Наиболее просто кинематические характеристики движения определяются в ортонормированном базисе  (единичные базисные векторы ортогональны). Обычно с этим базисом связывают декартову систему осей . Три числа , которые определяют положение точки М относительно этой системы координат,- это проекции радиуса-вектора на координатные оси:

                                                        (25)

Координаты  движущейся точки

                                             (26)

обычно полагают дважды дифференцируемыми по времени функциями. Сами уравнения (26) называют уравнениями движения точки в декартовой координатной системе или уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если удается исключить из этих уравнений время , то комбинации любых двух полученных соотношений  задают траекторию движения точки явно.

Для траектории движения, расположенной в одной плоскости (ее всегда можно совместить с плоскостью ), в (26) достаточно записать лишь первые два уравнения либо получить .

Продифференцировав (25) по времени, вектор скорости можно представить в форме:

                       (27)

где  - проекции вектора скорости на соответствующие оси координат.

Модуль вектора скорости определяется по формуле

                       (28)

а направление этого вектора задается косинусами углов с соответствующими координатными осями («направляющие косинусы»):

 .            (29)

Выполнив такую же последовательность операций, можно получить выражения для вектора ускорения, его проекций, модуля и направляющих косинусов углов:

                 (30)

 .

ПРИМЕР 13. Морское орудие, дульный срез которого расположен на высоте  над уровнем моря, производит выстрел под углом  к горизонту; скорость вылета снаряда  (см. рис.43).

 Полагая известными уравнения движения снаряда в декартовой координатной системе (начало координат на дульном срезе,  - ускорение свободного падения,  - время движения, сопротивление воздуха не учитывается):

необходимо рассчитать дальность полета снаряда, его скорость и ускорение в момент удара о воду.

РЕШЕНИЕ. Формулы для вычисления проекций скорости и ускорения на оси декартовой системы получаются дифференцированием по времени уравнений движения снаряда:

В общем случае значения величин проекций могут быть получены только после расчета времени полета снаряда . Заметим, что в рассматриваемом случае на всем протяжении полета ускорение снаряда оказалось постоянным и равным ускорению свободного падения.

 Время полета снаряда определим из условия .

Решив квадратное уравнение относительно , получим: 

 .

Второй, отрицательный, корень уравнения отброшен, как не имеющий физического смысла.

Подставим найденное значение в формулы для проекций скорости:

Тогда величина скорости снаряда при ударе о воду будет

,

а дальность полета снаряда равна

 .

ПРИМЕР 14. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью . В начальный момент времени кривошип занимал горизонтальное положение. Длина шатуна АВ = ОА = 80 см. Точка М шатуна лежит на его середине. Составить уравнения для вычисления координат точек А, В и М механизма в декартовой координатной системе, изображенной на рисунке 44. Найти положение точки М в момент времени , а так же проекции скорости и ускорения, их модули и направляющие косинусы с координатными осями.

РЕШЕНИЕ. Запишем выражения для проекций точек механизма на оси декартовой координатной системы:

 .

Для нахождения положения точки М в заданный момент времени подставим значение  в выражения для проекций, тогда

.

Для вычисления проекций скорости продифференцируем полученные выражения по времени и подставим величину . Тогда

.

Теперь можно вычислить модуль вектора скорости и его направляющие косинусы:

 ;  .

Для вычисления проекций ускорения второй раз продифференцируем полученные выражения по времени и подставим величину . Тогда

.

Теперь можно вычислить модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы:

 ;  .

Результаты выполненных расчетов нанесены на рисунок 45.