Создание модели состоит не в подгонке формул к тем или иным численным данным, а в поиске математических образов, которые выражают поведение системы и соответствуют поставленной задаче. Этот процесс последовательного построения модели лучше всего развит в теоретической физике, которая описывает действительность в виде решения систем определенных уравнений (см. "Наука и жизнь" №№ 2, 3, 1997 г.).

Сама возможность применять методы теоретической физики для построения демографической модели, способной дорасти до статуса теории, кажется далеко не очевидной, скорее даже невероятной. Тем не менее для населения Земли, когда взаимодействует множество различных факторов и обстоятельств, такой подход вполне осуществим именно в силу сложности системы. Случайные отклонения в пространстве и во времени будут усредняться, и станут видны главные закономерности, от которых объективно зависит динамика роста населения мира.

Население мира в момент времени Т мы будем характеризовать числом людей N. Процесс роста рассмотрим на значительном интервале времени - очень большом числе поколений, чтобы не вводить в расчет ни продолжительность жизни человека, ни распределение людей по возрасту и полу. При таких условиях можно предположить, что рост населения происходит самоподобно (или, как еще говорят, - автомодельно), то есть по одному и тому же закону при разных масштабах времени и числе людей. А это означает, что относительная скорость роста числа людей на планете постоянна и ее можно описать не экспонентой, лежащей в основе стольких моделей, а только степенным законом.

Насколько неприменим экспоненциальный рост, видно из следующего примера. Предположим, что человечество в прошлом удваивалось за те же 40 лет, что и сегодня. Оценим, когда такой процесс мог начаться. Для этого выразим численность населения мира как степень двух: 5,7 ^. 10⁹ ~10³². Тогда 32 поколения, или 40x32 = 1280 лет назад, в VII веке, за двести лет до крещения Руси, все мы могли произойти от Адама и Евы! Даже если увеличить время удвоения в десять раз, этот момент отодвинется к началу неолита, когда в действительности жило около 10 миллионов людей.

Есть, однако, формула, которая с удивительной точностью описывает рост населения Земли в течение сотен и даже многих тысяч лет и имеющая необходимый - степенной - вид:

Это выражение было получено путем обработки данных за много веков рядом исследователей (Маккендрик, Форстер, Хорнер), которые видели в нем только эмпирическую зависимость, глубокого смысла не имеющую. Эту же формулу независимо от них получил и автор данной статьи, но он рассматривал ее как физически и математически содержательное описание процесса самоподобного развития. Оно происходит по гиперболическому закону эволюции, называемому режимом с обострением. Такие явления характерны именно для "взрывного" поведения систем и были подробно изучены в современных исследованиях по нелинейной динамике.

Тем не менее такие формулы принципиально ограничены областью применимости. Во-первых, из формулы следует, что население мира будет стремиться к бесконечности по мере приближения к 2025 году, заставляя некоторых считать его датой наступления Судного дня, апокалиптическим следствием демографического взрыва. Во-вторых, столь же абсурдный результат получается и для далекого прошлого, поскольку при сотворении Вселенной 20 миллиардов лет тому назад должны были присутствовать десять человек, несомненно обсуждавших все величие происходящего. Таким образом, это решение ограничено как в будущем, так и в прошлом, и справедливо поставить вопрос о границах его применимости.

Фактор, который не был учтен, есть время, характеризующее жизнь человека - его репродуктивную способность и продолжительность жизни. Этот фактор проявляется при прохождении через демографический переход - характерный для всех популяций процесс, хорошо видный как на примерах отдельных стран, так и всего мира.

Если ввести в модель характерное для жизни человека время τ, исключаются особенности роста населения и в прошлом, и в настоящем. Процесс роста начинается в T₀ = = 4,4 миллиона лет назад и продолжается за пределы критической даты T₁ в предвидимое будущее. Он выражается формулой

описывающей эпоху до демографического перехода и сам переход. Значение новых постоянных получается на основе сравнения современных демографических данных с расчетом:

Эта формула переходит в исходное выражение (1) в прошлом, а все решения описывают рост человечества в течение трех эпох. В первой - эпохе А, длительностью 2,8 миллиона лет - происходит линейный рост, переходящий затем в гиперболический рост эпохи В, который завершается после 1965 года демографическим переходом. После демографического перехода прирост численности на протяжении жизни поколения становится сравнимым с самим населением мира. И численность начнет стремиться к асимптотически стабилизированному режиму эпохи С, то есть неуклонно приближается к пределу в 14 миллиардов. Это в 2,5 раза больше, чем в настоящее время.

Из-за введения характеристического времени критический год перелома T₁ сдвигается от 2025 года к 2007 году. Само же значение τ= 42 годам неплохо отражает некоторую среднюю характеристику жизни человека, хотя оно получено из обработки демографических данных, а не взято из жизни.

Основная и единственная динамическая характеристика системы, определяющая ее развитие, - безразмерная константа K = 67 000. Она служит внутренним масштабом численности группы людей и определяет коллективный характер того взаимодействия, которым описывается рост. Числами именно такого порядка определяются оптимальный размер города или городского района и численность устойчиво существующего природного вида.

Скорость роста за время t в эпоху B оказывается равной N²/K², где ясно виден смысл параметра K: он определяет скорость роста за поколение как результат попарного взаимодействия групп по K человек. Это простейшее нелинейное выражение описывает коллективные взаимоотношения, суммируя все процессы и элементарные взаимодействия, происходящие в обществе. Оно применимо только ко всему человечеству. Как хорошо известно из алгебры, квадрат суммы всегда больше суммы квадратов; именно поэтому суммировать факторы роста по отдельным регионам или странам нельзя.

Смысл закона состоит в том, что развитие самоускоряется, и каждый следующий шаг использует весь ранее накопленный человечеством опыт, играющий основную роль в этом процессе. Долгое детство человека, овладение речью, обучение, образование и воспитание в значительной мере определяют единственный, специфический для людей способ развития и самоорганизации. Можно думать, что не скорость размножения, а именно совокупный опыт, взаимодействие, распространение и передача из поколения в поколение знаний, обычаев и культуры качественно отличают эволюцию человечества и определяют скорость роста населения. Это взаимодействие следует рассматривать как внутреннее свойство динамической системы. Поэтому настало время раз и навсегда отказаться от представления социальных явлений в виде простой суммы элементарных причинно-следственных связей, которое в принципе не способно описать поведение сложных систем за длительные промежутки времени и на большом пространстве.

На основе представлений теории легко определить предел, к которому стремится численность человечества в обозримом будущем: 14 миллиардов человек, и время начала роста в эпоху А: 4,4 миллиона лет тому назад. Можно также оценить полное число людей, когда-либо живших на Земле: P=2K²lnK=100 миллиардов человек.

В этой оценке средняя продолжительность жизни человека считается равной τ/2 = 21 году, как принято у демографов и антропологов, получивших для Р значения от 80 до 150 миллиардов человек. Существенно, что вся картина роста лучше всего описывается в двойном логарифмическом масштабе. Это не только вопрос удобства, когда надо представить поведение величин, изменяющихся на десять порядков, здесь есть гораздо более глубокий смысл. В двойном логарифмическом масштабе все степенные законы - законы автомодельного развития - выглядят в виде прямых линий, показывая, что относительная скорость роста во все времена остается постоянной. Это позволяет по-новому взглянуть на темпы развития и периодизацию всей истории человечества.