Последовательность с.в.  называют случайной последовательностью скользящего среднего порядка  (с.п.СС(q)), если она задается равенством

                                                (32)
в котором  - последовательность вещественных некоррелированных и одинаково распределенных с  и  с.в., а - вещественные параметры. Из определения с.п.СС(q) следует, что . Вычислим ее корреляционную функцию

.
Так как  при  и , то в сумме в правой части последнего неравенства ненулевыми будут только слагаемые, индексы которых удовлетворяют равенству  или . Если , то все слагаемые в сумме нулевые. При

.

Итак, с.п.СС(q) оказывается стационарной в широком смысле без всяких ограничений на параметры . Обозначая ее корреляционную функцию через , получаем формулу

             (33)

Для с.п.СС(q) отсюда имеем формулу

.                                   (34)
Условие (2) для корреляционной функции (33), очевидно, выполняется и, следовательно, существует спектральная плотность с.п.СС(q), которую обозначим . Спектральная плотность «входной» последовательности  согласно (16) постоянна на  и . С.в.  имеет интегральное представление (6). В соответствии с теоремой Хинчина «выходная» последовательность  будет иметь представление вида (17). Учитывая эти представления, равенство (32) можно записать в виде

.

Умножим это равенство на такое же равенство, в котором вместо t положено , и в обеих частях произведен переход к комплексно-сопряженным величинам. Беря затем математические ожидания от обеих частей полученного равенства, находим

.
Из единственности интегрального представления корреляционной функции отсюда имеем

.            (35)
Оказывается, что спектральная плотность с.п.СС(q), вообще говоря, неоднозначно определятся параметрами . Во избежание этого достаточно условится, чтобы корни характеристического уравнения

                                    (36)
лежали, например, внутри единичного круга. Это условие однозначности иногда в литературе называется условием обратимости с.п.СС(q).

Большое практическое применение имеют последовательности скользящего среднего первого и второго порядков. с.п.СС(1) определяются уравнением

,                                           (37)
и ее корреляционная функция имеет вид

                 (38)
Спектральная плотность с.п.СС(1) имеет вид

. (39)
С.п.СС(2) определяется уравнением

,                              (40)
а ее корреляционная имеет вид

        (41)
Спектральная плотность с.п.СС(2) имеет вид

    . (42)

Смешанная модель авторегрессии -

Скользящего среднего

В теореме 1 утверждалось, что в условиях стационарности с.п.АР(p)  может быть представлена бесконечной линейной комбинацией с.в. , т.е. может рассматриваться как с.п.СС(¥) с последовательностью параметров . Известно также, что и с.п.СС(q) может быть (при условии обратимости) представлена в виде с.п.АР(¥) с последовательностью параметров . Это ставит вопрос об экономичности (в смысле числа используемых параметров) представления данной с.п. На практике для получения экономичной параметризации иногда бывает необходимо включать в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие скользящее среднее. Такая с.п. может определена уравнением

,                               (43)
где  - вещественные параметры, а  - последовательность некоррелированных одинаково распределенных с.в. с  и называется смешанной с.п. авторегрессии-скользящего среднего порядка (p,q). В дальнейшем такую последовательность сокращенно будем обозначать АРСС(p,q).

В соответствии с замечанием к теореме 1 члены со скользящим средним в правой части (43) не повлияют на условия стационарности последовательности . Поэтому с.п. АРСС(p,q) будет стационарной в широком смысле при условии, что все корни характеристического уравнения

                                                  (44)
лежат внутри единичного круга . Аналогично для обратимости АРСС(p,q) корни характеристического уравнения

                                    (45)
должны лежать внутри единичного круга .

Предполагая с.п. АРСС(p,q) стационарной, найдем, как и для с.п. АР(p), рекуррентные соотношения, связывающие параметры  и  со значениями корреляционной функции. Для этого все члены в (43) умножим на  и, перейдя к математическим ожиданиям получаем

,       (46)
где  - взаимная корреляционная функция последовательностей X и Y. Так как  зависит только от членов входной последовательности X до момента , то, очевидно, что  при и  для . Из (46) следует, что

                     (47)
и для нормированной корреляционной функции

                       (47’)
Это означает, что для с.п. АРСС(p,q) существует q значений корреляционной функции , которые связаны зависимостью (46) с q параметрами скользящего среднего  и p параметрами авторегрессии . Для решения разностных уравнений (47) и (47’) (для больших k) в качестве начальных необходимы p значений, например, .

Дисперсию с.п. АРСС(p,q)  вместе с  получим, решая систему уравнений, получающаяся из (46) при k=0,1,2,...,p.

Спектральную плотность можно получить аналогично случаям «чистых» последовательностей АР(p) и СС(q).

           (48)
Рассмотрим подробнее случай АРСС(2,1):

                   (49)
Из (46) имеем

(50)

           (51)
Чтобы найти  и , умножим поочередно (49) на  и  и перейдем к математическим ожиданиям. В результате получим

 и .

Тогда уравнениям (50) и (51) приобретают вид

(52)
При  уравнения (47) в рассматриваемом случае имеют вид

                (53)
и вместе с уравнениями (52) позволяют определить последовательность . В частности, из системы уравнений (52) и уравнения (53) при  получаем формулу для дисперсии

       (54)

Спектральная плотность с.п. АРСС(2,1) согласно (48) имеет вид

(55)

Наконец, рассмотрим часто употребляемую в различных прикладных науках с.п. АРСС(1,1). Она определяются разностным уравнением

                               (56)
В этом случае входящая в с.п. авторегрессия имеет порядок p=1, и корень ее характеристического уравнения равен . Последова-тельность будет стационарной, если . Уравнения для корреляционной функции получаются из формул (46) и (47)

        (57)
Выражения для  и  получаются аналогично предыдущему умножением (56) на  и  и переходом к математическим ожиданиям.

,

.                                  (58)

Из (57) и (58) получаем выражения корреляционной функции с.п. АРСС(1,1)

                       (59)

Из (59) следует, что при  имеем . Поэтому  при всех значениях , т.е. последовательность  является некоррелированной.

Спектральная плотность с.п. АРСС(1,1) будет иметь вид

                       (60)