Если число экспериментов велико, то составляются корреляционные таблицы. Для этого среди результатов эксперимента выбираются xmin, xmax, ymin, ymax. Интервал [xmin, xma )] возможных значений X делим с шагом h 1 на n частичных интервалов, Интервал [ymin,ymax] для Y делим с шагом h 2 на m частичных интервалов. Границы интервалов по X записываются в 1-ый столбец, по Y - в 1-ую строку.
Для каждой пары (xi, yi) определяем в какую строку попало значение xi и в какой столбец yi. В клетку, расположенную на пересечении найденной строки и столбца, ставим палочку (или точку) . Операцию проводим для всех пар. Подчитываем число палочек (точек) в каждой клетке и записываем полученное число в клетку. Просуммируем числа, стоящие в 1- ой строке, получим частоту - число пар (xi,yi), у которых первая координата попала в первый частичный интервал. Проведём суммирование по всем остальным строкам, полученные числа заносим в последний столбец.
Таблица 7
Y,V X, U | [y0, y1) y1*, v1 | [y1, y2) y2*, v2 | …… | [yj1,yj) yj*, vj C2 | …… | [ym-1, ym) ym*, vm | |
[x0, x1) x1*, u1 | …… | …… | |||||
[x1, x2) x2*, u2 | …… | …… | |||||
……… | ……… | ……… | …… | ……… | …… | ………… | ………… |
[xi-1,xi) C1, xi*, ui | …… | …… | |||||
[xn1,xn) xn*,un | …… | …… | |||||
…… | …… | N |
Просуммируем величины, которые стоят в первом столбце. Получим частоту - число пар (xi, yi), у которых y попадает в первый интервал. Найдём суммы по всем столбцам. Полученное значение запишем в последнюю строку. Суммы полученных значений равны N:
По виду корреляционной таблице можно судить о виде корреляционной зависимости.
Вычислим середины частичных интервалов
;
i =1,…, n ; j =1,…, m .
Внесем найденные значения в корреляционную таблицу. По таблице вычислим оценки математических ожиданий и дисперсий
; ;
; ;
; ;
.
Коэффициент линейной корреляции определяются по формуле:
.
Для простоты вычислений обычно используют замену переменных:
; ;
где С1 и С2 – значения xi * и yj * соответствующие максимальной частоте . Желательно, чтобы клетка с данной частотой находилась в середине таблицы. Точку (С1,С2) называют ложным нулем. Переменные U и V – принимают значения: 0; ±1; ±2,…
, , ,
; .
При вычислениях используем, что
; .
Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
.
Вернемся к исходным переменным:
; ;
; .
Уравнения регрессии:
; .
Графики функций пересекаются в точке .
Пример:
Даны результаты 78 экспериментов:
X | Y | X | Y | X | Y | X | Y |
73 | -291 | 57 | -219 | 61 | -241 | 68 | -264 |
69 | -270 | 71 | -281 | 62 | -243 | 62 | -240 |
72 | -279 | 66 | -262 | 63 | -245 | 70 | -277 |
72 | -282 | 76 | -302 | 71 | -282 | 70 | -279 |
65 | -254 | 70 | -275 | 65 | -252 | 65 | -253 |
67 | -264 | 68 | -267 | 70 | -276 | 70 | -275 |
56 | -216 | 74 | -290 | 70 | -276 | 63 | -248 |
70 | -276 | 68 | -266 | 63 | -246 | 63 | -243 |
63 | -248 | 71 | -283 | 73 | -284 | 67 | -264 |
64 | -253 | 60 | -237 | 68 | -271 | 68 | -267 |
70 | -276 | 56 | -222 | 59 | -227 | 55 | -213 |
67 | -262 | 71 | -281 | 64 | -256 | 56 | -218 |
60 | -234 | 68 | -269 | 79 | -309 | 58 | -223 |
80 | -313 | 66 | -257 | 77 | -300 | 70 | -278 |
71 | -278 | 60 | -235 | 78 | -310 | 59 | -236 |
74 | -292 | 70 | -275 | 66 | -255 | 68 | -263 |
68 | -271 | 69 | -276 | 63 | -252 | 69 | -268 |
65 | -256 | 72 | -282 | 69 | -274 | 63 | -243 |
73 | -291 | 70 | -277 | 74 | -291 | 70 | -271 |
63 | -243 | 69 | -270 |
Начало первого интервала x0 = 53, y0 = –321;
Длина интервала h1 = 5, h2 = 17.
1. Построить корреляционное поле для 4-ых столбцов X и Y и методом “натянутой нити” найти линейные функции регрессии.
2. Составить корреляционную таблицу. Вычислить коэффициент линейной корреляции, найти уравнения регрессий и построить их графики.
3. Проверить гипотезу о незначимости коэффициента корреляции.
Решение.
1. По последним столбцам X и Y находим:
xmin=55; ymin=-279;
xmax=70; ymax=-213;
На осях отображаем тот промежуток, где находятся значения X и Y. Представляя в виде точек пары чисел (x1; yj) строим корреляционное поле:
Используя метод “натянутой нити”, проведём прямую. На прямой выберем две точки (57, -220) и (69, -270), расположенные достаточно далеко друг от друга.. Подставляя значения в функцию y=ax+b, получим систему уравнений относительно a и b.
,
Получим решение a = - 4,17; b = 17,69. Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = - 4,17 x + 17,69.
2. Найдём минимальные и максимальные значения X и Y среди результатов эксперимента:
xmin=55; ymin=-313; xmax=80; ymax=-213;
Составим корреляционную таблицу с шагом h1=5 по X и h2=17 по Y. Учитываем, что левая граница входит в интервал, а правая нет.
Клетка в шапке сверху содержит границы интервала по Y [yj, yj+1], значение середины интервала yj* и значение середины интервала для условной переменной V. Клетка в шапке слева содержит границы интервала по X [xi, xi+1], значение середины интервала xi* и значение середины интервала для условной переменной U.
Произвольная клетка таблицы содержит число результатов , попавших в соответствующие интервалы. В нижней строке записываются суммы чисел в столбцах. В крайнем левом столбце – суммы чисел в строках.
Таблица 8.
Y,V X,U | [321,-304) -312,5; -2 | [304,-287) -295,5; -1 | [287,-270) -278,5; 0 | [270,-253) -261,5; 1 | [253,-236) -244,5; 2 | [236,-219) -227, 5; 3 | [219,-202) -210,5 ; 4 | nx nu |
[53,58) 55,5;-3 | . 1 | . . . . 4 | 5 | |||||
[58,63) 60,5;-2 | . . . . 4 | . . . . 5 | 9 | |||||
[63,68) 65,5;-1 | . . . . 9 | . . . . . 11 | 20 | |||||
[68,73) 70,5;0 | .. 24 | . . . . 9 | 33 | |||||
[73,78) 75,5;1 | . . . . 7 | . 1 | 8 | |||||
[78,83) 80,5;2 | . . . 3 | 3 | ||||||
ny, nv | 3 | 7 | 25 | 18 | 15 | 6 | 4 | 78 |
Переход к условным вариантам.
; ;
C1=70,5; С2=-278,5 – координаты клетки с максимальным числом результатов экспериментов.
, ,…, ;
, ,…, ;
Вычисляем средние:
.
Вычислим среднее квадратов:
.
Вычислим среднее квадратическое отклонение:
; ;
;
Коэффициент корреляции:
;
Находим статистические характеристики X, Y:
; ;
; ;
Уравнение регрессии:
; ;
;
(I);
;
(II)
Определим координаты двух точек для каждого графика:
X | 60 | 75 |
Y | -231,4 | -291 |
Y | -300 | -220 |
X | 76,46 | 58,06 |
Графики пересеклись в точке M(68; -263,2)
3. Проверим гипотезу о незначимости коэффициента корреляции. Наблюдаемое значение критерия:
; N = max { n , m };
n , m – число частичных интервалов по X и Y.
n = 6; m = 7; N = 7.
;
T кр = T (0,05; N -2)= T (0,05; 5)=2,57 – по таблице распределения Стьюдента.
Так как | T набл |=6,65>2,57, то гипотеза отвергается, следовательно r xy значим.
Вывод
В курсовую работу вошли задачи, решаемые на стадии предварительного эксперимента. При решении этих задач использованы идеи и методы математической статистики, в частности ее разделы - оценивание параметров и проверка статистических гипотез. Используя эти методы, проверяются следующие гипотезы: о воспроизводимости результатов эксперимента, о виде распределения результатов эксперимента, о наличии корреляционных связей между факторами и переменной состояния и др.
Список литературы
1.Егоров А.Е., Азаров Г.Н., Коваль А.В. Исследование устройств и систем автоматики методом планирования эксперимента. – К.: Вища школа, 1986.
2.Бондарь А.Г., Статюха Г.А. Планирование эксперимента в химической технологии. – К.: Вища школа, 1978.
3.Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. – М.: Химия, 1971.
4.Колде Я.К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1991.
5.Твердохлебов Г.Н., Бродский А.Л., Старобина Е.К., Кутакова Д.А. Методические указания по математическим методам анализа и планирования эксперимента для студентов всех химических специальностей. -Ворошиловград, 1985.
Приложение 1
(таблица значений функции Лапласа Ф(х))
(Таблица значений функции
x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) |
0.00 | 0.0000 | 0.22 | 0.0871 | 0.44 | 0.1700 | 0.66 | 0.2454 |
0.01 | 0.0040 | 0.23 | 0.0910 | 0.45 | 0.1736 | 0.67 | 0.2486 |
0.02 | 0.0080 | 0.24 | 0.0948 | 0.46 | 0.1772 | 0.68 | 0.2517 |
0.03 | 0.0120 | 0.25 | 0.0987 | 0.47 | 0.1808 | 0.69 | 0.2549 |
0.04 | 0.0160 | 0.26 | 0.1026 | 0.48 | 0.1844 | 0.70 | 0.2580 |
0.05 | 0.0199 | 0.27 | 0.1064 | 0.49 | 0.1879 | 0.71 | 0.2611 |
0.06 | 0.0239 | 0.28 | 0.1103 | 0.50 | 0.1915 | 0.72 | 0.2642 |
0.07 | 0.0279 | 0.29 | 0.1141 | 0.51 | 0.1950 | 0.73 | 0.2673 |
0.08 | 0.0319 | 0.30 | 0.1179 | 0.52 | 0.1985 | 0.74 | 0.2703 |
0.09 | 0.0359 | 0.31 | 0.1217 | 0.53 | 0.2019 | 0.75 | 0.2734 |
0.10 | 0.0398 | 0.32 | 0.1255 | 0.54 | 0.2054 | 0.76 | 0.2764 |
0.11 | 0.0438 | 0.33 | 0.1293 | 0.55 | 0.2088 | 0.77 | 0.2794 |
0.12 | 0.0478 | 0.34 | 0.1331 | 0.56 | 0.2123 | 0.78 | 0.2823 |
0.13 | 0.0517 | 0.35 | 0.1368 | 0.57 | 0.2157 | 0.79 | 0.2852 |
0.14 | 0.0557 | 0.36 | 0.1406 | 0.58 | 0.2190 | 0.80 | 0.2881 |
0.15 | 0.0596 | 0.37 | 0.1443 | 0.59 | 0.2224 | 0.81 | 0.2910 |
0.16 | 0.0636 | 0.38 | 0.1480 | 0.60 | 0.2257 | 0.82 | 0.2939 |
0.17 | 0.0675 | 0.39 | 0.1517 | 0.61 | 0.2291 | 0.83 | 0.2967 |
0.18 | 0.0714 | 0.40 | 0.1554 | 0.62 | 0.2324 | 0.84 | 0.2995 |
0.19 | 0.0753 | 0.41 | 0.1591 | 0.63 | 0.2357 | 0.85 | 0.3023 |
0.20 | 0.0793 | 0.42 | 0.1628 | 0.64 | 0.2389 | 0.86 | 0.3051 |
0.88 | 0.3106 | 1.14 | 0.3729 | 1.40 | 0.4192 | 1.66 | 0.4515 |
0.89 | 0.3133 | 1.15 | 0.3749 | 1.41 | 0.4207 | 1.67 | 0.4525 |
0.90 | 0.3159 | 1.16 | 0.3770 | 1.42 | 0.4222 | 1.68 | 0.4535 |
0.91 | 0.3186 | 1.17 | 0.3790 | 1.43 | 0.4236 | 1.69 | 0.4545 |
0.92 | 0.3212 | 1.18 | 0.3810 | 1.44 | 0.4251 | 1.70 | 0.4554 |
0.93 | 0.3238 | 1.19 | 0.3830 | 1.45 | 0.4265 | 1.71 | 0.4564 |
0.94 | 0.3264 | 1.20 | 0.3849 | 1.46 | 0.4279 | 1.72 | 0.4573 |
0.95 | 0.3289 | 1.21 | 0.3869 | 1.47 | 0.4292 | 1.73 | 0.4582 |
0.96 | 0.3315 | 1.22 | 0.3883 | 1.48 | 0.4306 | 1.74 | 0.4591 |
0.97 | 0.3340 | 1.23 | 0.3907 | 1.49 | 0.4319 | 1.75 | 0.4599 |
0.98 | 0.3365 | 1.24 | 0.3925 | 1.50 | 0.4332 | 1.76 | 0.4608 |
0.99 | 0.3389 | 1.25 | 0.3944 | 1.51 | 0.4345 | 1.77 | 0.4616 |
1.00 | 0.3413 | 1.26 | 0.3962 | 1.52 | 0.4357 | 1.78 | 0.4625 |
1.01 | 0.3438 | 1.27 | 0.3980 | 1.53 | 0.4370 | 1.79 | 0.4633 |
1.02 | 0.3461 | 1.28 | 0.3997 | 1.54 | 0.4382 | 1.80 | 0.4641 |
1.03 | 0.3485 | 1.29 | 0.4015 | 1.55 | 0.4394 | 1.81 | 0.4649 |
1.04 | 0.3508 | 1.30 | 0.4032 | 1.56 | 0.4406 | 1.82 | 0.4656 |
1.05 | 0.3531 | 1.31 | 0.4049 | 1.57 | 0.4418 | 1.83 | 0.4664 |
1.06 | 0.3554 | 1.32 | 0.4066 | 1.58 | 0.4429 | 1.84 | 0.4671 |
1.07 | 0.3577 | 1.33 | 0.4082 | 1.59 | 0.4441 | 1.85 | 0.4678 |
1.08 | 0.3599 | 1.34 | 0.4099 | 1.60 | 0.4452 | 1.86 | 0.4686 |
1.09 | 0.3621 | 1.35 | 0.4115 | 1.61 | 0.4463 | 1.87 | 0.4693 |
1.10 | 0.3643 | 1.36 | 0.4131 | 1.62 | 0.4474 | 1.88 | 0.4699 |
1.11 | 0.3665 | 1.37 | 0.4147 | 1.63 | 0.4484 | 1.89 | 0.4706 |
1.12 | 0.3686 | 1.38 | 0.4162 | 1.64 | 0.4495 | 1.90 | 0.4713 |
1.13 | 0.3708 | 1.39 | 0.4177 | 1.65 | 0.4505 | 1.91 | 0.4719 |
x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) | x | Ф(x) |
1.92 | 0.4726 | 2.18 | 0.4854 | 2.52 | 0.4941 | 2.84 | 0.4977 |
1.93 | 0.4732 | 2.20 | 0.4861 | 2.54 | 0.4945 | 2.86 | 0.4979 |
1.94 | 0.4738 | 2.22 | 0.4868 | 2.56 | 0.4948 | 2.88 | 0.4980 |
1.95 | 0.4744 | 2.24 | 0.4875 | 2.58 | 0.4951 | 2.90 | 0.4981 |
1.96 | 0.4750 | 2.26 | 0.4881 | 2.60 | 0.4953 | 2.92 | 0.4982 |
1.97 | 0.4756 | 2.28 | 0.4887 | 2.62 | 0.4956 | 2.94 | 0.4984 |
1.98 | 0.4761 | 2.30 | 0.4893 | 2.64 | 0.4959 | 2.96 | 0.4985 |
1.99 | 0.4767 | 2.32 | 0.4898 | 2.66 | 0.4961 | 2.98 | 0.4986 |
2.00 | 0.4772 | 2.34 | 0.4904 | 2.68 | 0.4963 | 3.00 | 0.49865 |
2.02 | 0.4783 | 2.36 | 0.4909 | 2.70 | 0.4965 | 3.20 | 0.49931 |
2.04 | 0.4793 | 2.38 | 0.4913 | 2.72 | 0.4967 | 3.40 | 0.49966 |
2.06 | 0.4803 | 2.40 | 0.4918 | 2.74 | 0.4969 | 3.60 | 0.499841 |
2.08 | 0.4812 | 2.42 | 0.4922 | 2.76 | 0.4971 | 3.80 | 0.499928 |
2.10 | 0.4821 | 2.44 | 0.4927 | 2.78 | 0.4973 | 4.00 | 0.499968 |
2.12 | 0.4830 | 2.46 | 0.4931 | 2.80 | 0.4974 | 4.50 | 0.499997 |
2.14 | 0.4838 | 2.48 | 0.4934 | 2.82 | 0.4976 | 5.00 | 0.499997 |
2.16 | 0.4846 | 2.50 | 0.4938 |
Приложение 2
(таблица критических точек критерия Пирсона)
c2 – распределение (распределение Пирсона)
f | b | ||
0.05 | 0.01 | 0.005 | |
1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 | 3.84 5.99 7.81 9.49 11.1 12.6 14.1 15.5 18.3 21.0 23.7 26.3 28.9 32.4 33.9 36.4 38.9 41.3 43.8 | 6.63 9.21 11.3 13.3 15.1 16.8 18.5 20.1 23.2 26.2 29.1 32.0 34.8 37.6 40.3 43.0 45.6 48.3 50.9 | 7.88 10.6 12.8 18.5 20.5 22.5 24.3 26.1 29.6 32.9 36.1 39.3 42.3 45.3 48.3 51.2 54.1 56.9 59.7 |
Приложение 3
(таблица критических точек критерия Стьюдента)
(t – критерий)
ft | a | ||
0.05 | 0.01 | 0.005 | |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26 30 ¥ | 12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.23 2.18 2.14 2.12 2.11 2.09 2.07 2.06 2.06 2.04 1.6 | 63.66 9.92 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 3.17 3.06 2.98 2.92 2.88 2.84 2.82 2.80 2.78 2.75 2.56 | 127.3 14.1 7.45 5.60 4.77 4.32 4.03 3.83 3.69 3.58 3.43 3.33 3.25 3.19 3.15 3.12 3.09 3.07 3.03 2.81 |
Приложение 4
(таблица критических точек критерия Фишера)
(F – распределение для уровня значимости q=0.05)
f2 | f1 | ||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 12 | 24 | ¥ | |
1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 16 20 60 ¥ | 164 18.5 10.1 7.71 6.61 5.99 5.50 5.32 4.96 4.75 4.49 4.35 4.00 3.84 | 199 19.0 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.10 3.88 3.63 3.49 3.15 2.99 | 215 19.2 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.71 3.49 3.24 3.10 2.76 2.60 | 224 19.2 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.48 3.26 3.01 2.87 2.52 2.37 | 234 19.3 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.22 3.00 2.74 2.60 2.25 2.09 | 239 19.4 8.84 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.07 2.85 2.59 2.45 2.10 1.94 | 243 19.4 8.74 5.91 4.68 4.00 3.57 3.28 2.91 3.69 2.42 2.28 1.92 1.75 | 249 19.4 8.64 5.77 4.53 3.84 3.41 3.12 2.74 2.50 2.24 2.08 1.70 1.52 | 254 19.5 8.53 5.63 4.36 3.67 3.23 2.93 2.54 2.30 2.01 1.84 1.39 1.00 |
Примечание. f1 – число степеней свободы большей дисперсии, f2 – число степеней свободы меньшей дисперсии.
Приложение 5
(таблица критических точек критерия Кохрена)
(G- критерий для уровня значимости q=0.05)
få | fu | |||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 7 | 9 | 16 | 36 | ¥ | |
2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60 120 | 0.998 0.967 0.906 0.841 0.781 0.727 0.680 0.638 0.602 0.471 0.389 0.293 0.174 0.100 | 0.975 0.871 0.768 0.684 0.616 0.561 0.516 0.478 0.445 0.335 0.270 0.198 0.113 0.063 | 0.939 0.798 0.684 0.598 0.532 0.480 0.438 0.403 0.373 0.276 0.220 0.159 0.090 0.050 | 0.906 0.746 0.629 0.544 0.480 0.431 0.391 0.358 0.331 0.242 0.192 0.138 0.076 0.042 | 0.877 0.707 0.589 0.506 0.445 0.397 0.360 0.329 0.303 0.220 0.174 0.124 0.068 0.037 | 0.833 0.653 0.536 0.456 0.398 0.354 0.318 0.290 0.267 0.191 0.150 0.106 0.058 0.031 | 0.801 0.617 0.502 0.424 0.368 0.326 0.293 0.266 0.244 0.174 0136 0.096 0.052 0.028 | 0.734 0.547 0.437 0.364 0.314 0.276 0.246 0.223 0.203 0.143 0.111 0.077 0.041 0.022 | 0.660 0.475 0.372 0.307 0.261 0.228 0.202 0.182 0.166 0.114 0.088 0.060 0.032 0.016 | 0.500 0.333 0.250 0.200 0.167 0.143 0.125 0.111 0.100 0.067 0.050 0.033 0.017 0.008 |
Примечание. fu – число степеней свободы числителя; få -- число степеней свободы знаменателя.
Приложение 6
(таблица критических точек r ‑ критерия)
(r – критерий для уровней значимости q={0.05;0.01})
f | q=0.05 | q=0.01 |
2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 25 30 35 40 45 50 | 1.41 1.69 1.87 2.00 2.09 2.17 2.24 2.29 2.34 2.43 2.49 2.55 2.60 2.64 2.73 2.80 2.86 2.91 2.96 2.99 | 1.41 1.72 1.96 2.13 2.26 2.37 2.46 2.54 2.61 2.71 2.80 2.87 2.93 2.98 3.09 3.17 3.24 3.29 3.34 3.38 |
Дата: 2019-05-28, просмотров: 215.