При разрешении этой запутанной и противоречивой проблемы Лейбниц использовал достижения, к которым он пришел в результате своих математических исследований. Для различения двух видов анализа Лейбниц в ряде своих произведений опирается на выдвинутый им в математике метод исчисления бесконечно малых.

Как при исчислении бесконечно малых, так и при совмещении несоизмеримых величин Лейбниц открыл новый метод для истолкования тех противоречий, на которые он натолкнулся в результате своего анализа.

Переходим к методу исчисления бесконечно малых, который интересует нас не с математической точки зрения, а с точки зрения его приложимости к решению выдвинутой сложной логико-гносеологической проблемы.

Согласно Лейбницу, нет такой индивидуальной субстанции, которая не испытывала бы на себе действия всех других и со своей стороны не действовала бы на них. Представление о мире и о любом явлении мира не может быть сведено к тому, что одно явление обусловлено предшествующим явлением. Место, развитие, состав и действие любого отдель-

74

ного явления зависят от всей совокупности явлений в целом.

Нельзя, по Лейбницу, дойти до конца анализа, если мы будем искать двигатель каждого движущегося тела и в свою очередь двигатель этого первого. Поэтому во все предложения, куда входит существование и время, вместе с тем входит весь ряд предметов. Это очень глубокая мысль, из которой следует, что все случайные истины в противоположность необходимым включают в свой анализ бесконечный ряд условий. Анализ тем самым не поддается завершению; в таких суждениях нельзя установить то тождество субъекта и предиката, которое составляет цель всякого анализа.

Лейбниц объясняет это тем, что различие между необходимыми и случайными истинами точно такое же, что и между соизмеримыми и несоизмеримыми числами. Подобно тому как в соизмеримых числах разложение может доходить до общей меры, так и в необходимых истинах применимо доказательство и приложимо сведение к тождественным истинам.

Но как можно установить тождество, если субъект и предикат несоизмеримы? Это будет уже не тождество, а нечто иное.

Подобно тому как в Несоизмеримых отношениях разложение уходит в бесконечность, правда, приближаясь к общей мере при наличии известного ряда, но не достигая предела, точно так же случайная истина в том же самом процессе требует бесконечного анализа.

В другом месте Лейбниц говорит о том, что необходимые истины могут быть разложены на тождественные, как соизмеримые количества на общую меру, но в истинах случайных разложение идет в бесконечность и предела не достигает.

Итак, есть принципиальное различие между истинами необходимыми и истинами факта.

Мы исходим из того, что S есть Р. В пределах необходимых истин и их анализа мы можем иметь два случая: простое тождество — это идеал логики, которая базируется на аналитическом тождестве субъекта и предиката, — и сложное тождество. Может быть так, что S не есть просто А, а А+Х, и тем не менее субъект всегда может быть разложен, и предикат будет приравниваться не просто А, а А с учетом X.

Но если мы возьмем случайные истины или истины факта, то тут S и Р оказываются несоизмеримыми. Раньше мы находили общую меру А в результате разложения, а здесь ее нет. Субъект и предикат окажутся несоизмеримыми, хотя в бесконечном ряде они будут стремиться к тому, чтобы оказаться как-то соотнесенными друг с другом. S и Р могут оказаться несопоставимыми — Р не извлечь из S.

Если отождествить и сказать, что аналитичность — это есть

75

соизмеримость, а соизмеримость — это аналитичность, то при раскрытии истин факта этой соизмеримости не оказывается.

Необходимо отмежеваться от одной мысли Лейбница для того, чтобы не отдать рациональное зерно в его учении в жертву богословию. Лейбниц с целью уравновесить оба ряда истин хочет подправить дело привлечением идеи бога. Эту поправку мы и должны отвергнуть.

Лейбниц первый сознательно ввел наряду с законом противоречия (который у него объединяет законы тождества, противоречия и исключенного третьего) закон достаточного основания, который у него сливается с законом причинности. Этот закон Лейбниц вводит для объяснения истин факта, которые не могут быть всецело объяснены лишь законом противоречия, решающим в отношении умозрительных истин. Поскольку приходится рассуждать, отправляясь от закона причинности и закона основания, мы имеем дело с реальной действительностью, которую нельзя смешивать с действительностью математических объектов. Наоборот, логистика отмахивается от закона достаточного основания, желая все свести к непротиворечивости. Закон основания, по мнению логистов, не может быть формализован, поэтому он неприемлем для подлинной логики.

Есть эта тенденция и у Лейбница, который, введя закон достаточного основания, сам же готов порою умалить его значение, усматривая по сравнению с законом противоречия различие лишь в том, что последний имеет дело с явным тождеством, а закон основания — с тождеством скрытым, или виртуальным.

К этому склоняется и Кутюра, который стремится втиснуть Лейбница в прокрустово ложе логистики.

То, что изложено мною от себя, я теперь воспроизведу согласно основным разделам книги Кутюра.

Интерпретация Кутюра логической системы Лейбница и основной порок этой интерпретации

Кутюра начинает изложение основных частей логики и теории познания Лейбница с раскрытия того, что такое доказательство.

Принципом всякого доказательства являются не только определения, но и тождественные аксиомы. Сюда также относятся принципы всех необходимых суждений, которые познаются априори, или, как говорил Лейбниц, элементы вечной истины. Таким образом, все необходимые истины тождественны, одни в явном виде — таковы первые истины, или аксиомы, другие в скрытом виде, или виртуально; это — до-

76

казуемые теоремы. Доказательство последних заключается в сведении их к тождественным истинам путем анализа, т. е. путем определения их терминов. Всякое доказательство заключается в подстановке определения, т. е. в замене сложного термина группой терминов более простых, эквивалентных первому. Таким образом, существенной основой дедукции является принцип подстановки эквивалентностей⁷. Данный ряд мыслей уже был изложен выше от лица самого Лейбница.

Всякое нетождественное суждение должно доказываться через анализ терминов и подстановку эквивалентностей, чтобы сделать очевидным полное или частичное тождество двух терминов (р. 206).

Мы говорим главным образом о рациональных и необходимых истинах; но такое оперирование с помощью подстановок эквивалентностей приложимо ко всем видам истины (Лейбниц это отчетливо декларирует, хотя и не всегда на этом безоговорочно настаивает; иногда он склоняется к тому, что не ко всем истинам это приложимо), так как, согласно общему определению истины, во всяком истинном суждении предикат содержится в субъекте. Поскольку суждение истинно, оно должно иметь реальную и постижимую связь между субъектом и предикатом; другими словами, — отношение логического включения, подлежащее доказательству посредством простого анализа терминов (р. 208).

По мнению Кутюра, для Лейбница это верно и по отношению к единичным суждениям, объектом которых является нечто индивидуальное, — таковы исторические истины и факты. Лейбниц приходит к мысли, что «индивидуальное понятие всякого лица включает раз навсегда все, что с ним произойдет», так что «имеются доказательства априори или основание истинности всякого обстоятельства» (р. 209). По мысли Кутюра, это коренной тезис Лейбница. Основанием является то, что всякая истина определяется логической природой терминов, как бы заранее вписана в них, и поэтому достаточно проанализировать последние, чтобы найти в них истину (но это опять-таки только одна линия учения Лейбница).

В самом деле, рассуждает Кутюра, поскольку верно, что такой-то индивид в настоящее или в прошедшее время был связан с некоторым происшествием и что понятие данного происшествия присуще понятию этого индивида, постольку верно, что понятие этого индивида всегда предполагает понятие всех происшествий, еще относящихся к будущему, с

⁷ См. L. Couturat. La logique de Leibniz. P., 1901, p. 250. Последующие ссылки на это произведение приводятся в тексте и содержат указание на страницу данного издания.

77

которыми он должен быть связан и которые обязательно произойдут.

Далее Кутюра цитирует из письма Лейбница к Арно: «Всякая индивидуальная субстанция выражает по-своему и в известном отношении мир в целом, выражает, так сказать, в соответствии с той точки зрения, откуда оно его созерцает: его последующее состояние есть следствие его предшествующего состояния, как если бы в мире существовал только бог и она (субстанция)» (Gerhardt, II, S. 136). Таким образом, всякая индивидуальная субстанция есть как бы особый мир, независимо от всякой другой вещи, кроме бога

В результате всякая истина формально или виртуально тождественна, или, как окажет Кант, аналитична, потому что она обладает возможностью быть раскрытой априори посредством определений и принципа тождества. Здесь обнаруживается желание Кутюра кантианизировать Лейбница (р. 210).

Но этот вывод, замечает Кутюра, противоречит здравому смыслу: имеются истины, которые не подлежат доказательству, их привыкли рассматривать как случайные. Лейбниц держится различия истин разума и истин факта, истин необходимых и истин случайных; он их все рассматривает как одинаково аналитические истины. Но тут же он возражает самому себе: не превращаются ли таким образом в необходимые истины и все истины факта и не ликвидируется ли тем самым человеческая свобода и всякого рода случайность? Решение этой трудности, по его собственному признанию, было ему подсказано математикой.

В самом деле, что мешает тому, чтобы истины факта доказывались? Это то обстоятельство, что их доказательство потребовало бы бесконечного анализа, ибо понятие всякой конкретной вещи, всякой индивидуальности заключает бесконечность элементов или условий.

Для реальных вещей у нас существуют только несовершенные, или неадекватные, идеи, т. е. идеи неполностью проанализированные, которые мы не в состоянии разложить полностью на простые составные части. Поэтому эти вещи и их свойства мы знаем лишь опытным путем. Только божественный разум может осуществить этот бесконечный анализ и тем самым получить адекватную идею индивидуальных существ, интуитивное познание истин факта. Только бог знает априори эти истины и усматривает их основание, которое непременно является включением предиката в субъект (р. 211).

Подчеркивание Кутюра этой мысли Лейбница вряд ли может соответствовать единственно правильному подходу к классикам философии — раскрывать в их учениях рацио-

78

нальное зерно. Задача заключалась бы в данном случае в том, чтобы лучше понять логику Лейбница, оставляя в стороне абсурдную мысль, которая привлекается Лейбницем на скорую руку с целью замаскировать идеей бога образовавшуюся в системе брешь.

Продолжая изложение идей Лейбница, Кутора пишет о том, что Лейбниц использует арифметическую аналогию, навеянную ему системой логического исчисления. Включение предиката в субъект он истолковывает по образу делимости чисел. Истина уподобляется отношению (или пропорции), в котором антецедент (субъект) больше консеквента (предиката) и поэтому содержит его.

Вместе с тем имеются соизмеримые и несоизмеримые отношения, которые также фиксируются Кутюра. В первом случае общая мера обоих терминов определяется средствами алгоритма Эвклида. Во втором случае алгоритм Эвклида осуществляется путем бесконечного анализа и допускает бесконечную непрерывную дробь, последовательные выражения которой дают все более приближающиеся значения несоизмеримого отношения (р. 242).

Легко усмотреть, в какой мере эта математическая аналогия точна и определенна: истины факта могли бы быть доказаны лишь бесконечным анализом, подобно тому как несоизмеримые отношения могут быть выражены лишь бесконечным рядом. Лейбниц сравнивает случайные истины с асимптотами, т. е. прямыми касательными к бесконечной кривой.

Но математические аналогии, по мнению Кутюра, тотчас вызывают возражение, которое создатель исчисления бесконечно малых должен был бы выдвинуть против себя в первую очередь: мы умеем вычислять асимптоты, суммировать бесконечные ряды и давать синтез бесконечного числа элементов; почему бы мы не могли исчерпать бесконечную совокупность условий истины факта и доказать ее своего рода логическим интегрированием? Лейбниц, с точки зрения Кутюра, отвечает на этот вопрос несколько неясно. Он считает, что здесь имеет место неполная аналогия. В истине факта могут встречаться известные элементы, которые не поддаются никакому анализу и которые единственно удостоверяют эту истину.

Это совершенно верно, что тут неполная аналогия. Нельзя все растворять в математике, как того хочет Кутюра.

Можно оправдать суждение с наибольшим приближением, поскольку анализ не прекращается; но мы, таким образом, обладаем лишь непрерывно возрастающей уверенностью, но не достоверностью, которая одна только может дать

79

полный, исчерпывающий анализ элементов. В результате невозможно получить полное доказательство случайной истины, поскольку нельзя достигнуть точки соприкосновения асимптоты или полностью пробежать бесконечный ряд. Но можно достигнуть достоверности истины все более приближенным способом, и этот процесс непрерывного приближения знаменует доказательство.

Значит ли это, что истины факта только вероятны и никогда не могут уподобиться достоверности «вечных» истин? Как раз наоборот, объясняет Кутюра, они вероятны только для нас, потому что мы о них обладаем лишь неполным и только приближенным знанием. Мы не можем рассматривать их структуру. Но для себя они абсолютно достоверны в той же мере и с той же степенью, как истины разума, ибо они, как таковые, аналитичны или потенциально тождественны: для себя они очевидны априори, во всяком случае — для бесконечного разума, который может охватить все составные условия (опять здесь апелляция к божественному все понимающему и все созерцающему разуму). К атому, собственно, и сводится закон основания, ибо он ничего не означает, по мнению Кутюра, сверх того, что только сказано, а именно, что должна быть дана возможность «отдавать себе отчет» во всякой истине, даже случайной, т. е. доказать ее простым анализом терминов.

Таков, согласно Кутюра, точный логический смысл знаменитого закона, обычная формулировка которого «ничего не бывает или не происходит без основания» является лишь ходовой формулой, заимствованной от здравого смысла. Этот принцип в сущности лишь следствие самого определения истины. Закон основания не является, как могло бы показаться с первого взгляда, следствием принципа тождества или противоречия: он восполняет последний, он является его дополнением и даже логическим антиподом, ибо закон тождества утверждает, что всякое тождественное суждение истинно, между тем как закон основания, наоборот, утверждает, что всякое истинное суждение аналитично (р. 215).

Итак, можно двояко истолковать закон основания. Или закон основания — самостоятельный закон, без которого мы не можем разобраться в обусловленности фактов, и тогда он получает свое оправдание именно в руках материалистов, или же этот закон подводится под аналитическую непротиворечивость и рассматривается в плане закона противоречия. А закон противоречия, конечно, умозрительный закон в том смысле, что наличие противоречия в каком-либо понятии может быть обнаружено имманентным раскрытием содержания самого понятия. Для этого не надо прибегать к опыту.

80

Тут Кутюра допускает незаконную подмену. По его формулировке, закон тождества утверждает, что всякое тождественное суждение истинно, а закон основания фиксирует, что всякое истинное суждение аналитично. При таком истолковании закон основания требует от нас не удовлетворяться тем, что фактически истинно. Раз истинное суждение аналитично, то, постепенно раскрывая его, сводя к более элементарным положениям, мы в конце концов вскрываем это тождество. При таком подходе закон основания имеет приложение только к математическому знанию, а не ко всей остальной области знания, которое является отражением материальной действительности.

Кутюра приводит высказывание самого Лейбница, произвольно изменяя его в пользу своего истолкования. Подлинный текст Лейбница таков: «Во всяком общеутвердительном суждении предикат содержится в субъекте, выражая в первоначальных истинах или тождественных суждениях то, что, будучи взято по себе, самоочевидно; во всем же другом предикат находится в субъекте в скрытом виде, что раскрывается анализом терминов с помощью подстановок результатов (того, что определено) и определений» (Gerhardt, VII, S. 309). Это его обычная мысль, с которой нам уже неоднократно приходилось иметь дело. «Таким образом, — продолжает Лейбниц, — имеются два начала всех рассуждений: начало противоречия, гласящее, что всякое тождественное суждение истинно и ему противоречащее — ложно, и принцип нахождения основания, гласящий, что всякое верное суждение, само по себе неочевидное, подлежит доказательству априори или что можно раскрыть основание всякой истины — словом, как обычно говорят, что ничего не происходит беспричинно» ( ibid ).

Сопоставление с текстом Кутюра показывает, что Кутюра произвел подмену, подставив совсем другой предикат по сравнению с тем, который высказан Лейбницем ⁸.

⁸ Сопоставим самые тексты. У Лейбница сформулировано так: «Основание всякой истины можно всегда отыскать, другими словами, как обычно говорят, ничего не происходит без причины» (omnis veritatis reddi ratio potest, vel, ut vulgo aiunt, quod nihil fit sine causa). У Кутюры: «Всякое истинное суждение — аналитично» (toute proposition vraie est analytique). С Кутюра полностью солидаризируется Б. Рассел, для которого «закон достаточного основания гласит, что все истинные предложения являются аналитическими» (Б. Рассел. История западной философии. М., 1959, стр. 611).

81

Глава VI . ЛЕЙБНИЦ

Мы уже говорили о том, что изучение логики Лейбница вдохновило Кутюра и Рассела на создание своих систем логистики. Нас здесь интересует вопрос, каким образом Лейбниц оказался источником современной математической логики?