Главными условиями существования системы управления являются следующие:

1. Организованность: в системе управления выделяются элементы, ко­торые относятся либо к управляющей, либо к управляемой подсисте­ме:

S= S₁ S₂

2. Разнообразие: каждая из двух выделенных подсистем должна допус­кать возможность появления нескольких (многих) состояний:

х Х, y Y, m M, X Æ, Y Æ, M Æ

Примечание: проблема оценки разнообразия управляющей сис­темы и ее соотношения с разнообразием управляемого объекта имеет важное теоретическое и практическое значение.

Закон необходимого разнообразия формулируется У. Р. Эшби следующим образом: «количество исходов управляемой системы, если оно минимально, может быть еще уменьшено только за счет соответ­ствующего увеличения разнообразия управляющей системы». Это значит, что для решения задачи управления необходимо, чтобы ин­формационная мощность управляюцугй системы (или ее собственное информационное разнообразие) была не меньше разнообразия объекта управления (т. е. решаемой задачи управления).

Пусть в дискретные моменты времени t =  происходит изменение вектора х (t) входов объекта управления, а управляющая систе­ма вырабатывает вектор m(t) управляющих воздействий, в результате которых состояние объекта управления определяется как u(t)=γ(х(t),л(t),·). Перевод управляемого объекта из состояния и (t) в некоторое состояние u(t+ 1) требует решения задачи прогнозирования x(t + 1), оценки параметров системы, решения задачи идентифи­кации u(t), выбора подходящего m(t + 1):

u(t +1) = φ(x(t + l),m(t + 1),u(t),·).

Если разнообразие задачи управления, измеряемое количеством информации, определить как V, а информационную мощность управ­ляющей системы Ж, то для осуществления перехода u(t)→u(t + 1) не­обходимо, чтобы в каждый момент времени t выполнялось условие W(t)³V(t).

В реальных системах управления «полное» разнообразие объек­та управления и воздействий внешней среды настолько велико, что последнее условие, вообще говоря, не выполняется. Поэтому управ­ляющая система формирует гомоморфную модель, использует прин­ цип управления воздействием на «главный» фактор, прибегая к агре­гированию, линеаризации связей, аппроксимируя стохастические за­висимости детерминированными и проч. Часто воздействия неучтен­ных в моделях факторов вводятся в модель с помощью так называемо­го «внешнего дополнения». Согласно концепции Ст. Вира, некий «черный ящик» служит дополнением к модели объекта управления, функционируя в качестве блока неформализуемых решений, рандомизатора — датчика случайных чисел и внося поправки в модельные расчеты. Таким образом, принцип «внешнего дополнения» обеспечива­ет реализацию системного подхода, учет влияния внешней среды, от­крытый характер системы управления, поскольку «замкнутая система не способна, отправляясь от различных начальных условий, достигать определенных целей».

3. Динамичность:

x(t) X,u(t) U,y(t) Y,

m(t) M, ω(t) Ω, t T,

где Т—упорядоченное числовое множество.

4. Наличие прямых и обратных связей, обеспечивающих причинно-следственные зависимости в системе управления:

t₀<t₁<t₂<… (3.4)

5. Наличие цели управления, достижение которой является макрофункци­ей управляемой системы:

Φ=Φ(y).     (3.5)

Цель системы в зависимости от ее характера задается различным образом. Для систем, работа которых завершается достижением цели, требуется, чтобы у (t) достигло целевого множества . В частном слу­чае, чтобы выполнялось условие y(t) = . Для других систем необ­ходимо, чтобы у (t) достигла области , а затем продолжала движение по траектории y’(t)  или не выходила из области .

6. Управляемость: можно найти такое управляющее воздействие т, ко­торое за конечное число шагов переведет систему в искомое состоя­ние, обеспечивающее достижение цели:

    (3.6)

такое, что ψ(u(t₂)) =  ,

гдеt₁ ≤ t₂, t₁, t₂ T,

φ, ψ — соответственно функция переходов и функция выхода системы,

- количественное выражение цели, Y.

Введение понятия управляемости системы вызывает необходимость рассмотрения вопросов качества управления и его эффективности.

Пусть  - некоторое заданное целевое множество:

,       (3.7)

- множество допустимых управлений.

Если управляющее воздействие  преобразует некоторое ис­ходное событие (t₀, u₀) в (t₁, u₁,)  и t₁ - время первого достижения, то t₁; называется моментом достижения, а разность (t₁ - t₀) - временем дости­жения.

Вещественное число, вычисляемое как некоторый функционал:

(3.8)

где u₁, =  y₁=ψ (t₁, u₁)называется качеством управления m(·) относительно начального события (t₀, u₀) .

Определение 3.2: абстрактной задачей управления называется сложное математическое понятие, образованное совокупностью:

(3.9)

где S — динамическая система,

Т— множество моментов времени,

 –  целевое множество,

 - множество допустимых управлений,

- подмножество множества (начальных событий),

Q - функционал качества управления;

с поставленным требованием: «для каждого начального события (t₀,u₀)  определить некоторое допустимое управление m(·) , кото­рое переводит (t₀,х₀) в  и при этом минимизирует функционал , где t₁ - момент первого достижения, а u₁ -точка перво­го достижения множества  ».

Определение 3.2 является весьма общим, однако служит базой для дальнейшего исследования необходимых условий оптимальности систем управления. Выяснение вопросов существования оптимального решения и поиска такого решения является содержанием математической теории управления (теория Гамильтона-Якоби, принцип максимума Понтрягина, методы функционального анализа, ряд численных методов).

Определение 3.3: рассмотрим произвольную динамическую систему S. Законом управления называется отображениеx: ТхU → X, ставящее в соответствие каждому состоянию u{t) и каждому моменту времени t зна­чение x(t) = x (t, u(t)) входного воздействия в этот момент времени.

При этом другие параметры динамической системы S могут влиять на конкретный вид функции x.

Принцип, в соответствии с которым входные воздействия должны вычисляться через состояния, был сформулирован Ричардом Беллманом, указавшим на его первостепенную важность. В этом принципе заключена важнейшая идея теории управления. Это научная интерпретация принципа «обратной связи», составляющего основу любого управления.

Важно отметить, что в текущем состоянии системы содержится вся информация, необходимая для определения требуемого управляющего воздействия, поскольку, по определению динамической системы, будущее поведение системы полностью определяется его нынешним состоянием и будущими управляющими воздействиями.

Оптимальное управление заключается в выборе и реализации та­ких у правлений и е U, которые являются наилучшими с точки зрения эф­фективности достижения цели управления.

Можно выделить два основных типа критериев эффективности сис­тем управления.

Критерий эффективности первого рода — степень достижения це­ли системой. Если цель системы задана областью цели  или точкой Y, то критерием эффективности I рода является отклонение р, определяемое в терминах . Цель считается достигнутой, если

p(y(t) ) = 0 или p(y(t), )<e,     (3.10)

где e - заданная малая величина.

При задании целевой функции

F{y(t_o),y’(t))→extr,

y(t_o) Y,y'(t) Y, (3.11)

если существует F* = extr F, критерий I рода — разность (F* -F).

Критерий эффективности второго рода — оценка эффективности траектории движения системы к цели. Он определяется как некоторая функция:

f(x, u, y)→ extr     (3.12)

Критерий II рода позволяет сравнивать и оценивать различные изме­нения состояний системы в ходе достижения цели. Так, улучшение работы системы по критерию второго рода позволяет достичь цели при лучших значениях входов: обеспечить выпуск того же количества продукции  при меньших затратах факторов производства Х; или при лучших значени­ях состояний системы: минимальном времени непроизводительного про­стоя системы, минимуме отходов и брака и т. д.

В ряде случаев могут быть использованы критерии третьего типа — смешанные, в которых отражается сочетание приведенных показателей эффективности пути и степени достижения цели системой.