Балансовый анализ преследует цель увеличения эффективности ведения многоотраслевого хозяйства, отвечает на вопрос, какой объем продукции должна производить каждая из n отраслей, чтобы этот объем удовлетворял все потребности в производимой продукции. В макроэкономике это достаточно сложная проблема, если учитывать тот факт, что каждая отрасль выступает и в роли производителя, и в роли потребителя продукции, произведенной и в своей отрасли, и в других отраслях. Для решения этой задачи существуют таблицы межотраслевого баланса. И только в 1936 году Василием Васильевичем Леонтьевым, знаменитым американским экономистом, была создана математическая модель, позволяющая анализировать эти таблицы, – модель многоотраслевой экономики.

Допустим, что рассматривается конечное количество n отраслей, и каждая производит свой определенный товар. Часть произведенного идет на удовлетворение внутренних потребностей отрасли и внутрипроизводственного потребления другими отраслями, а часть – на личное и общественное потребление вне производственной сферы.

Пусть xi– это валовой (общий) объем продукции, производимый i-й отраслью, xij– это объем продукции, произведенной i-й отраслью и потребляемой j-й отраслью при производстве продукции объемом xj, а yi – это объем продукции, произведенной i-й отраслью для непроизводственного потребления (продукт конечного потребления).

Так, балансовый принцип связи отраслей производства заключается в том, что количество продукции, произведенной i-й отраслью, должно быть равно количеству продукции, потребляемой в производственной и непроизводственной сферах в сумме.Из-за этого уравнение соотношения баланса в форме простого сложения (гипотеза линейности) выглядит так:

xi= xi1+ xi2+ … + xin+ yi,

где i = 1,2, …, n

Далее Леонтьев замечает, что отношение xij к xj меняется мало из-за того, что технология производства не меняется, то есть отношение потребляемого j-й отраслью объема продукции в процессе производства к объему произведенной ею продукции является технологической константой, обозначаемой aij и называемой коэффициентом прямых затрат:

,

где i, j = 1, 2, …,n.

Следовательно: , где i, j = 1, 2, …, n.

Тогда это уравнение мы можем записать в виде системы уравнений для n конечного количества отраслей:

.

Введем к рассмотрению матрицы, где X – вектор валового (общего) производства, Y – вектор конечного потребления, а A – матрица прямых затрат:

.

Тогда система уравнений принимает вид:

X = AX + Y;

Y = (E – A)X;

X = (E – A)-1 Y = SY.

где S – матрица полных затрат, а sij – объем валового (общего) производства i-ой отраслью, необходимый для производства единицы конечного продукта j-й отрасли.

И тогда цель межотраслевого баланса заключается в нахождении вектора валового (общего) производства X при известных постоянных значениях прямых затрат A и определенном необходимом векторе конечного потребления Y.

Но модель Леонтьева считается продуктивной только тогда, когда матрица A является продуктивной. Матрица Aявляется продуктивнойтогда и только тогда, когда матрица S существует и ее элементы неотрицательны. Также матрица A считается продуктивной, если все ее элементы неотрицательны и сумма элементов любого ее ряда не превышает 1.

Рассмотрим модель Леонтьева на простом примере, где n=2 (две отрасли производства). В таблице приведены данные.

Из данных таблицы следует:

По формуле находим коэффициенты прямых затрат и составляем матрицу A:

.

Заметим, что матрица A является продуктивной. Далее найдем матрицу полных затрат:

;

;

.

Следовательно,

.

Зная по условию вектор Y конечного продукта, найдем вектор X валового (общего) производства

;

Мы получили результат, согласно которому производство в энергетической отрасли нужно увеличить до 193,2 условных единиц, а в машиностроительной – до 105 условных единиц.