Решение уравнений

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, так как с их помощью легко диагностируется знание таких понятий, как равносильные преобразования, область определения и другие. Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. Эквивалентность не нарушается при возведении обеих частей в нечетную степень. В противном случае требуется проверка найденных решений или оценка знака обеих частей уравнения. Но существуют и другие приемы, которые могут оказаться более эффективными при решении иррациональных уравнений. Например, метод тригонометрической подстановки.

Пример 1.  Решите уравнение

 [12].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как , то . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

.

Положим , где , тогда

.

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

.

Так как , то . Значит, , поэтому можно раскрыть модуль

.

Ответ: .

Решение уравнения алгебраическим способом требует хорошего навыка проведения тождественных преобразований и грамотного обращения с равносильными переходами. Но в общем оба приема решения равноценны.

Пример 2. Решите уравнение

 [14].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Область определения уравнения задается неравенством , что равносильно условию , тогда . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

.

Так как , то . Раскроем внутренний модуль

.

Положим , тогда

.

Условию  удовлетворяют два значения  и .

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

.

Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим

.

Пусть , тогда . Уравнение перепишется в виде

.

Проверкой устанавливаем, что  – корень, тогда делением многочлена  на двучлен получаем разложение правой части уравнения на множители

.

От переменной  перейдем к переменной , получим

.

Условию  удовлетворяют два значения

.

Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что  – корень.

Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности, находим, что  тоже корень.

Ответ: .

Если в предыдущем примере алгебраическое решение и решение с помощью тригонометрической подстановки были равноценны, то в данном случае решение подстановкой выгоднее. При решении уравнения средствами алгебры приходится решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат. После этого неравносильного преобразования получаются два уравнения четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от которых помогает замена. Еще одна трудность – проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение.

Пример 3. Решите уравнение

 [31].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как , то . Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду

.

Множитель в скобках в левой части уравнения положительный, правая часть уравнения тоже положительная, поэтому множитель  в левой части уравнения не может быть отрицательным. Вот почему , тогда , поэтому можно положить  Исходное уравнение перепишется в виде

.

Так как , то  и . Уравнение примет вид

.

Пусть . Перейдем от уравнения к равносильной системе

.

Числа  и  являются корнями квадратного уравнения

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение