После отсеивания незначимых факторов проверяется наличие корреляционных связей между факторами и между факторами и переменной состояния. Из статистики известно, что линейная связь между величинами X и Y оценивается с помощью коэффициента корреляции.

Пусть проведены N экспериментов, в результате которых получены следующие значения величин X и Y:

Нанесём результаты экспериментов на координатную плоскость в виде точек, координатами которых является x_i , y _i , получим корреляционное поле

Рис.3. Корреляционное поле.

На рис.3а) – явно линейная зависимость между X и Y,

на рис.3б) –зависимость нелинейная,

на рис.3в) – зависимость между X и Y отсутствует.

Простейшим видом эмпирической формулы является линейная зависимость

Y = aX + b.

Функцию f(x) = ax + b называют линейной регрессией Y на X .

Существуют различные методы вычисления коэффициентов a и b: метод “натянутой нити”, метод сумм и метод наименьших квадратов.

 Рассмотрим метод “натянутой нити”.

 Нанесём результаты эксперимента на координатную плоскость (см. рис.4)) . Мысленно натянем нить таким образом, чтобы по обе стороны от неё оставалось приблизительно равное число точек, при этом суммы расстояний от точек до нити с обеих сторон должны быть одинаковы и минимальны.

На прямой, совпадающей с направлением нити, выберем две точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2). Подставим координаты точек в уравнение y=ax+b. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными a и b и решаем её

Составим уравнение y=ax+b, используя решение (a,b) системы.

Метод наименьших квадратов

Будем искать уравнение регрессии в виде линейной зависимости:

Коэффициенты a₀ и a₁ определяются из условия: сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y от рассчитанных по уравнению регрессии должна быть минимальной.

Для отыскания минимума составим систему уравнений

Решая эту систему, получаем значения коэффициентов:

Обозначим через r_xy оценку коэффициента линейной корреляции:

.

Тогда коэффициенты регрессии определяются равенствами

 - уравнение линейной регрессии.

 Аналогичные вычисления для второго уравнения регрессии x = b ₁ y + b ₀ = g ( y ) дают следующие значения коэффициентов:

.

Тогда уравнение регрессии имеет вид:

.

Свойства коэффициента линейной корреляции:

1.Коэффициент линейной корреляции r_xy по абсолютной величине не превышает 1:

2.Если X и Y (случайные величины) независимы, то r_xy =0, обратное утверждение верно не всегда.

3.Если r_xy = ± 1, то величины X , Y связаны функциональной линейной зависимостью.

4.Если , то зависимость X и Y строят в виде линейной функции. В случае рассматриваются другие виды зависимости, например, квадратичная зависимость, гиперболическая, логарифмическая:

,