Модель международной торговли (модель обмена) предназначена для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соотношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т.е. не было значительного дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможенные пошлины и даже торговые войны.

Рассмотрим ситуацию стран – участниц торговли с государственными бюджетами соответственно. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран.

Аппарат линейной алгебры может быть использован для построения микроэкономических моделей, а именно отыскание собственных чисел и собственных векторов квадратной матрицы.

При исследовании различных экономических ситуаций возникает необходимость рассматривать матрицу обмена и находить ее собственные векторы.

Рассмотрим задачу о равновесии цен в простой модели обмена.

Пусть имеется система из n отраслей производства, каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обмен продукцией происходит только внутри системы (экономика замкнута) и известна матрица А:

(1)

где αij – доля продукции j-й отрасли, которая поступает в i-ю отрасль.

Ясно, что для матрицы А выполнены два условия:

αij ≥ 0, I = 1,2,…n;

Второе условие вызвано тем, что вся продукция j-ой отрасли предназначена для обмена внутри системы. Матрица (1), для которой выполнены условия 1 и 2, называется матрицей обмена. Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счёт другой.

Пусть хi – цена одной единицы продукции i-й отрасли, а – вектор цен. Тогда расход i-й отрасли, т.е. стоимость всей закупаемой ею продукции, таков:

Чтобы отрасль могла развиваться, её расход не должен превышать дохода, который равен стоимости произведённой ею продукции, т.е. xi:

(2)

Если искомые равновесные цены существуют, то система неравенств (2) выполняется для них как система равенств:

Таким образом, задача свелась к следующему:

1. выяснить, является ли число λ=1 собственным числом матрицы обмена А;

2. если да, то найти соответствующий этому собственному числу полуположительный собственный вектор матрицы А.

Для того чтобы число λ=1 было собственным числом матрицы обмена А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

Итак, число 1 является собственным числом матрицы обмена и для отыскания соответствующего ему собственного вектора следует найти полуположительное решение однородной системы (A – E) . Найденный полуположительный вектор является искомым вектором равновесных цен.

Рассмотрим пример: экономическая система состоит из трёх отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Обмен внутри системы происходит в соответствии с данной матрицей обмена

.

Найдем вектор равновесных цен. Составим однородную систему линейных уровнений (А-Е) :

Решив её, получим:

Полагая а > 0, находим равновесные цены на продукцию каждой отрасли: х1=33а; х2=32а; х3=28а, где а можно трактовать как множитель, связанный с денежной единицей.

Другая экономическая модель, где решается математическая задача того же вида, – это модель международной торговли. Рассмотрим систему из п стран, торгующих только друг с другом (т.е. система замкнута). Известна матрица , где – доля средств j-й страны, затрачиваемая на импорт из i-й страны. Матрица А является матрицей обмена (1), т.е. и

Требуется найти первоначальное распределение средств между странами, обеспечивающее равновесие всей системы, т.е. такое положение, при котором в каждой стране после каждого цикла обмена остаётся столько же средств, сколько было до обмена.

Пусть хi – количество средств i-й страны, т.е. вектор описывает искомое распределение средств. Ясно, что надо найти вектор , удовлетворяющий условиям

Ранее было показано, что число 1 есть собственное число матрицы обмена А и что существует полуположительный собственный вектор матрицы А, соответствующий этому собственному числу. Вектор и является искомым первоначальным распределением средств. Система при этом будет находиться в равновесии, т.е. расход каждой страны в каждом цикле обмена совпадает с её доходом от экспорта и не изменяется от цикла к циклу.