Для решения алгебраических задач
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
С. И. Торопова
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии О. С. Руденко
Рецензент:
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры алгебры и геометрии
Е. М. Ковязина
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Метод замены переменной при решении задач.............................. 7
§1. Общие положения.................................................................................. 7
§2. Тригонометрическая подстановка........................................................ 9
Глава 2. Применение метода тригонометрической подстановки при решении задач........................................................................................................................ 11
§1. Решение уравнений............................................................................. 11
1.1 Иррациональные уравнения........................................................... 11
1.2 Рациональные уравнения................................................................ 23
1.3 Показательные уравнения............................................................... 26
§2. Решение систем.................................................................................... 27
§3. Доказательство неравенств................................................................. 32
§4. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции...................................................................................................... 35
§5. Решение задач с параметрами............................................................ 43
Глава 3. Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» на факультативных занятиях по математике........................................................................................................................ 48
Заключение.................................................................................................... 63
Литература.................................................................................................... 65
Приложение................................................................................................... 70
Введение
Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория и развиваются логическое мышление и творческие способности. Развитие творческих способностей учащихся старших классов при обучении математике осуществляется более эффективно при вовлечении их в творческую деятельность, которая включает в себя:
1. Осознание, что данная конкретная задача есть представитель класса однородных задач.
2. Отыскание различных вариантов решения, их сопоставление, выявление сильных и слабых сторон каждого способа решения с целью выбора из них наиболее рационального, простого, «изящного». Сравнение и анализ различных решений одной задачи делает знания более прочными и осознанными. Установлено, что решение одной и той же задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд такого же числа стереотипных заданий.
3. Самостоятельное комбинирование известных способов деятельности.
4. Изобретение, по крайней мере, для данной задачи принципиально нового приема решения.
Для развития творческих способностей учащихся наиболее ценными являются сложные и нестандартные задачи. Решение сложных задач по математике во многом зависит от опыта их решения, от степени овладения методами их решения и техникой преобразований. Нестандартные задачи – это задачи, для решения которых у учащихся нет готового алгоритма и нужен самостоятельный поиск ключевой идеи. При решении нестандартных задач формируется математическая культура, воспитывается гибкость ума и осуществляется постижение единства математики. Вот почему, по мнению Д. Пойа, «нестандартные задачи могут способствовать интеллектуальному развитию ученика, чего нельзя сказать о стандартных» [36].
Важнейшим источником нестандартных задач являются олимпиадные и конкурсные задания. Как правило, нестандартные задачи требуют нестандартного подхода к их решению. Важно, чтобы у учащихся был создан запас методов решения нестандартных задач, так как не всегда школьники могут самостоятельно додуматься до нестандартного метода решения.
С точки зрения стандартных школьных методов решения алгебраических задач метод тригонометрической подстановки является нестандартным приемом. С другой стороны, тригонометрическая подстановка позволяет решать сложные многоходовые задачи. Она применяется при решении таких алгебраических задач, которые своими средствами не решаются или решаются очень сложно.
Учащиеся классов с углубленным изучением математики знакомятся с методом тригонометрической подстановки [21], [57] но есть смысл в более подробном и глубоком его изучении. Необходимость в таком изучении в классах с углубленным изучением математики обусловлена следующими положениями.
1. Углубленное изучение предполагает наполнение курса разнообразными, интересными и нестандартными задачами, которые играют существенную роль в развитии творческих способностей учащихся. Применение тригонометрической подстановки для решения задач позволяет дать эффективный способ решения нестандартных олимпиадных задач [8], [9], [16], [25], [29].
2. Учащиеся классов с углубленным изучением математики в условиях серьезного конкурса на вступительных экзаменах в вузы с профилирующим изучением математики окажутся перед необходимостью решить трудные и очень трудные задачи. Неоценимую помощь в таком решении им может оказать метод тригонометрической подстановки [4], [10], [30], [31], [37]-[40], [44], [51], [52].
3. Задачи, предлагаемые к решению с помощью тригонометрической подстановки, базируются на достаточно высоком уровне владения техникой как алгебраических, так и тригонометрических преобразований. Это позволяет оценить метод решения и применить его в сходной ситуации.
4. Применение тригонометрической подстановки приучает учащихся к полноте аргументации введения подстановки для решения задач.
5. Применение тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач направлено на установление взаимосвязи различных разделов математики, а именно: алгебры и тригонометрии. Важно воспитать у учащихся смелости и находчивости в поиске способов решения задач не только в ближайшем окружении условия, но и в более широкой, иногда неожиданной области.
Наиболее уместно организовать работу, посвященную применению тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач, на факультативных занятиях по математике. При этом целесообразно предложить учащимся для решения разнообразные задачи: рациональные и иррациональные уравнения, неравенства, их системы, задания на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, задачи с параметрами. Желательно создать такую работу, которая бы содержала в себе подборку из разнообразных алгебраических заданий, решаемых с помощью тригонометрической подстановки, не ограничиваясь рассмотрением отдельного класса задач.
Цель работы: разработать методику применения тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач старшими школьниками на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики.
Объект исследования: процесс применения тригонометрической подстановки как метода решения разнообразных алгебраических задач.
Предмет исследования: организация деятельности учащихся по овладению тригонометрической подстановки на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики.
При исследовании исходим из гипотезы, что применение методики, разработанной на основе сравнительного анализа решения большого числа задач, позволит развить творческие способности учащихся и подготовит их к вступительным экзаменам в серьезные вузы.
Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:
1. Выявить теоретические основы возможности введения тригонометрической подстановки.
2. Провести сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее.
3. На основе проведенного сравнительного анализа разработать методику изучения тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач на факультативных занятиях по математике в старших классах с углубленным изучением математики.
4. Провести опытное испытание эффективности разработанной методики.
Глава 1
Метод замены переменной при решении задач
Общие положения
Переход к новым обозначениям, замена неизвестных – существенный прием и метод, который применяется при решении самых различных задач как элементарной, так и высшей математики. Очень важно, чтобы этот прием и метод был прочно усвоен и освоен в школе, так как идея замены переменной является сквозной и в том или ином виде фигурирует практически во всех разделах школьной математики.
Существуют два подхода к определению метода замены переменной. Если уравнение 
удалось преобразовать к виду 
, то нужно ввести новую переменную 
, решить уравнение 
, а затем рассмотреть совокупность уравнений
где 
– корни уравнения . Чтобы при замене не потерять корней, достаточно убедиться, что каждому значению 
из рассматриваемой области соответствует хотя бы одно значение 
, удовлетворяющее равенству 
.
В отличие от описанного выше метод равносильной замены требует нахождения множества значений переменной . В данном случае накладывается требование: каждому значению из рассматриваемой области соответствует ровно одно значение переменной , удовлетворяющее равенству . Такой подход ведет к сохранению области определения исходного уравнения и не требует перехода к совокупности.
Подобные замены порой существенно упрощают решение. Замена переменных и переход к новым обозначениям облегчают выкладки и делают громоздкое алгебраическое выражение компактным и обозримым. Вот почему следует приучать школьников при решении задач не торопиться начинать преобразования: пусть они сначала посмотрят, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. При этом не стоит забывать, что, во-первых, далеко не всегда замена бывает столь уж необходима. Во-вторых, если приходится прибегать к замене неизвестной, то стоит сразу подобрать ее так, чтобы она вбирала в себя по возможности большее количество неприятных деталей, затрудняющих решение.
Умение удачно ввести новую переменную – важнейший элемент математической культуры школьника. При этом искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.
Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается». В более сложных случаях, для того чтобы найти удачную замену неизвестной, требуется дополнительная творческая работа, которая впоследствии окупается простотой и изящностью решения.
Учить методу замены, выбору удачных новых переменных следует специально еще и потому, что не всегда учащиеся могут додуматься до него самостоятельно. В таких случаях удобную подстановку желательно знать заранее. Особенно трудно учащимся представить себе, что вместо переменной можно подставить тригонометрическую функцию, поскольку при этом, как кажется, алгебраическое выражение усложняется. Однако известные свойства тригонометрических функций упрощают некоторые уравнения, неравенства и их системы, в то время как прямое алгебраическое решение оказывается более сложным технически. Таким образом, тригонометрическую подстановку можно назвать нестандартным методом решения стандартных по постановке задач – уравнений, неравенств и их систем.
§2. Тригонометрическая подстановка
Тригонометрическая подстановка является одним из способов реализации метода замены переменной и используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.
Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной 
определяются неравенством 
, то удобны замены 
или 
. В первом случае достаточно рассмотреть 
, так как на этом промежутке непрерывная функция 
возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Непрерывная функция 
убывает на промежутке 
, поэтому также каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Вот почему в случае замены 
, достаточно взять 
. Причем какую из двух подстановок выбрать, зависит от конкретной ситуации.
В случаях, когда переменная может принимать любые действительные значения, используются замены 
или 
, так как область значения функции 
и 
на соответствующих промежутках есть множество всех действительных чисел.
Реже используются замены 
или 
, где 
, а выбор значений 
снова зависит от конкретной ситуации.
Когда выражение зависит от двух переменных 
и 
, целесообразно положить , 
, где 
. Такая замена законна. Действительно, для любых и существует такое 
, что 
. При 
имеем 
. А числа, сумма квадратов которых равна единице, по модулю не превосходят единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Геометрический смысл такой замены состоит в следующем: для каждой точки 
определяется расстояние 
до начала координат и угол 
наклона вектора к положительному направлению оси абсцисс.
И последнее замечание. Реализовать такую подстановку не так уж трудно, главное и, наверное, самое сложное – суметь ее увидеть. Поэтому целесообразно помочь учащимся научиться распознавать «приметы» тригонометрических подстановок. Содержание следующей главы направлено на выработку соответствующих умений.
Глава 2
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА
Дата: 2019-05-29, просмотров: 203.
