Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).

Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел - полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид

Якобиан отображения (8)

2. Сферические координаты. Пусть M(x, y) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно задаётся тройкой чисел , где r - расстояние точки M до точки 0, - угол между лучами OM и OZ, - полярный угол точки P на плоскости xy. Тройка чисел называется сферическими координатами точки M.

Они связаны с прямоугольными формулами

Якобиан отображения . Иногда используются обобщённые сферические координаты.

Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой

Переходя в этом равенстве к новым переменным по формулам (6), получим выражение объёма области T в криволинейных координатах

Пусть T - материальное тело (кубируемая область) с плотностью

Тогда

- масса тела.

Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей): Тройной интеграл здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V; Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части, i = 1,...,n; — ранг разбиения; – диаметр i-ой элементарной части.

Достаточное условие существования тройного интеграла (Сформулируйте достаточное условие существования тройного интеграла)

Если функция f (x,y,z) непрерывная в замкнутой области V, то существует.

Механическая трактовка тройного интеграла (В чем состоит механическая трактовка тройного интеграла)

Если f (x,y,z) ³ 0 — это объемная плотность распределения вещества в области V, то — это масса всего вещества в трехмерной области V.

Приложения 2 го интеграла к решению геометр и физ. Задач.

Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь плоской фигуры

Если f (x,y) = 1 в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R.

Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде

Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой

Рис.1		Рис.2

Объем тела

Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой

В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен

Для области R типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен

Если в области R выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z₁ = f (x,y) и z₂ = g (x,y) с основанием R равен

Площадь поверхности

Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой

при условии, что частные производные и непрерывны всюду в области R.