2.1. Принцип освобождаемости от связей. Типы связей и их реакции
При решении задач механики широко пользуются принципом освобождения от связей: состояние несвободной системы не изменится, если считать связи отсутствующими, но взамен их приложить возникающие в них реакции; при этом реакция связи действует в направлении, противоположном тому, в котором связь препятствует перемещению.
Ниже в таблице приведены основные типы связей и указаны особенности их реакций (направления и точки приложения):
| Типы связей | Свойства реакций |
| Гладкая поверхность | Сила реакции (сила нормального давления) проходит через точку контакта с поверхностью по нормали к ней |
| Шероховатая поверхность | Сила реакции раскладывается на составляющие: силу нормального давления и ортогональную ей силу трения |
| Шарнирно-неподвижная опора (для плоской задачи - это цилиндрический шарнир, для пространственной - сферический шарнир либо подпятник) | Сила реакции проходит через центр шарнира (направление заранее неизвестно, поэтому для плоской задачи неизвестны две ортогональные составляющие, а для пространственной – три) |
| Шарнирно-подвижная опора | Сила реакции проходит через ось шарнира по нормали к опорной поверхности |
| Невесомый стержень без поперечной нагрузки с шарнирами на концах | Сила реакции проходит вдоль прямой, соединяющей концевые шарниры |
| Невесомая нерастяжимая нить | Сила реакции проходит вдоль прямой, соединяющей концы нити |
| Жесткая заделка (неподвижное сопряжение абсолютно твердых тел) | Реакции проходят через точку сопряжения; включают силу и момент пары (их направления заранее не известны; поэтому для плоской задачи они имеют, соответственно, две и одну ортогональные, а для пространственной – три и три ортогональные составляющие) |
Обсудим содержание таблицы на некоторых характерных примерах.
2.1.1. Связь в виде гладкой поверхности не позволяет опирающемуся на нее телу перемещаться по нормали к ней. Пусть на гладкой поверхности СBDELM лежит балка AL (см. рис.18). 
На балку действует заданная сила 
. Балка опирается на поверхность в точках В, Е и L. Если мысленно отбросить поверхность, то в указанных точках на балку со стороны поверхности будут действовать неизвестные по величине опорные реакции (линия действия каждой из опорных реакций совпадает с нормалью к опорной поверхности; направление реакции в ту или иную сторону вдоль ее линии действия выбирается произвольно; если в результате последующего расчета величина реакции окажется положительной, то рисунок соответствует результату расчета, если нет – направление реакции противоположно принятому).
2.1.2. Связь в виде сферического шарнира (конструктивное исполнение – металлический шар с ножкой, вставленный в неподвижную обойму; реальные объекты – шаровая опора автомобиля, крепление зеркала заднего вида автомобиля, фотошарниры и т.д.). Позволяет вращение вокруг любой из трех ортогональных осей, не позволяет перемещений вдоль этих осей. При мысленном освобождении тела от такой опоры в точке контакта с ней следует приложить либо силу реакции, направление которой в пространстве заранее не известно, либо - три ее ортогональные составляющие. Иногда сферический шарнир называют шарнирно-неподвижной опорой. В некоторых задачах опорой для оси служит подпятник (конструктивное исполнение - неглубокий металлический стакан, в который ось вставлена). Очевидно, что ограничения, накладываемые такой опорой, совпадают с ограничениями от сферического шарнира.
Если сферический шарнир установить на подвижное основание, то такая опора не позволяет перемещения по нормали к поверхности, на которой установлено подвижное основание. В этом случае опора называется шарнирно-подвижной и при мысленном освобождении от нее к телу следует приложить реакцию опоры, направленную по нормали к поверхности.
Если в отверстие неподвижной пластины вставить ось, то перемещение оси в плоскости пластины окажется невозможным. Такая опора называется цилиндрическим шарниром и при освобождении от нее в точке контакта обычно прикладывают две ортогональные составляющие реакции, расположенные в плоскости пластины.
Пусть прямоугольный параллелепипед может вращаться вокруг оси, совпадающей с осью Z декартовой координатной системы (см. рис.19). На параллелепипед действуют силы 
и 
таким образом, что имеет место равновесие параллелепипеда. В точке А ось крепится к земле сферическим шарниром, а в точке В -проходит через неподвижный цилиндрический шарнир.
Силовая схема для освобожденного от опор тела (параллелепипед на оси) нанесена на рис.19. Если выполнить расчеты и определить составляющие опорных реакций, то их величины могут быть вычислены как
При необходимости можно вычислить величины направляющих косинусов углов, которые составляют реакции с координатными осями. Например, 
.
2.1.3. На плоском рис. 20 изображена балка АВ и действующая на нее заданная сила 
. В точке А балка опирается на шарнирно-неподвижную опору, а в точке В – на шарнирно – подвижную. Очевидно, что анализ перемещения балки вдоль оси z не имеет смысла. При мысленном освобождении балки от опор в точке А должна быть приложена реакция, направление которой не известно (либо две ортогональные составляющие, как это изображено на рис.20); направление опорной реакции в точке В известно (по нормали к опорной поверхности).
2.1.4. Пусть тело, подвешенное на двух стержнях – прямом АВ и изогнутом СD (см. рис. 21), находится в равновесии под действием системы из двух сил. К неподвижной поверхности и к телу стержни прикреплены шарнирами. На стержни внешние силы не действуют, весом стержней следует пренебречь. Поскольку вся механическая система (тело и два стержня) находится в равновесии, то и каждый из ее элементов тоже должен находиться в равновесии. Мысленно отделим стержень АВ и рассмотрим его равновесие под действием двух сил, приложенных к шарнирам в точках А и В. Очевидно, что равновесие стержня возможно только в том случае, если приложенные к его концам реакции направлены по линии АВ и уравновешивают друг друга (т.е. сжимают либо растягивают стержень). Аналогичный вывод делается и для криволинейного стержня СD. Схема сил, действующих в этом случае на мысленно освобожденное тело, приведена на рис. 21.
2.1.5. О том, что сила натяжения нити направлена вдоль ее линии, известно читателю еще из школьного курса физики. По этой причине на обсуждении ситуации, изображенной на рис. 22 останавливаться не будем.
2.1.6. Пусть горизонтальная балка АВ жестко заделана в вертикальную стену. На балку действует заданная сила 
, расположенная в вертикальной плоскости.
Жесткая заделка не позволяет перемещения конца А балки в любом направлении вертикальной плоскости, а так же не позволяет балке поворачиваться вокруг точки А (точнее – вокруг оси Z, проходящей через точку А).
Если мысленно отбросить стену, то в точке А балки следует приложить неизвестную по величине и направлению опорную реакцию (либо две ее ортогональные составляющие) и момент пары сил, препятствующий повороту балки относительно точки А (см. рис.23.а). Что бы лучше понять причину возникновения неизвестного по величине момента пары в жесткой заделке, представим, что балка вставлена в отверстие и касается его стенок в трех точках. Очевидно, что в этих точках должны возникнуть реакции, изображенные на рис.23.б. Сравнение силовых схем на рис. 23.а и 23.б убеждает в их эквивалентности.
Заметим, что при действии на балку пространственной системы сил, реакции заделки (сила и момент в заделке) имели бы по три ортогональные составляющие.
Если в каком- либо сечении твердого тела требуется вычислить внутренние усилия, его следует мысленно рассечь на две части, каждая из которых по отношению к другой играет, в этом случае, роль жесткой заделки. Получение силовых схем, действующих на части тела, обсуждено выше.
Схема решения задач статики
- выделяем объект, равновесие которого будет рассмотрено (точка, тело или механическая система);
- прикладываем к объекту активные (задаваемые) силы;
- освобождаем объект от связей, заменяя их соответствующими реакциями;
- составляем уравнения равновесия системы сил, приложенных к объекту (в векторном или аналитическом виде);
- решаем уравнения, находя неизвестные (параметры равновесного положения и (или) реакции связей).
ПРИМЕР 4 (задача (4.6) из [ 2 ]). Однородная балка АВ веса Р опирается на две гладкие наклонные направляющие СД и ДЕ, находящиеся в вертикальной плоскости; угол наклона первой из них к горизонту равен 
, второй: 90- 
. Найти угол 
наклона балки к горизонту в положении равновесия и давление ее на направляющие.
Реакции в точках касания балки и гладких направляющих направлены по нормали к поверхностям последних; тогда точка пересечения направлений реакций К является вершиной прямоугольника АКВД. В случае равновесия балки по теореме о трех силах вертикальная линия силы веса так же должна проходить через эту точку. Очевидно, что точка О приложения веса однородной балки делит ее пополам, 
т.е. АО=ОВ. В таком случае она является точкой пересечения диагоналей прямоугольника АКВД. Итог рассуждений отображен на рис. 24.
Из рисунка видно, что треугольник АОД равнобедренный. Тогда должны быть равны углы при его основании, т.е. угол ОАД равен углу ОДА. Это равенство позволяет записать уравнение для вычисления угла 
как
; отсюда 
,
Запишем уравнения равновесия для системы сил, действующих на балку АВ:
.
Решив систему, получим, что 
.
ПРИМЕР 5 (задача 4.16 из [ 2 ]). Шлюпка висит на двух шлюпбалках, причем вес ее, равный 9.6 кН, распределяется между ними поровну.
Шлюпбалка АВС нижним полушаровым концом опирается на подпятник А и на высоте 1.8 м над ним свободно проходит через подшипник В; вылет шлюпбалки равен 2.4 м. Пренебрегая весом шлюпбалки, определить силы ее давления на опоры А и В.
Схематично изобразим шлюпбалку с действующими на нее опорными реакциями (см. рис. 25) и запишем уравнения равновесия полученной плоской системы сил:
Решив систему относительно неизвестных составляющих опорных реакций, получим:
Теперь вычислим силы давления в опорах А и В, как
ПРИМЕР 6. Плоская конструкция состоит из трех стержней, соединенных в точке В шарниром. Конец А стержня АВ жестко заделан в вертикальную стену, а концы С и Д стержней ВС и ВД опираются, соответственно, на вертикальную и горизонтальную шарнирно – подвижные опоры. Размеры элементов конструкции и приложенная к ней нагрузка указаны на рис. 26.
Составить систему уравнений для нахождения опорных реакций в точках А, Д и С.
Мысленно освободив конструкцию от опор, заменим их действие пятью неизвестными реакциями (две силы и момент в точке А и по одной силе в точках С и Д). Запись трех уравнений равновесия для плоской системы сил, действующей на конструкцию в целом, не позволяет вычислить искомые неизвестные.
Учтем следующее соображение: если конструкция в целом находится в равновесии, то и каждый из ее элементов должен так же находиться в равновесии (т.е. для системы сил, действующих на каждый элемент, можно записать уравнения равновесия).
Тогда либо к уравнениям равновесия конструкции в целом добавляют недостающее число уравнений равновесия для ее элементов, либо записывают уравнения равновесия для каждого из элементов, формирующих конструкцию. В рассматриваемом примере выбран второй путь; соответствующие силовые схемы приведены на рис. 27.а,б,в (при этом распределенная по линейному закону нагрузка заменена соответствующей равнодействующей).
Для каждого из элементов и узла сочленения (шарнир В), запишем уравнения равновесия:
Стержень АВ:
.
Стержень ВС:
где 
=0,75
Стержень ВД:
Шарнир В:
.
Решив систему уравнений, найдем искомые составляющие опорных реакций:
.
Замечание:
- если в узле сочленения соединяются два элемента, то условия равновесия в узле обычно не записываются, а на силовых схемах элементов сразу учитывается 4-я аксиома (третий закон Ньютона) о силах действия и противодействия.
Вопросы и задачи для самоконтроля
1. Какова размерность давления воды на днище судна в системе СИ?
2. Какова размерность жесткости спиральной пружины в системе СИ?
3. В каком случае две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, называют уравновешенными?
4. В каком случае две системы сил, приложенных к абсолютно твердому телу, называют эквивалентными?
5. Какие аксиомы статики позволяют моделировать силу скользящим вектором при анализе условий равновесия твердого тела?
6. Какая аксиома статики позволяет находить равнодействующую двух сил, приложенных в одной точке?
7. Какая аксиома статики позволяет рассматривать равновесие системы из твердых тел?
8. Сформулируйте принцип освобождения от связей.
9. Для тяжелого стержня ОВ укажите опорные реакции (или их составляющие), при условии гладкости опорной поверхности.
10. Для тяжелого тела, прикрепленного шарниром в точке О к стене и нитью АВ к потолку, укажите опорные реакции (или их составляющие).
11. На стержень АВ, жестко заделанный в вертикальную стену, действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью 
. Какие усилия следует приложить в точке А, если полагать стержень свободным?
12. Какие модели элементов конструкции обычно рассматриваются в качестве объектов равновесия?
13. Что следует сделать с распределенной нагрузкой при получении системы сил, приложенных к объекту равновесия?
14. Как следует направлять оси координатной системы, что бы уравнения равновесия содержали меньшее число неизвестных?
15. Следует ли записывать все независимые уравнения равновесия, если требуется нахождение только одной опорной реакции?
16. Определите опорную реакцию в шарнирно-подвижной опоре В.
Лекция 3.
Приведение системы параллельных сил к простейшему виду. Центр тяжести твердого тела и способы определения его положения
Дата: 2019-03-05, просмотров: 732.
