Одной из важнейших задач в технических приложениях и расчетах является задача решения систем линейных уравнений. В матричных обозначениях, данная задача может быть сформу-лирована следующим образом. При заданных двух матрицах A and B, существует ли такая единственная матрица X, что AX = B или XA = B?
Для наглядности рассмотрим одномерный пример. Имеет ли уравнение
7x = 21
единственное решение? Ответ, разумеется, да. Это уравнение имеет единственное решение x = 3. Решение может быть легко получено обычным делением.
x = 21/7 = 3
Решение при этом обычно не состоит в определении обратной величины от числа 7 (т.е. ве-личины 7-1 = 0.142857…), и последующим умножением числа 7-1 на число 21. Это было бы более трудоемко и, если число 7-1 представлено конечным числом цифр (разрядов), менее точно. Аналогичные рассуждения применимы и к системам линейных алгебраических уравнений с более чем одной неизвестной; MATLAB решает такие уравнения без вычисле-ния обратной матрицы. Хотя это и не является стандартным математическим обозначением, система MATLAB использует терминологию, связанную с обычным делением в одномерном случае, для описания общего случая решения совместной системы нескольких линейных уравнений. Два символа деления / (косая черта (по английски - slash)) и \ (обратная косая че-рта (backslash)) используются в двух случаях, когда неизвестная матрица появляется слева или справа от матрицы коэффициентов:
X = A\B обозначает решение матричного уравнения AX = B
X = B/A обозначает решение матричного уравнения XA = B.
Вы можете представлять себе это как процесс «деления» обеих частей уравнения AX = B или XA = B на A. Матрица коэффициентов A всегда находится в «знаменателе».Условие сов-местимости размерностей для X = A\B требует чтобы две матрицы A и B имели одинаковое число строк. Решение X тогда имеет такое же число столбцов как и B, а число ее строк будет равно числу столбцов A. Для X = B/A, строки и столбцы меняются ролями. На практике, ли-нейные уравнения в виде AX = B встречаются более часто, чем в виде XA = B. Следователь-но, обратная наклонная черта \ используется более часто, чем прямая / . Поэтому, в остав-шейся части данного раздела мы ограничимся рассмотрением оператора \ ; соответствующие свойства оператора / можно вывести из тождества
( B/ A)' = ( A'\ B')
В общем случае не требуется, чтобы матрица коэффициентов A была бы квадратной. Если A имеет размер mхn, то возможны три случая:
1. m = n Квадратная система. Ищется точное решение.
2. m > n Переопределенная система. Ищется решение методом наименьших квадратов.
3. m < n Недоопределенная система. Находится базовое решение с самым большим
числом m ненулевых компонент.
Оператор \ использует различные алгоритмы для решения систем линейных уравнений с раз-ными типами матриц коэффициентов. Различные случаи, которые диагностируются автома-тически по типу матрицы коэффициентов, включают:
• Перестановки треугольных матриц
• Симметричные, положительно определенные матрицы
• Квадратные невырожденные матрицы
• Прямоугольные, переопределенные системы
• Прямоугольные, недоопределенные системы
Квадратные системы
Наиболее часто встречающейся ситуацией является квадратная матрица коэффициентов A и одномерный вектор-столбец b справа, т.е. Ax = b. Решение x = A\b имеет при этом тот же ра-змер, что и вектор b. Например,
x = A\ u
x =
10
-12
5
где матрица А есть приведенная выше матрица Паскаля. Легко удостовериться, что A*x в точности равно вектору u (численные значения этого вектора даны выше).
Если A и B являются квадратными и имеют одинаковый размер, то X = A\B имеет тот же ра-змер, например
X = A\B
X =
19 -3 -1
-17 4 13
6 0 -6
Легко убедиться, что A*X в точности равно B.
Оба этих примера имеют точное решение в виде целых чисел. Это связано с тем, что в каче-стве матрицы коэффициентов была выбрана матрица Паскаля pascal(3), чей детерминант равен единице. Далее будут рассмотрены примеры влияния ошибок округления, возникаю-щих в более реальных системах.
Квадратная матрица A является сингулярной, если ее столбцы не являются линейно незави-симыми. Если A – сингулярна, то решение AX = B или не существует, или не является един-ственным. Оператор \ , A\B, выдает предупреждающее сообщение, если матрица A близка к сингулярной и сообщение об ошибке, если определено равенство нулю детерминанта матри-цы А.
Переопределенные системы
Переопределенные системы совместных линейных уравнений часто встречаются в задачах аппроксимации экспериментальных данных при помощи различных эмпирических кривых. Рассмотрим следующий гипотетический пример. Величина y измеряется при различных зна-чениях времени t, что дает следующие результаты
T y
0.0 0.82
0.3 0.72
0.8 0.63
1.1 0.60
1.6 0.55
2.3 0.50
Эти данные могут быть введены в MATLAB при помощи выражений:
t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.82 0.72 0.63 0.60 0.55 0.50]';
Данные могут быть аппроксимированы при помощи убывающей экспоненциальной функ-ции.
y(t) = c1 + c2 e-t
Это уравнение показывает, что вектор y может быть представлен в виде линейной комбина-ции двух векторов, один из которых является постоянным вектором, содержащим все едини-цы, а второй вектор имеет компоненты e-t. Неизвестные коэффициенты c1 и c2 могут быть найдены подгонкой кривых по методу наименьших квадратов, которая основана на миними-зации суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от модели. Мы имеем шесть уравнений с двумя неизвестными, представленными 6х2 матрицей
E = [ ones( size( t)) exp(- t)]
E =
1.0000 1.0000
1.0000 0.7408
1.0000 0.4493
1.0000 0.3329
1.0000 0.2019
1.0000 0.1003
Решение методом наименьших квадратов находится при помощи оператора \ :
c = E\ y
c =
0.4760
0.3413
Иными словами, подгонка методом наименьших квадратов дает
y( t) = 0.476 + 0.3413 e- t
Следующие выражения оценивают модель при равномерно распределенных моментах време-ни (с шагом 0.1), а затем строят график вместе с результатами экспериментальных данных.
T = (0 : 0.1 : 2.5)';
Y = [ones(size(T)) exp(-T)]*c;
plot(T, Y, '-', t, y, 'o')
Можно видеть, что значения E*c не совсем точно совпадают со значениями эксперименталь-ных данных y, но эти отклонения могут быть сравнимы с ошибками измерений.
Прямоугольная матрица A называется матрицей неполного ранга, если ее столбцы линейно-независимы. Если матрица A имеет неполный ранг, то решение AX = B не является единст-венным. Оператор \ при этом выдает предупреждающее сообщение и определяет основное решение, которое дает минимально возможное число ненулевых решений.
Недоопределенные системы
Недоопределенные системы линейных уравнений содержат больше неизвестных чем урав-нений. Когда они сопровождаются дополнительными ограничениями, то становятся сферой изучения линейного программирования. Сам по себе, оператор \ работает только с системой без ограничений. При этом решение никогда не бывает единственным. MATLAB находит ос-новное решение, которое содержит по меньшей мере m ненулевых компонент (где m - число уравнений), но даже это решение может быть не единственным. Ниже приводится пример, где исходные данные генерируются случайным образом.
R = fix (10* rand(2,4))
R =
6 8 7 3
3 5 4 1
b = fix (10*rand(2,1))
b =
1
2
Система уравнений Rx = b содержит два уравнения с четырьмя неизвестными. Поскольку матрица коэффициентов R содержит небольшие по величине целые числа, целесообразно представить решение в формате rational (в виде отношения двух целых чисел). Частное ре-шение представленное в указанном формате есть:
p = R\ b
p =
0
5/7
0
-11/7
Одно из ненулевых решений есть p(2), потому что второй столбец матрицы R имеет наи-большую норму. Вторая ненулевая компонента есть p(4) поскольку четвертый столбец матрицы R становится доминирующим после исключение второго столбца (решение нахо-дится методом QR-факторизации с выбором опорного столбца).
Дата: 2019-05-28, просмотров: 222.
