Предположим, что выборка  произведена из нормальной генеральной совокупности с неизвестной дисперсией при известном математическом ожидании, равном . В качестве оценки неизвестной дисперсии  возьмем выборочную дисперсию

. (8.4.11)

В этом случае статистика  будет иметь –распределение с  степенями свободы.

Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании имеет вид:

, (8.4.12)

где  — квантиль уровня –распределения с  степенями свободы.

Таким образом, доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании строится следующим образом:

1. Используя выборку , по формуле (8.4.11) вычисляем оценку дисперсии.

2. Вычисляем квантили  и –распределения с  степенями свободы.

3. По формуле (8.4.12) получаем искомый доверительный интервал.

Замечание. Квантили  и –распределения с  степенями свободы можно определить разными способами, например:

§ используя таблицы –распределения с  степенями свободы;

§ используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL, при этом аргумент «вероятность» данной функции должен быть равен уровню значимости, а аргумент «степени_свободы» должен быть равен ;

§ используя функцию qchisq( p, d) из MATHCAD, при этом переменные данной функции должны быть равны: .

Аналогично строится доверительный интервал для дисперсии генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при неизвестном математическом ожидании.

В качестве оценки неизвестной дисперсии  возьмем выборочную дисперсию

. (8.4.13)

В этом случае статистика  будет иметь –распределение с  степенью свободы.

Доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании имеет вид:

, (8.4.14)

где  — квантиль уровня –распределения с  степенью свободы.

Таким образом, доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании строится следующим образом:

1. Вычисляем оценку , которая является средним арифметическим элементов выборки , и по формуле (8.4.13) вычисляем выборочную оценку дисперсии.

2. Вычисляем квантили  и –распределения с  степенью свободы.

3. По формуле (8.4.14) получаем искомый доверительный интервал.

Пример 5. Найти доверительный интервал с доверительной вероятностью 0,95 для оценки математического ожидания, нормально распределенной случайной величины , если известны ее дисперсия , выборочная средняя  и объем выборки .

m Решение. По условию задачи . Найдем квантиль  нормального распределения с параметрами , используя, например EXCEL: применяя функцию НОРМСТОБР(0,975), получим .

Применив (8.4.6), получим

 l

Пример 6. Случайная величина  распределена по нормальному закону. Статистический ряд выборки представлен таблицей:

	3	5	7	8	10	12	14
	3	7	4	6	7	5	8

Требуется:

1) построить доверительный интервал для оценки математического ожидания, если доверительная вероятность равна 0,97;

2) построить доверительный интервал для оценки дисперсии, если доверительная вероятность равна 0,95.

m Решение. Для оценки математического ожидания будем использовать формулу (8.4.9), т.к. дисперсия неизвестна. Вычислим все величины, присутствующие в (8.4.9).

Объем выборки .

Оценка математического ожидания:

.

Исправленная выборочная дисперсия:

.

Корень квадратный исправленной выборочной дисперсии:

Для доверительной вероятности  найдем квантиль ‑распределения) с  числом степеней свободы. Для этого используем, например, функцию qt( p, d) из MATHCAD: .

Доверительный интервал имеет вид:

и окончательно

.

Перейдем ко второй части задачи. Для оценки дисперсии будем использовать формулу (8.4.14), т.к. математическое ожидание неизвестно. Для данной формулы необходимо вычислить квантили  и . Используя функцию qchisq( p, d) из MATHCAD, получим:  и .

Доверительный интервал имеет вид:

и окончательно

. l