1. Понятие и виды степенных средних величин.

2. Структурные средние величины.

3. Показатели вариации.

1

Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака, отражающая его типичный уровень в расчёте на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средние величины – это общая характеристика совокупности по количественному признаку, показывающему уровень признака, которая относится ко всей совокупности.

Основным условием научного использования средней величины является качественная однородность совокупности. Средние величины являются именованными числами и имеют ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Средние величины могут быть:

· общими – рассчитанные по совокупности в целом

· групповыми – исчисленные для каждой группы

Виды средних величин

1. Степенные средние величины

В основе их расчета лежит общая формула: ,

 если m = 1 – средняя арифметическая

m = -1 – средняя геометрическая

m = 0 – средняя геометрическая

m = 2 – средняя квадратическая

m = 3 – средняя кубическая

У степенных средних есть свойство возрастать с повышением степени показателя, которое называется правилом мажорантности средних.

Степенные средние величины могут быть простыми и взвешенными.

2.Структурные средние величины: мода и медиана

К степенным средним относятся:

- Средняя арифметическая – применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является сумма значений признаков отдельных ее единиц.

Средняя арифметическая простая

Средняя арифметическая взвешенная

Пример: Вычислить средний стаж 10 работников по данным: 6.5.4.3.3. 4.5.4.5.4.(лет)

лет (простая);       лет(взвешенная)

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами:

1.Если значение признака каждой единицы совокупности уменьшить или увеличить на одну и ту же величину А, то со средней произойдут те же изменения.

2.Если значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число А, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится в А раз.

3.Если частоту каждого значения признака уменьшить или увеличить в n раз, средняя арифметическая не изменится.

- Средняя гармоническая – величина обратная средней арифметической, применяется, когда статистическая информация не содержит частоты по отдельным вариантам совокупности, а представлена, как их произведение, или при расчете общей средней из среднегрупповых.

                    - простая                    - взвешенная ,                

                   Где  - вес средней

                   Пример: Определить среднюю цену на товар по следующим данным.

Таблица 2 - Цена и сумма реализации на товары по трем городам

                тыс. руб.

- Средняя геометрическая - применяется при расчетах средних относительных величин динамики (цепных), т.е. характеризует средний коэффициент роста.

      - простая              - взвешенная

Пример: Темп роста товарооборота по годам составил:

1997г. – 1,053 1999г. – 1,049   1998г. – 1,051   2000г. – 1,058

Определить средний темп роста товарооборота

Так же средняя геометрическая может применяться для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значения признака.

Пример: Страховая сумма выплат по страховке может изменится от 100 000 до 10 000 руб. в год. Определить среднюю сумму выплат.

 руб.

Ответ: Средняя сумма выплат (страховых) в год составляет 1000 рублей.

- Средняя квадратическая – используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической.

 - простая            - взвешенная

- Средняя кубическая

- простая           - взвешенная

2

Структурные средние величины применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.

К ним относится:

 Мода – наиболее часто встречающиеся значение признака, т.е. имеющее наибольшую частоту. В интервальном ряду с равными интервалами, мода вычисляется по формуле. ,

Где x_мо – начало модального интервала, нижняя граница

  i – величина модального интервала

  f_{мо –} частота в модальном интервале

  f_мо-1 – частота предмодального интервала  

  f_мо+1 –частота послемодального интервала

Медиана – это вариант, который находится в середины вариационного ряда и делит его на две равные части. Для определения медианы вариационного ряда, необходимо его проранжировать и найти порядковый номер медианы.

Медиана, в интервальных рядах, рассчитывается по формуле

,

Где X_{ме –} начало медианного интервала

  S_ме-1 – сумма накопленных частот ряда, предшествующего медианному интервалу.

Медианным считается тот интервал, в котором накопленная частота превышает половину суммы всех частот.

3.

Показатели вариации характеризуют колеблемость отдельных значений признака . К ним относится:

Абсолютные показатели

1.1 Размах вариации        

1.2 Среднее линейное отклонение

 для не сгруппированных

для сгруппированных

1.3 Дисперсия – средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины

для не сгруппированных

для сгруппированных

1.4 Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия обладает некоторыми свойствами:

- Дисперсия постоянной величины равна нулю

- Если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не изменяется.

- Если все варианты значения признака уменьшится в К раз, то дисперсия уменьшится К² раз.

Относительные показатели вариации

2.1 Относительный размах вариации

2.2 Коэффициент вариации     Если коэффициент вариации более 33%, то вариация является неоднородной.