Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Принцип составления определённого интеграла

 

При нахождении физической или геометрической величины определённый интеграл появляется естественным путём:

вы находите бесконечно малый кусочек величины и интегрированием получаете всю эту величину.

Именно таким путём получилась формула вычисления площади (1.1-2). Посмотрите ещё раз, как применяется этот принцип при решении следующей физической задачи.

Имеется тело, которое движется вдоль оси  под действием силы , направленной также вдоль оси  Определите работу, совершаемую этой силой на отрезке

□ Внутри  около произвольной точки выделим бесконечно малый участок длины  (рис. 1.1). Из-за малости  сила на этом участке не успевает заметно измениться. Поэтому полагаем силу постоянной и работа на участке  будет равна                      

             

Проинтегрировав по отрезку  получим формулу вычисления работы  на этом отрез-           Рис. 1.1

ке:

 ■                                           (1.1)

 

З а д а ч а 1. Найдите работу, совершаемую силой  на отрезке [2, 4] оси

□  ■

 

 

Тренировка по теме «Принцип составления определённого интеграла»

 

42. Решите задачи.

А) Представьте себе, что вы имеете функцию  скорость нагревания тела (изменение температуры тела за единицу времени). На сколько градусов  нагреется тело за промежуток времени от  до   (Ответ запишите через определённый интеграл).

Б) Представьте себе, что вы имеете функцию зависимость величины электрического тока от времени. Какое количество электричества  пройдёт через проводник за промежуток времени от  до  (Ответ запишите через определённый интеграл).

 

 

Площадь плоской фигуры

 

Фигура называется плоской, если всю её, не деформируя, можно расположить на плоскости.

Площади фигур  указанных на рис. 2.1 – 2.3, вы можете найти по следующим формулам:

 

	Площадь фигуры, прилегающей к оси сверху.	(2.1)
	Площадь фигуры, прилегающей к оси  справа.	(2.2)
	Площадь фигуры, ограниченной линиями	(2.3)

 

¨ Формула (2.1) была получена ранее (равенство (1.1-2). Формула (2.2) следует из формулы (2.1), если переменные  и поменять ролями.

   Рис. 2.1                 Рис. 2.2                Рис. 2.3                        Рис. 2.4

 

 

На рис. 2.3 площадь  равна разности площадей под линиями  и

 

Получилась формула (2.3). ■

 З а д а ч а 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной  параболой  и прямой

□ Составим систему уравнений и получим

Фигура  ограниченная линиями показана на рис. 2.7.

Её площадь

 ■

 

 

Тренировка по теме «Площадь плоской фигуры»

Найдите площадь фигур, ограниченных данными линиями.

а)

1)      2)      3)      4)    5)

 

в)

1)      2)      3)      4)    5)

 

Длина плоской линии

 

Линию называют плоской, если всю её, не деформируя, можно расположить на плоскости, например, на плоскости

Длину линий, показанных на рис. 3.1 – 3.2, вы можете найти по следующим формулам:

 

	– длина линии	(3.1)
	– длина линии	(3.2)

 

 

 

 

 

Рис. 3.1                           Рис. 3.2                        Рис. 3.3

¨ На рис. 3.3 показан в увеличенном масштабе прямоугольный треугольник, примыкающий к бесконечно малому кусочку линии

Применив к треугольнику формулу Пифагора, получим длину бесконечно малого кусочка линии в декартовых координатах:

 

                                    (3.3)

 

Величина называется также дифференциалом длины линии.

 

Если  то  и подстановка  в (3.3) даёт

                                          (3.4)

Если  то  и подстановка  в (3.3) даёт

■                                       (3.5)

 

З а д а ч а 1. Найдите длину линии  при

□

 ■

 

Тренировка по теме «Длина плоской линии»

 

Найдите длину линии.

а)  от вершины параболы до точки с абсциссой

1)      2)      3)      4)    5)

 

б)  между точками пересечения с осью абсцисс.

1)      2)      3)      4)

5)

 

     

 

 

Объём тела

 

Объём тела можно найти по одной из следующих формул:

 

	Здесь площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси  (рис. 4.1).	(4.1)
	Объём тела вращения вокруг оси (рис. 4.2).	(4.2)

 

 

 

                            Рис. 4.1                                    Рис. 4.2

 

¨ Дано тело  и ось  в пространстве (рис. 4.1).

Плоскостями, перпендикулярными оси  мысленно рассечём  на ломтики бесконечно малой толщины  Посмотрите на один такой кусочек (рис. 4.3). Из-за малости  площадь  сечения не успевает заметно измениться, поэтому считаем  постоянной на участке  Ломтик представляет собой цилиндр с основанием  и  высотой  Его объём равен Проинтегрировав это выражение, получим формулу (4.1).

Когда фигура вращается вокруг оси (или вокруг какой-нибудь другой прямой), получается тело вра-  Рис. 4.3

щения  вокруг  оси   (рис. 4.2).  В сечении, перпендику-

лярном оси  будет круг  Его радиус равен  поэтому площадь Подставив  в (4.1), получим (4.2). ■

 

З а д а ч а 1. Найдите объём шарового сегмента высотой h, отсечённого от шара радиуса R .

□ Нарисуем систему координат  как показано на рис. 4.4.

П е р в ы й   с п о с о б. Уравнение сферы (поверхности шара) таково:

 Между точками M и R возьмём произ­вольную точку   и проведём через неё

плоскость  перпендикулярно Oz .

В сече­нии получится круг. Уравнение

окружности, ограничивающей этот круг

Значит, радиус этого круга

а площадь

Так как  а точка  находится на

высоте то  

По формуле (4.1) получаем

Итак, объём шарового сегмента равен

                                                                                Рис. 4.4

В т о р о й   с п о с о б. Шаровой сегмент

представляет собой тело вращения вокруг оси  Лежащая на плоскости  линия  (часть окружности) имеет уравнение  Отсюда  где  По формуле (4.2) будем иметь  ■

Заметим, что если  получится  объём всего шара.

 

З а д а ч а 2. Найдите количество бетона, необходимого для возведения опоры моста в виде усечённого конуса. Размеры опоры: высота Н, радиус нижнего ос­нования R, радиус верхнего основания r.

□ Усечённый конус представляет собой тело вращения, получаемое при враще­нии трапеции вокруг оси  (рис. 4.5). На высоте  радиус попереч­ного сечения равен

 (из подобия треугольников  и  где  По формуле (4.2) будем иметь

Получилась известная формула объёма усе­чённого конуса. Итак, количество необходимого бетона

 ■

В частности, если м, м, м, плотность  то потребуется  бетона.

 

 

 

                             Рис. 4.5                                           Рис. 5.1

 

 

Тренировка по теме «Объём тела»

Найдите объём тел.

а) Тело ограничено параболическим цилиндром и плоскостями

1)      2) 2 3) 3 4)  4 5) 5

б) Тело образовано вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной линиями .

1)      2)      3)     4)     5)

 

5. Некоторые физические задачи

 

Задача на вычисление работы

Найдите работу по выкачиванию жидкости плотности из скважины радиуса  и глубины

□ Ось  направим вниз, точку  расположим на поверхности земли. Представим себе промежуточный случай: часть жидкости до глубины  уже выкачена (рис. 5.1). Найдём работу по удалению бесконечно тонкого слоя жидкости толщины   Этот слой представляет собой цилиндр с основанием  и высотой  поэтому его объём  вес    Слой находится на глубине  поэтому он будет удалён из скважины, если вы его поднимете на высоту  На это уйдёт работа

где  принимает значения от  до  Следовательно, 

                 ■