Научное направление MAUT ( Multi - Attribute Utility Theory ) отличают следующие особенности [4]:

• строится функция полезности, имеющая аксиоматическое (чисто математическое) обоснование;

• некоторые условия, определяющие форму этой функции, подвергаются проверке в диалоге с ЛПР;

• обычно решается задача из второй группы, а полученные результаты используются для оценки заданных альтернатив.

Основные этапы подхода MAUT

Представим этапы решения задачи при подходе MAUT .

• Разработать перечень критериев.

• Построить функции полезности по каждому из критериев.

• Проверить некоторые условия, определяющие вид общей функции полезности.

• Построить зависимость между оценками альтернатив по критериям и общим качеством альтернативы (многокритериальная функция полезности).

• Оценить все имеющиеся альтернативы и выбрать наилучшую.

Аксиоматическое обоснование

Точно так же, как и классическая теория полезности (см. лекцию 2), MAUT имеет аксиоматическое обоснование. Это означает, что выдвигаются некоторые условия (аксиомы), которым должна удовлетворять функция полезности ЛПР. В случае, если условия удовлетворяются, дается доказательство существования функции полезности в том или ином виде. В MAUT эти условия можно разделить на две группы. Первая группа – аксиомы общего характера, идентичные тем, которые использовались в теории полезности.

1. Аксиома полноты, утверждающая, что может быть установлено отношение между полезностями любых альтернатив: либо одна из них превосходит другую, либо они равны.
2. Аксиома транзитивности: из превосходства полезности альтернативы А над полезностью альтернативы В и превосходства полезности В над полезностью С следует превосходство полезности альтернативы А над полезностью альтернативы С.
3. Для соотношений между полезностями альтернатив А, В, С, имеющими вид

U ( A ) > U ( B ) > U ( C ), 0 ? ? ? 1; 0 ? ? ? 1,

можно найти такие числа, что:

? U(A) + (1 – ? )U(C) = U(B),

U(A)(1 – ? ) + ? U(B) > U(B).

Аксиома З основана на предположении, что функция полезности непрерывна и что можно использовать любые малые части полезностей альтернатив.

Вторая группа условий специфична для MAUT . Они называются аксиомами (условиями) независимости, позволяющими утверждать, что некоторые взаимоотношения между оценками альтернатив по критериям не зависят от значений по другим критериям.

Приведем несколько условий независимости.

• Независимость по разности. Предпочтения между двумя альтернативами, отличающимися лишь оценками по порядковой шкале одного критерия C 1 , не зависят от одинаковых (фиксированных) оценок по другим критериям C 2 , …, C N . На первый взгляд, это условие кажется естественным и очевидным. Но возможны случаи, когда оно не выполняется. Так, в статье П. Хампфриса [5] приведен следующий пример: выбор автомобиля. При примерно одинаковой цене ЛПР предпочитает большую по размеру машину. Однако его предпочтение меняется на обратное, когда он узнает, что у машины не гидравлическая, а механическая коробка передач, что усложняет управление.

• Независимость по полезности. Критерий C 1 называется независимым по полезности от критериев C 2 , …, C N , если порядок предпочтений лотерей, в которых меняются лишь уровни критерия C 1 , не зависит от фиксированных значений по другим критериям. Напомним, что определение лотереи было дано в лекции 2. Как мы увидим далее, лотереи используются при построении функций полезности по отдельным критериям.

• Независимость по предпочтению является одним из наиболее важных и часто используемых условий. Два критерия C 1 и C 2 независимы по предпочтению от других критериев C 3 , …, C N , если предпочтения между альтернативами, различающимися лишь оценками по C 1 , C 2 , не зависят от фиксированных значений по другим критериям.

Приведем пример нарушения условия независимости по предпочтению – выбор дачи для летнего отдыха (табл. 4.1). Вполне возможно, что альтернатива А предпочтительнее альтернативы В, если по критерию «Расстояние от города» оба варианта имеют оценку «Дача расположена недалеко от города». В то же время, если оба варианта имеют по последнему критерию оценку «Дача расположена далеко от города», вариант В может оказаться предпочтительнее варианта А.

Таблица 4.1Задача выбора дачи для летнего отдыха

Первые два условия независимости относились к независимости одного критерия от остальных, третье условие – к независимости пары критериев от прочих.

Судя по литературе, отсутствуют примеры зависимости трех и большего числа критериев от остальных, которая не проявлялась бы в нарушении условия независимости по предпочтению. По мнению известных ученых Г. Фишера и Д. Винтерфельда [6], появление такой зависимости «неопределенно по своей природе и трудно обнаружимо». В связи с этим понятно особое внимание, уделяемое проверке условия независимости по предпочтению.

Основные теоремы

Если аксиомы первой группы и некоторые условия независимости выполнены, то из этого следует строгий вывод о существовании многокритериальной функции полезности в определенном виде.

Приведем без доказательств основную теорему многокритериальной теории полезности, на которой основаны практические методы оценки альтернатив [7].

Если условия независимости по полезности и независимости по предпочтению выполнены, то функция полезности является аддитивной

при

либо мультипликативной

при

где U , U i – функции полезности, изменяющиеся от 0 до 1; w i – коэффициенты важности (веса) критериев, причем 0 < w i < 1; коэффициент к > –1. Таким образом, многокритериальную функцию полезности можно определить, если известны значения коэффициентов w i , k , а также однокритериальные функции полезности U i ( x ).

Полученный теоретический результат является основой метода, неоднократно использованного для решения практических задач. Обсудим приведенные выше этапы применения этого метода, используя в качестве примера задачу выбора площадки для строительства аэропорта.