Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Уравнение затухающих гармонических колебаний в дифференциальной форме имеет вид:

,

где β=const > 0 — коэффициент затухания,

ω₀ - циклическая частота сво­бодных незатухающих колебаний той же системы.

Решением этого уравнения является: ,

 где , .

Следовательно, затухающие колебания не являются периодическими. Максимальное значение колеблющейся величины никогда не повторяется. 

 

Однако при затухающих колебаниях величина x обращается в нуль, а также достигает максимальных и минималь­ных значений через равные промежутки времени. Поэтому величины T и ω условно называют периодом (условным периодом) и циклической частотой (условной циклической частотой) затухающих колебаний.

Величина называется амплитудой затухающих колебаний, соответственно А₀ - начальной амплитудой.

Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина , равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды за­тухающих колебаний в моменты времени t и t + T .

= .

Вынужденные колебания

 совершаются под действием внеш­ней периодически изменяющейся силы, которую называют вы­нуждающей.

Вынуждающей, или возмущающей силой называется переменная внешняя сила, прило­женная к системе и вызывающая ее вынуж­денные механические колебания.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

.

Если возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, т.е. F_X = F ₀ cos t , то установившиеся вынужденные колебания маятника также гар­монические с той же частотой:

.

Амплитуда этих колебаний А и сдвиг фаз  между смещением и возму­щающей силой зависят от соотношения между циклическими частотами вынужден­ных колебаний  и свободных незатухающих колебаний маятника :

, .

 Механическим резонансом называется резкое возрастание амплитуды вынужденных механических колебаний при приближении циклической частоты возмущающей силы к значению .

                                                  , .

По мере увеличения коэффициента затухания пики на резонансных кривых быстро сглаживаются, а резонансная ча­стота медленно уменьшается.

4.1.Какая величина называется:

а) периодом,

б) частотой,

в) амплитудой,

г) фазой колебания,

д) коэффициентом затухания,

е) логарифмическим декрементом затухания?

4.2.Какой вид имеют дифференциальные уравнения: а) свободных незатухающих колебаний, б) затухающих колебаний, в) вынужденных колебаний?

4.3.Как выглядят уравнения: а) свободных незатухающих колебаний,                 б) затухающих колебаний, в) вынужденных колебаний?

4.4.Что такое резонанс и когда он возникает?

4.5.Пользуясь графиком, найдите чему равен модуль скорости в момент времени с.

4.6.Напишите уравнение гармонического колеба­тельного движения с амплитудой в 5 см , если за 1 мин совершается 150 колебаний и начальная фаза колеба­ний равна 45°.Найдите закон изменения скорости и ускорения. Чему равна максимальная возвращающая сила, если масса тела 100 г? Найдите полную механическую энергию системы. Начертите график этого движения.  [х=0,05cos(5πt+π/4); =-0,25πsin(5πt+π/4); а=-1,25π²cos(5πt+π/4); F=0,125 π² Н]

4.7.Через сколько времени от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сме­стится от положения равновесия на половину ампли­туды? Период колебаний равен 24 с, начальная фаза равна нулю.[2 с]

4.8.Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой 8 см. Определите жесткость пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия груза состав­ляет 0,8 Дж. [250 Н/м]

4.9.Два колеблющихся с одинаковыми амплитудами математических маятника имеют одинаковые массы, а длины отличаются в 1,5 раза. Определите, какой из маятников обладает большей энергией и во сколько раз. [Маятник большей длины, в 1,5 раза].

4.10.Однородный диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 15 см от центра. Определите период колебаний диска относительно этой оси.[1,07 c]

4.11.Однородный стержень длиной 60 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Стержень отклонили на угол 0,01 рад и отпустили. Считая колебания малыми, опреде лите период колебаний стержня. [1,27 с]

4.12.Определите коэффициент затухания математического ма­ятника, если за промежуток времени 4,8∙10^-2 с маятник теряет 99 % своей полной механической энергии. [4,8∙10^-3 с]

4.13.Частица совершает прямолинейные затухающие колеба­ния с периодом 4,5 с. Начальная амплитуда колебаний 0,16 м, а амплитуда после 20 полных колебаний 0,01 м. Определите ко­эффициент затухания и логарифмический декремент затухания. [3,1∙10^-2 с; 0,14]

4.14.Логарифмический декремент затухания маятника равен 0,003. Определите число полных колебаний, которые должен сде­лать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза. [231]

4.15.Колебательный контур содержит соленоид (длина 5 см, пло­щадь поперечного сечения 1,5 см², число витков 500) и плоский конденсатор (расстояние между пластинами 1,5 мм, площадь пла­стин 100 см²). Определите частоту собственных колебаний контура.[8,4∙10⁷ рад/ c]

4.16.Вычислите частоту собственных колебаний в контуре с ак­тивным сопротивлением, равным нулю, если индуктивность этого контура равна         12 мГн, а его емкость составляет 0,88 мкФ. Как изме­нится частота колебаний, если в контур включить последовательно еще три таких же конденсатора?  [9,7 кГц; увеличится в  раз]

4.17.Катушка индуктивностью 1 мГн и воздушный конденса­тор, состоящий из двух круглых пластин диаметром 20 см каждая, со­единены параллельно. Расстояние между пластинами 1 см. Опреде­лите период колебаний. [104 мкс]

4.18.Найдите промежуток времени, за который амплитуда коле­баний силы тока в контуре с добротностью, равной 5000, уменьшается в 2 раза, если частота свободных колебаний в контуре 2,2 МГц.

4.19.Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 0,2 мкФ и катушки индуктивностью 5,07 мГн. При каком логарифми­ческом декременте затухания разность потенциалов на обкладках конденсатора за 10^-3 с уменьшится в три раза? Чему при этом равно сопротивление контура?

Волны

– распространяющиеся в пространстве колебания.

 

 

 

 

Механические (упругие волны) волны - механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде.

Бегущими волнами называются волны, которые, в отличие от стоячих волн, переносят энергию в пространстве.

Например, для волн в твердой среде такой величиной может служить вектор смещения частицы среды из положения равновесия или три его проекции на оси координат. Для характе­ристики продольных волн в газе или жидкости обычно пользуются избыточным давлением колеблющейся среды, равным разности между ее переменным и равно­весным давлениями.

Волновой поверхностью, или фронтом волны, называется геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение.

Для всех точек одной волновой поверхности разность t - t ₀

одинакова.

Через каждую точку среды, охваченной волновым движением, можно провести одну волновую поверхность, соответствующую значению фазы колебаний в этой точке в рассматриваемый мо­мент времени.

Выделяют плоские волны и сферической волны.

Если  волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу, то волна называется плоской.

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны. Такого рода волны возбуждаются в однородной изотропной среде уединенным точечным источником.

Уравнения волны

Длина волны – минимальное расстояние между двумя точками, находящимися в одной и той же фазе колебаний.

Обозначается . Единица [ ].

;  ,

 - скорость волны, [м/c];

 - период, [с];

 - частота, [Гц].

С другой стороны, длина волны равна расстоянию между двумя ближайшими точками среды, в которых разность фаз колебаний равна 2π.

,

k - волновое число

.

Волновое уравнение (диффе­ренциальное уравнение волны):

+ + =  

или , где - оператор Лапласа (лапласиан[28])

Решением этого уравнения для плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ является уравнение плоской волны, , являющееся :

,

 А=const - амплитуда колебаний (амплитуда волны),

ω= - циклическая (круговая) частота волны,

Ф =  -  фаза плоской волны.

- волновое число.

-начальная фаза колебаний.

Уравнение синусоидальной расходящейся сферической волны имеет вид:

.

Электромагнитное поле – особая форма материи, существующая вокруг движущихся с ускорением заряженных тел или частиц.

Теория Максвелла. Всякое изменение магнитного поля порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, силовые линии которого замкнуты. Изменяющееся во времени электрическое поле порождает в окружающем пространстве магнитное поле. Значит, существует электромагнитное поле.

1. Существуют электромагнитные волны, то есть распространяющееся в пространстве и во времени электромагнитное поле. Электромагнитные волны поперечны – векторы напряженности  и магнитной индукции  перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

2.Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью ( - скорость электромагнитных волн в вакууме).

Для вакуума .

В других средах:

3.При распространении электромагнитных волн в пространстве создаются токи смещения, кото­рые определяются изменяющимся со временем элек­трическим полем.

Ток смещения - величина, пропорциональная скорости изменения электрического поля во времени.

= = .

Уравнения Максвелла

в интегральной форме	в дифференциальной форме
	*=-
	**=
	;

Материальные уравнения характеризуют электрические и магнитные свойства среды.

1- е уравнение, представляет закон Фарадея.

в интегральной форме	в дифференциальной форме
	*=-

где - вектор напряженности электрического поля,

   - изменение вектора магнитной индукции.

Переменное магнитное поле создает в любой точке пространства вихревое индуцированное электрическое поле независимо от того, находится в этой точке проводник или нет.

2-е уравнение, демонстрирующее закон полного тока для магнитного поля (теорема о циркуляции).

в интегральной форме	в дифференциальной форме

где - на­пряженность магнитного поля,

 - вектор плотности то­ка.

Уравнение показывает, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру  равна алгебраической сумме макротоков и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур.

3-е уравнение, выражающее теорему Гаусса, кото­рая доказывается в электростатике и переносится без изменения в теорию переменных электрических и маг­нитных полей (электродинамику). 

в интегральной форме	в дифференциальной форме
	**=

где - вектор электрической индукции (электрического смещения),

  - объемная плот­ность свободных зарядов.

Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности свободному электрическому заряду.

4- уравнение магнитостатики, выражающее теорему Гаусса.

 

в интегральной форме	в дифференциальной форме

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов», которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле. Теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является вихревым.

Объемная плотность энергии электромагнитного поля: .

Из закона сохранения энергии и соотношения между модулями векторов  и  электромагнитного поля следует

 или .

Производная от плотности энергии по времени равна.

 или .