Выясним, как будут влиять погрешности измерения отдельных величин на погрешность искомой величины. Пусть искомая величина W является функцией нескольких величин (x₁, x ₂,…, x_n), измеряемых непосредственно в опыте:

                      W = f (x₁, x ₂,…, x_n).                                (3)

Если бы ошибки в измерении x₁, x ₂,…, x_n были бесконечно малыми, то погрешность в расчете величины W определялась бы ее полным дифференциалом:

          .                     (4)

В действительности погрешности в измерениях x₁, x ₂,…, x_n будут конечными величинами, поэтому максимально возможная относительная ошибка определяется как

.        (5)

В соответствии с теорией погрешностей, принимая закон распределения погрешностей измеряемых величин нормальным, искомую величину относительной погрешности определяемой функции W = f (x₁, x ₂,…, x_n) находим как среднеквадратическую:

                 ,                           (6)

где δ x₁, δ x₂, …, δ x_n – относительные погрешности величин x₁, x ₂,…, x_n, которые измеряются при определении искомой величины W.

Пример

На экспериментальной установке (лабораторная работа № 22) методом проточного калориметрирования измеряется изобарная теплоемкость  воздуха.

В соответствии с выражением (1) путем измерений нужно определить подводимый тепловой поток Q_эл (Вт, Дж/с), массовый расход воздуха  и изменение его температуры Dt. Класс точности вольтметра и амперметра известен и составляет 1,5 для каждого прибора, т.е. при измерении силы тока I и напряжения U_эл на электронагревателе возможна ошибка (приведенная погрешность) 1,5 %, а погрешность определения теплового потока составляет δ Q_Эл=

Измерение температур t₁ и t₂ осуществлялось по показаниям милливольтметра, подключенного в цепь термопар, с использованием градуировочного графика. Класс точности этого прибора неизвестен. В этом случае относительная погрешность показания милливольтметра определяется следующим образом:

                           ,

где  - абсолютная погрешность, принимается равной половине цены деления шкалы прибора, в нашем случае с учетом чувствительности прибора составляет 5 мВ;

    е - замеренные показания прибора.

Предположим, что е = 200 мВ. Тогда

.

Затем в соответствии с показаниями милливольтметра по градуировочному графику  рассчитывается . При этом допускается появление еще двух погрешностей:

– по оси х        ,

– по оси y         ,

где на миллиметровой бумаге Dx = 0,5 мм, Dy = 0,5 мм.

В данном примере на е = 200 мВ приходится х = 75 мм, а соответственно y = 57,5 мм.

Тогда , .

Таким образом, только при измерении разности температур возможная погрешность измерения составила

.

Аналогично рассчитывается погрешность измерения объемного расхода:

                  ,

где  - показания ротаметра.

Пусть =16 делениям, цена деления шкалы ротаметра =0,5, тогда =1,56%.

По градуировочному графику при =16 величина V_x = 160 мм и V_y = 84 мм, тогда  = 0,31% и  = 0,60%.

Таким образом, погрешность определения объемного расхода будет равна

Массовый расход воздуха рассчитывается по уравнению Клапейрона-Менделеева:

                          , кг/с,

куда, кроме объемного расхода воздуха, еще входят измеряемые в опыте давление  р  (принимается равным барометрическому  В, цена деления шкалы барометра 0,5 мм рт. ст.) и температура  Т, определяемая по ртутному термометру с ценой деления 0,2 °С. Измеренные значения давления и температуры: B=755 мм.рт.ст., Т = 293 К. Тогда

 = 0,033%;  =0,034%.

Следовательно, погрешность измерения массового расхода составит

%.

Таким образом, с учетом всех ошибок при измерениях относительная среднеквадратическая погрешность определения теплоемкости составляет

%.

Подробнее эти вопросы рассмотрены в [1].

Лабораторная работа 21