Координаты

Для решения многих задач гораздо удобнее и практичнее перейти от геодезических координат В и Ь к системе плоских прямоугольных геодезических координат X, У. При этом должна быть обеспечена однозначная связь геодезических и плоских прямоугольных геодезических координат точек (в дальнейшем плоских прямоугольных координат). Указанной цели достигают, если поверхность общего земного эллипсоида (референц-эллипсоида) изобразить на плоскости по соответствующим математическим правилам, которые образуют так называемые «картографические проекции».

Аналитически картографические проекции описывают соответствующими математическими уравнениями, позволяющими определить по геодезическим координатам точки (В, Ь) ее плоские прямоугольные координаты (X, У) в соответствующей картографической проекции. Отметим важное обстоятельство — отобразить поверхность эллипсоида на плоскости без искажений невозможно. По характеру искажений картографические проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными.

Основное условие равноугольного отображения поверхности эллипсоида на плоскости — подобие бесконечно малых фигур, что обуславливает отсутствие при переходе от поверхности эллипсоида на плоскость искажений углов малых геометрических фигур. В равновеликих картографических проекциях отношение соответствующих площадей геометрических фигур сохраняется постоянным.

На практике удобно, чтобы меридианы и параллели на картах
представляли собой прямые линии. Для этого при преобразовании на плоскость поверхности эллипсоида (шара) используют цилиндрические картографические проекции.

В Российской Федерации для перехода от геодезических координат (В, Ь) к плоским прямоугольным геодезическим координатам (X, У) используют поперечную цилиндрическую равноугольную картографическую проекцию, получившую название «проекция Гаусса—Крюгера», а соответствующую ей систему координат называют государственной. Она разработана исходя из следующих условий:

проекция сохраняет равенство соответствующих горизонтальных углов на поверхности эллипсоида и на плоскости;

бесконечно малый контур на эллипсоиде изображается подобным ему контуром на плоскости;

масштаб изображения в каждой точке проекции зависит только
от ее координат и не зависит от направления;

при использовании проекции земной эллипсоид разделяется
меридианами на зоны, имеющие свое начало координат — пересечение осевого меридиана с экватором;

масштаб проекции вдоль осевого (среднего) меридиана зоны
равен единице, т. е. его изображают без искажения.

Осевой меридиан зоны и экватор изображают на плоскости
двумя взаимно перпендикулярными линиями.

Принцип построения картографической проекции Гаусса— Крюгера показан на рисунке 1.5. Как отмечалось ранее, при использовании проекции Гаусса—Крюгера в основу положено разделение поверхности общего земного эллипсоида на ряд одинаковых меридианных полос с заданной разностью долгот 6е граничных меридианов. Изображение на плоскости каждой шестиградусной полосы представляет собой колонну листов Международной карты мира в масштабе 1 : 1 000 000. Шестиградусная полоса в свою очередь является шестиградусной координатной зоной, ограниченной изображениями соответствующих меридианов. В зоне с номером п (рис. 1.5, а) кривые РQP1 и РQ’Р1 являются

граничными меридианами 6е зоны; пунктирная линия — осевой меридиан, долгота которого = 6°n - 3 º. Эта зона на плоскости изображена в проекции. Кривые рqp1 и рq’q1 — изображения граничных меридианов; прямая рр1 — изображение осевого меридиана, а прямая qq'— изображение экватора. Прямолинейное изображение осевого меридиана и экватора на плоскости позволяет их использовать в качестве осей плоской прямоугольной системы координат. Ось ординат К направлена на восток и совмещена с изображением линии экватора, а ось абсцисс X совмещена с изображением линии осевого меридиана зоны и направлена на север. Если а — изображение точки А на плоскости, то ее положение определяется плоскими прямоугольными координатами X_A и Y_A (см. рис. 1.5, б).

Каждую шестиградусную зону нумеруют арабскими цифрами.
На территории Российской Федерации принята нумерация зон, отличающаяся от нумерации зон мировой карты масштаба
1: 1 ООО ООО на тридцать единиц, т. е. крайняя западная зона с долготой L0 осевого меридиана, равной 21º, имеет номер 4, а к востоку номера зон возрастают (до 32-й на Чукотке).

Системы плоских прямоугольных геодезических координат каждой координатной зоны совершенно идентичны. Из этого следует, что плоские прямоугольные координаты Хи У, вычисленные по геодезическим координатам В и L, в любой координатной зоне имеют одни и те же значения. Данное обстоятельство обусловлено тем, что проекция Гаусса—Крюгера является симметричной относительно оси абсцисс. При этом абсциссы точек, имеющих одинаковую широту, являются функциями не долгот, а разностей между ними и значением долготы осевого меридиана. Две точки А и В с одинаковой широтой и с одинаковой разностью долгот относительно осевых меридианов соответствующих зон (рис. 1.6)
после их изображения на плоскости имеют одинаковые абсциссу и абсолютное значение ординаты.

Чтобы исключить из обращения отрицательные ординаты и облегчить использование плоских прямоугольных координат, ко всем ординатам добавляют постоянное число 500 000 м. Кроме того, чтобы знать, к какой координатной зоне относятся плоские прямоугольные координаты точки, к ординате слева приписывают номер зоны. В результате получают число, представляющее собой условную ординату. Например, условная ордината точки, равная 21 349 821, 425 км, означает, что точка с этой ординатой расположена в 21 зоне, ее действительная ордината —150178,575 км, а долгота осевого меридиана зоны L0 = 6° • 21 — 3° = 123°.

Ввиду обособленности систем координат каждой зоны возникают некоторые неудобства в местах их стыковки. В этих случаях для описания положения точек используют системы координат обеих смежных зон.

Положение точки Р, расположенной на одном и том же граничном меридиане двух смежных координатных зон, показано на рисунке 1.7. Допустим, что ее геодезические координаты равны соответственно ВР и LР. После изображения данной точки на плоскости ее плоские прямоугольные координаты в системе координат первой (на рис. 1.7 — «правой») зоны будут ХР1 и УР1. Эта же точка во второй системе будет иметь координаты ХР2 и УР2. Примем, что координаты ХР1 и YР1 известны и требуется вычислить координаты точки Р в системе координат второй зоны, это часто требуется на практике. Переход от системы координат с одним осевым меридианом к системе координат с другим осевым меридианом называют «переходом из зоны в зону». В общем случае его осуществляют в такой последовательности. Вначале по известным плоским прямоугольным координатам ХР1 и УР1 вычисляют геодезические координаты ВР1 и LР1. Затем с учетом разности

долгот осевых меридианов соответствующих зон, используя найденные геодезические координаты, вновь определяют плоские прямоугольные координаты ХР2 и ¥Р2 точки Р9 но во второй, т. е. «левой» зоне, изображенной на рисунке 1.7.

2.5  Понятие о местной системе плоских прямоугольных координат

В целях ведения государственного земельного кадастра, составления землеустроительных карт (планов), определения координат границ земельных участков и др. на территории Российской Федерации применяют местные системы координат.

Местную систему координат задают в пределах территории кадастрового округа. Местная система плоских прямоугольных координат является системой плоских прямоугольных геодезических координат с местными координатными сетками проекции Гаусса. В общем случае, осевой меридиан местной системы координат может не совпадать с каким-либо осевым меридианом шестиградусных зон. Именно поэтому, в вышеприведенном определении местной системы координат указана проекция Гаусса, а не Гаусса—Крюгера. При разработке местных систем координат используют параметры эллипсоида Красовского.

В местных системах координат применяют Балтийскую систему высот. Редуцирование линейных измерений в проекцию Гаусса с местной координатной сеткой и вычисление геодезических высот выполняют с помощью «Карты высот квазигеоида над эллипсоидом Красовского». Эта карта соответствует государственной референцной системе.

За основу местных систем координат может быть принята система координат СК-63, которая покрывает территорию большинства субъектов Российской Федерации несколькими самостоятельными блоками. В то же время, вместо блочного покрытия территории страны, местные системы координат можно устанавливать на территории кадастрового округа или кадастрового района.

Применение единой местной системы координат позволяет
однозначно и без дополнительных преобразований вести Единый
государственный реестр земель.

Местные системы координат имеют названия. Названием системы может являться ее номер, равный, например, коду (номеру) субъекта РФ или города, устанавливаемому в соответствии с «Общероссийским классификатором объектов административно-территориального деления».

В каждой местной системе координат устанавливаются следующие параметры координатной сетки проекции Гаусса:

долгота осевого меридиана первой зоны L0;

число координатных зон N;
координаты условного начала Х0, Y0;

угол поворота 9 осей координат местной системы относительно
государственной в точке местного начала координат;

масштаб местной системы координат относительно плоской
прямоугольной системы геодезических координат СК-42 или
СК-95;

высота Но поверхности (плоскости) принятой за исходную, к
которой приведены измерения и координаты в местной системе;

референц-эллипсоид, к которому отнесены измерения в местной системе координат;

соответствующие формулы преобразования плоских прямоугольных геодезических координат.

Совокупность указанных параметров называют «ключом» местной системы координат. В местной системе координат могут быть одна или несколько зон проекции Гаусса. В системе координат с несколькими зонами расстояние между соседними осевыми меридианами (ширина координатной зоны) составляет 3°.

Условное начало Х0, У0 в местных системах назначают так, чтобы координаты в пределах зоны были положительными, а значения абсцисс не имели тысяч километров. Для всех местных систем координат масштаб изображения на осевом меридиане равен единице. Каждая местная система координат территории кадастрового округа имеет тесную связь с единой государственной системой плоских прямоугольных координат посредством соответствующих, ранее названных ключей перехода. При изменении (уточнении) координат пунктов геодезических сетей в государственной референцной системе ключи вычисляют заново при условии минимальных изменений координат пунктов в местной системе.

2.6  Преобразование координат из одной плоской прямоугольной системы в другую

При преобразовании координат из одной системы в другую используют различные алгоритмы. Участвующие в преобразовании геодезические пункты должны принадлежать одной и той же координатной зоне местной системы координат. Рассмотрим порядок преобразования координат по двум связующим точкам.

Дано: координаты n точек (пунктов) в системе координат первого блока (старая система координат) — х1`, у1`, х2`, У2`, …, хn, уn; координаты тех же точек в системе координат второго блока (новая система координат) — x1`, y1`, х2`, y2`, …, xn`, yn`.

Примем, что точки с номерами 1 и 2 являются связующими, т. е. для них известны плоские прямоугольные координаты как в старой, так и новой системах координат.

Требуется определить координаты оставшихся (п 2) точек в новой системе координат — х3`, у3`, …, xn` уn`.

Порядок решения задачи.

1. Вычисляют угол разворота (поворота) 0 между новой и старой системами плоских прямоугольных координат.

2. Решают две обратные геодезические задачи: для отрезка, координаты начальной 1 и конечной 2 точек которого заданы в старой системе координат; для этого же отрезка, но в новой системе координат.

В результате решения этих задач получают соответствующие
дирекционные углы а и горизонтальные проложения S, а именно:
в старой системе координат – α 1, и S1 новой — α2 и S2.

2.7 Система высот

Положение точек местности по высоте характеризуют в системе нормальных высот Щ, исходной точкой которой является нуль Кронштадского футштока (Балтийская система высот).

Нормальная высота с геодезической высотой Н связана следующим соотношением

где  —аномалия высоты (высота квазигеоида над отсчетным эллипсоидом).

Высоты квазигеоида над общеземным или референц-эллипсоидом вычисляют в соответствии с моделями гравитационного поля Земли, входящими в состав геодезических параметров «Параметры Земли» (см. разд. 1.2).

Данные о высотах квазигеоида над общим земным эллипсоидом ПЗ-90 и референц-эллипсоидом Красовского изображают в виде соответствующих карт-схем. На равнинных районах погрешность определения превышений высот квазигеоида при расстояниях между ними в несколько десятков километров составляет не более нескольких сантиметров. Заметим, что на топографических, землеустроительных и других картах (планах) подписаны нормальные высоты точек земной поверхности. Однако при обозначении (написании) высоты точки, вычисленной в Балтийской
системе высот, слово «нормальная» опускается. Также нормальную высоту точки земной поверхности в учебной и производственной литературе обозначают заглавной латинской буквой  без индекса