Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

Сингулярным значением и соответствующими сингулярными векторами прямоугольной ма-трицы  A называются скаляр σ и пара векторов u и v такие, что удовлетворяются соотноше-ния

Av = σ u

A^Tu = σ v

 Имея диагональную матрицу сингулярных чисел Σ и две ортогональные матрицы U и V, сформированные из соответствующих собственных векторов, можно записать

AV = U Σ

A^TU = V Σ

 

Поскольку U и V являются ортогональными матрицами, это можно записать в виде сингуляр-ного разложения

A = U ΣV^T

 

Полное сингулярное разложение матрицы А размера mхn включает mхm матрицу U, mхn матрицу Σ, и nхn матрицу V. Другими словами, обе матрицы U и V являются квадратными , а матрица Σ имеет тот же размер, что и A. Если A имеет намного больше строк чем столб-цов, результирующая матрица U может быть достаточно большой, но большинство ее столб-цов умножаются на нули в Σ . В таких ситуациях может быть использована так называемая экономичная декомпозиция, которая сберегает как время так и память, за счет вывода матри-цы U размера mхn, матрицы Σ размера nхn и той же матрицы V.

Спектральное разложение является подходящим инструментом анализа матрицы, когда пос-ледняя осуществляет преобразование векторного пространства в себя, как это было в рас-смотренном выше примере дифференциальных уравнений. С другой стороны, сингулярное разложение матриц удобно при отображении одного векторного пространства в другое, возможно с иной размерностью. Большинство систем совместных линейных уравнений отно-сятся ко второй категории. Если матрица А является квадратной, симметричной и поло-жительно-определенной, то ее спектральное и сингулярное разложения совпадают. Но при отклонении A от симметричной и положительно-определенной матрицы, разница между двумя разложениями возрастает. В частности, сингулярное разложение действительной мат-рицы всегда действительно, но спектральное разложение действительной несимметричной матрицы может быть и комплексным.

Для матрицы

                                                     A =

9   4

6   8

2   7

полное сингулярное разложение задается в форме

 

[ U, S, V] = svd( A)

и приводит к следующим результатам

 

                                       U =

-0.6105 0.7174 0.3355

-0.6646 -0.2336 -0.7098

-0.4308 -0.6563 0.6194

                                           S =

14.9359 0

0 5.1883

0          0

                                               V =

-0.6925 0.7214

-0.7214 -0.6925

Вы можете убедиться, что матрица U*S*V' равна А с точностью до ошибок округления. Для этого примера экономичная декомпозиция дает незначительный эффект.

[ U, S, V] = svd( A,0)

                                                  U =

-0.6105 0.7174

-0.6646 -0.2336

-0.4308 -0.6563

                                                S =

14.9359 0

0 5.1883

                                                    V =

-0.6925 0.7214

-0.7214 -0.6925

 

Как и в первом случае, матрица  U*S*V' равна A с точностью до ошибок округления.

 

 

Полиномы и интерполяция

В этом разделе мы ознакомимся с основными функциями MATLAB-а, которые дают возмож-ность осуществлять математические действия с полиномами и производить интерполяцию одно-, двух-, и многомерных данных.

 

Полиномы и действия над ними

                                

Обзор полиномиальных функций

Функция Описание  conv Умножение полиномов.  deconv Деление полиномов.  poly Вычисление характеристического полинома матрицы или определение полинома с заданными корнями.  polyder Вычисление производных от полиномов.  polyfit Аппроксимация данных полиномом.  polyval Вычисление значений полиномов в заданных точках.  polyvalm Вычисление значений матричного полинома.  residue Разложение на простые дроби (вычисление вычетов).  roots Вычисление корней полинома.

 

 

Представление полиномов

MATLAB представляет полиномы как векторы-строки, содержащие коэффициенты полино-мов по убывающим степеням. Например, рассмотрим следующее уравнение

p( x) = x³ – 2 x – 5

Это известный пример Валлиса (Wallis), использованный при первом представлении метода Ньютона во Французкой Академии. Мы будем использовать его в дальнейшем при рассмот-рении примеров использования различных функций. Для ввода данного полинома в MATLAB, следует записать

p = [1 0 -2 -5].

Корни полинома

 

Корни полинома вычисляются при помощи функци roots :

 

r = roots( p)

                                                    r =

2.0946

-1.0473 + 1.1359i

-1.0473 - 1.1359i

MATLAB запоминает вычисленные корни как вектор-столбец. Функция poly выполняет об-ратную роль, то есть по заданным корням полинома вычисляет значения его коэффициентов (обратите внимание на значение второго коэффициента, который в идеале равен нулю).

 

p2 = poly( r)

                                                     p2 =

1 8.8818e^-16 -2 -5

Функции poly и roots являются взаимно-обратными функциями, с точностью до упорядоче- ния коэффициентов, масштабирования и ошибок округления.

 

Характеристические полиномы

Функция poly вычисляет также коэффициенты характеристического полинома матрицы:

 

A = [1.2 3 -0.9; 5 1.75 6; 9 0 1];

Poly( A)

                                    ans =

1.0000 -3.9500 -1.8500 -163.2750

Корни данного полинома, вычисленные при помощи функции roots, являются собственными значениями (характеристическими числами) матрицы А. (При практических расчетах, для вычисления собственных значений матриц целесообразно вычислять их посредством функ-ции eig.)