Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия

Пусть  — некоторый параметр закона распределения генеральной совокупности.

Определение. Точечной оценкой  параметра  называется произвольная функция  случайной выборки .

Статическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Опишем свойства, которым должна удовлетворять оценка .

Определение. Оценка  называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е.

. (8.1.1)

Определение. Оценка  называется состоятельной, если с ростом объема выборки она сходится к оцениваемому параметру. Можно рассматривать сходимость различных типов: по вероятности, с вероятностью равной единице, в среднем квадратичном и т.д. Как правило, рассматривается сходимость по вероятности, т.е. состоятельной называется оценка , которая для каждого  при всех возможных значениях неизвестного параметра  удовлетворяет соотношению

. (8.1.2)

Определение. Несмещенная оценка  называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по случайным выборкам одного и того же объема.

Если оценка не является несмещенной, то она будет либо завышать значение , либо занижать его. В обоих случаях это приводит к систематическим ошибкам одного знака в оценке параметра . Состоятельность оценки обосновывает увеличение объема случайной выборки, так как при этом становится менее вероятной возможность большой ошибки в оценке параметра .

Замечание. В дальнейшем вместо обозначения  будем использовать .

Определение. Выборочной средней называется среднее арифметическое полученных по выборке значений

. (8.1.3)

Определение. Вторым выборочным моментом называется среднее арифметическое квадратов, полученных по выборке значений

. (8.1.4)

Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений в случайной выборке от выборочной средней

. (8.1.5)

Определение. Исправленной выборочной дисперсией называется произведение выборочной дисперсии на величину , т.е.

. (8.1.6)

Пример 1. Проверить, является ли второй выборочный момент  несмещенной оценкой второго теоретического момента.

m Решение. Найдем математическое ожидание оценки .

. l

Пример 2. Проверить, является ли оценка  несмещенной.

M Решение.

Таким образом,  является смещенной оценкой дисперсии . Очевидно, что  будет уже несмещенной оценкой дисперсии . l

Метод моментов

Пусть имеется выборка , произведенная из генеральной совокупности с теоретической функцией распределения , зависящей от  параметров , которые нужно оценить. Зная функцию распределения, можно найти первые  теоретических моментов, которые будут зависеть от параметров :

 (8.2.1)

где  — случайная величина, имеющая функцию распределения .

Метод моментов состоит в том, что в системе (8.2.1) при большом объёме выборки  теоретические моменты  заменяются на выборочные , а затем, решая эту систему относительно , находят оценки неизвестных параметров. Таким образом, в методе моментов оценки  неизвестных параметров  определяются из системы уравнений

 (8.2.2)

Метод моментов был предложен в 1894 г. К. Пирсоном. Оценки, полученные методом моментов, как правило, являются состоятельными.

Пример 3. Выборка  произведена из генеральной совокупности с теоретической функцией распределения, имеющей плотность показательного закона

Найти оценку параметра .

m Решение. Математическое ожидание случайной величины , имеющей плотность показательного закона, задаётся формулой

Используя систему (8.2.2), получаем .

Откуда окончательно получаем . l