном случае можно решать любым способом, но если количество корней на небольшом промежутке достаточно велико, вычисления могут оказаться громоздкими, и сам метод неэффективным. В этом случае на помощь приходит метод тригонометрической подстановки. Надо заметить, что решить вопрос о количестве корней можно с помощью производной, но в данном случае такое решение мало эффективно, так как затруднительно найти нули производной.
Пример 2. Решить уравнение
.
Если для выше приведенных задач не удается найти нетрадиционный путь решения, то все равно остается вероятность справиться с задачей с помощью стандартных школьных рассуждений, правда, затратив при этом гораздо больше времени. Эта задача лишает такого выбора, так как ее решение другим способом не представляется возможным.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Поделим все члены уравнения на 2. Уравнение примет вид
.
Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы. Пусть 
, тогда 
. Получили, что при 
левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно.
Положим 
. Уравнение примет вид
.
Условию 
удовлетворяют три значения
.
Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше трех различных корней, то мы нашли все решения.
Ответ: 
.
1.3 Показательные уравнения
Приведем пример задания, решить которое без введения тригонометрической подстановки не представляется возможным.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Пусть 
, тогда уравнение перепишется в виде
.
Введем замену 
, получим
.
Это уравнение мы уже решали[1]. Его корни
.
Два последних значения меньше нуля, поэтому нам подходит только 
. Перейдем к переменной 
, а затем к переменной 
.
Ответ: 
.
Решение систем
В данном параграфе предложены системы повышенной сложности, решить которые, не зная специальных методов решения, сложно.
Пример 1. Решить систему уравнений
[3].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как квадрат суммы чисел и 
равен единице, то каждое из этих чисел по модулю не превосходит единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому можно положить 
Второе уравнение системы примет вид
.
Условию 
удовлетворяют четыре значения
.
.
.
.
.
Ответ: 
; 
; 
; 
.
Алгебраическое решение
.
Пусть 
, тогда 
. Имеем
.
Подберем 
так, чтобы многочлен, стоящий в правой части равенства, стал полным квадратом. Для этого он должен иметь один двукратный корень, то есть
.
Подбором находим, что 
является корнем уравнения
.
Подставим в уравнение 
, после чего оно примет вид
.
Перейдем к переменной 
Подставив получившиеся значения переменной во второе уравнение системы, найдем соответствующие значения переменной 
Ответ: ; ; ; .
Пример 2. Сколько решений имеет система уравнений
[18].
Здесь представлена так называемая циклическая система уравнений. Подобные системы часто предлагаются на вступительных экзаменах в вузы с повышенными требованиями по математике [30]. Решить эти системы, не зная специальных методов решения, очень сложно. В данном случае подбором устанавливается решение 
. Попытки доказать, что система не имеет других решений, положительных результатов не дают. Неоценимую помощь в решении такого класса задач оказывает метод тригонометрической подстановки.
Перепишем систему в виде
.
Докажем, что все числа 
по абсолютной величине не превосходят единицы. Пусть – максимальное из чисел 
и 
, то 
. Пришли к противоречию. Если число – минимальное и 
, то 
. Опять пришли к противоречию. Итак 
.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Положим 
. Тогда 
, 
, 
. Число решений исходной системы равно числу решений уравнения
.
Условию 
удовлетворяет 27 решений
.
Ответ: 
.
Алгебраическое решение
Выразим переменную 
.
Выяснить количество корней полученного уравнения с помощью производной или другим способом чрезвычайно трудно, поэтому в данном случае самый эффективный способ решение – решение с помощью тригонометрической подстановки.
Доказательство неравенств
Как правило, навыки решения и доказательства неравенств, за исключением квадратичных, формируются на более низком уровне, чем уравнений. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Тем не менее, многие приемы и методы решения неравенств совпадают с приемами и методами решения уравнений. В том числе, к доказательству неравенств применим метод замены переменной. При этом замена переменных, входящих в неравенство, с одной стороны, сокращает число переменных, а с другой, позволяет привести неравенство к виду, более удобному для исследования его свойств.
Пример 1. Доказать, что 
[43].
При 
неравенство верное.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Для любых 
найдется угол 
, что 
. Исходное неравенство примет вид
.
Так как , то 
. Умножим обе части неравенства на 
, получим
.
Второй множитель всегда положительный, а первый не превосходит 0, поэтому все произведение не положительно.
Алгебраическое решение
Выполним решение с помощью тождественных преобразований. Для этого рассмотрим разность
.
Оба решения по простоте реализации не уступают друг другу. Решение с помощью тригонометрической подстановки может быть дано как один из возможных способов решения.
Пример 2. Известно, что 
. Доказать, что 
[9].
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Так как сумма квадратов 
и 
равна единице, то каждое из чисел 
и 
по абсолютной величине не превосходит единицы, и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Поэтому законна подстановка
.
Аналогично 
. Доказываемое неравенство запишется в виде
.
Алгебраическое решение
Алгебраическое решение в данном случае будет состоять в возведении обеих частей неравенства в квадрат и выполнении тождественных преобразований.
.
Обычно неравенство 
при заданных условиях доказывается, когда изучаются приложения комплексных чисел. Но еще до изучения комплексных чисел оно может быть рассмотрено с учащимися, причем доказательство с помощью тригонометрической подстановки довольно компактно. Единственное, на что в данном случае следует обратить внимание учащихся – полное обоснование введения подстановки.
Дата: 2019-05-29, просмотров: 188.
