Интегралы от неограниченной функции (иначе несобственные интегралы 2-го рода) на интервале  определяются формулами:

=│Здесь │=	(2.1)
=│Здесь │=	(2.2)
=│Здесь  и │=	(2.3)

В этих формулах:

Когда  говорят, что точка  является особой точкой, или особенностью для функции

Геометрический смысл формул (2.1) – (2.3) показан на рис. 2.1 – 2.3.

    Рис. 2.1                             Рис. 2.2                                   Рис. 2.3

При  формулы (2.1) – (2.3) имеют следующий смысл:

– формула (2.1) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль вертикали  (рис. 2.1);

– формула (2.2) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль вертикали  (рис. 2.2);

– формула (2.3) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль вертикали  (рис. 2.3).

З а д а ч а 4. Выясните, сходится ли несобственный интеграл 2-го рода

□

не существует.

Следовательно, данный интеграл расходится (значение  не существует, поэтому выражение  не имеет смысла: вычитать можно только числа). ■

Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода можно записать одним символом

в котором, например, при  получается интеграл (1.1), а при интеграл (2.1).

Тренировка по теме «Интегралы от неограниченной функции»

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

1)      2)     3)     4)     5) Расходится

1)      2)     3)     4)     5) Расходится

Сходимость несобственного интеграла

От степенной функции

Интеграл	сходится при расходится при	(3.1)
Интеграл	сходится при   расходится при	(3.2)

¨ При  получаем

 Значит, этот интеграл расходится. Рассмотрим интеграл (3.1) при остальных значениях

=

Утверждение (3.1) полностью доказано. Займёмся интегралом (3.2):

Получился интеграл вида (3.1); он сходится при  (при этом ) и расходится при других  ■

З а д а ч а 1. Сходится ли несобственный интеграл 1-го рода ?

□ Здесь , поэтому, согласно формуле (3.1), данный интеграл сходится. ■

З а д а ч а 2. Сходится ли несобственный интеграл 2-го рода ?

□ Здесь , поэтому, согласно (3.2), данный интеграл расходится. ■

П р и м е ч а н и е. Несобственные интегралы

,

приводятся к выражению (28.2), если выполнить соответствующую замену  или .

Тренировка по теме

«Сходимость несобственного интеграла от степенной функции»

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

1)      2)     3)     4)     5) Расходится

1)      2)     3)     4)     5) Расходится

[1] Ньютон Исаак (1642-1727) – английский физик и математик. Открыл закон всемирного тяготения, сформулировал основные законы механики, изобрёл зеркальный телескоп.

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) – немецкий математик, философ, физик, юрист, историк. Ввёл современные знаки дифференциала и интеграла.

[2] Интегрировать (лат.) – восстанавливать.

[3] Аналогичные равносильности имеются в школьной математике. Например, чтобы решать уравнения вида  люди придумали логарифмы и пишут  Поэтому выражения  и  равносильны друг другу (при  и .