Интегрирование с помощью замены переменной

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Предисловие

Интегральное исчисление – раздел математики, в котором даётся понятие интеграла, рассматриваются его свойства и методы вычислений.

Здесь показывается, как интегралы помогают находить длину линии, площадь, объём различных фигур; как находить массу фигуры, вычислять работу, совершаемую переменной силой, и многое другое. Интегральное исчисление широко применяется в физике, при решении технических задач.

Дифференциальное и интегральное исчисления созданы И. Ньютоном и Г. Лейбницем[1] в конце 17-го века.

В тексте используются следующие обозначения:

□ – начало решения;

¨ – начало доказательства;

■ – конец решения или доказательства;

(б) – к применяем выражение (б) и получаем

(5.1) – ссылка на формулу (5.1) данной главы;

(5.1-1) – ссылка на формулу (5.1) главы 1.

В а ж н о е п р и м е ч а н и е. Если материал кажется запутанным и вы не можете его понять, не спешите двигаться дальше.

1) Вернитесь до того места, где начались трудности.

2) Найдите непонятое слово или символ, значение которого вы не знаете или знаете его неверное определение.

3) Узнайте, что оно означает. Значение, смысл слова вы можете найти в толковом словаре.

Глава 1

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Понятие неопределённого интеграла

Когда дана функция вы можете найти её производную – новую функцию

И наоборот, если дана функция то можно попытаться найти, восстановить саму функцию

З а д а ч а 1. Дана функция Найти функцию

□ Так как а также где любая константа, то

Проверка: ■

В этом разделе математики мы и будем заниматься такими задачами – решать уравнения вида

( y )' = u.

Неизвестная Заданная

функция. функция.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Выражение читается так: «интеграл от у дэ икс» или «интегрирование у дэ икс». Здесь

знак неопределённого интегрирования[2] (или знак неопределённого интеграла),

подынтегральная функция,

подынтегральное выражение,

переменная интегрирования.

Заметим, что если функция удовлетворяет уравнению то и функция в которой любая постоянная, также будет удовлетворять этому уравнению.

В самом деле, если то

Поэтому функция (которую мы назвали неопределённым интегралом) всегда содержит произвольную константу Чтобы каждый раз явно указывать на этот факт, вместо будем писать Константу называют постоянной интегрирования.

Из определения неопределённого интеграла вытекает равносильность[3]

(1.1)

(1.2)

Правильность ответа, найденного по формуле (1.1), вы можете проверить, применив формулу (1.2):

производная правой части должна быть равна подынтегральной функции.

З а д а ч а 1. Проверьте правильность равенства

□ Находим производную правой части:

Полученная функция совпала с подынтегральной функцией. Значит равенство написано верно. ■

Если в формуле (1.3) вы замените каким-либо числом (скажем, нулём), то правая часть формулы будет называться первообразной функцией для

Пример: имеем верное равенство Заменим нулём. В правой части получится первообразная функция для функции

Напомним, что дифференциал функции определяется по формуле

. (1.3)

Из равенств (1.1) – (1.3) получаются следующие формулы:

	Производная устраняет знак интеграла	(1.4)
	Дифференциал устраняет знак интеграла	(1.5)
	Интеграл устраняет знак производной	(1.6)
	Интеграл устраняет знак дифференциала	(1.7)

¨ получилась формула (1.4).

– формула (1.5).

в равенстве заменяем на и получаем (1.6).

получилась формула (1.7). ■

Тренировка по теме «Понятие неопределённого интеграла».doc

Задания

1. Применяя формулу найдите дифференциалы.

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

2. Применяя ту же формулу восстановите функцию под знаком дифференциала.

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

г)

1) 2) 3) 4) 5)

3. Используя переход от интегральной формулы (1.1) к дифференциальной (1.2), запишите следующие выражения в дифференциальной форме:

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

г)

1) 2) 3) 4) 5)

д)

1) 2) 3) 4) 5)

4. Докажите правильность равенств:

5. Используя переход от дифференциальной формулы (1.2) к интегральной (1.1), запишите следующие выражения в интегральной форме:

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

г)

1) 2) 3) 4) 5)

д)

1) 2) 3) 4) 5)

е)

1) 2) 3) 4) 5)

6. Применив одну из формул (1.4)-(1.7), допишите равенства.

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

е)

1) 2) 3) 4) 5)

Таблица интегрирования

В данной таблице:

– переменная величина,

– константы,

– постоянная интегрирования.

(2.1)	(2.2) Если , используйте формулу (2.3)
(2.3)	(2.4)
(2.5)	(2.6)
(2.7)	(2.8)
(2.9)	(2.10)
(2.11)	(2.12) Здесь
(2.13) Здесь	(2.14)
(2.15)	(2.16) Здесь
(2.17)	(2.18)
(2.19)	(2.20)

В правильности данных формул вы можете убедиться, найдя производную или дифференциал правой части.

Таблицу интегрирования желательно знать как таблицу умножения. Умение находить интегралы от различных функций вырабатывается, естественно, практикой. Впоследствии будут предложены приёмы, облегчающие интегрировать некоторые виды функций.

З а д а ч а 1. Докажите формулу (2.2).

□ Находим производную правой части:

получилась подынтегральная функция формулы (2.2). ■

З а д а ч а 2. Найдите интеграл

□ ■

З а д а ч а 3. Докажите формулу (2.3).

□ Если

то

Если же

то

Итак, в обоих случаях

(2.21)

поэтому формула (2.3) верна как при так и при ■

З а д а ч а 4. Докажите формулу (2.14).

□ │Логарифм дроби равен разности логарифмов│=

= (2.21) ■

З а д а ч а 5. Найдите

□ ■

Тренировка по теме «Таблица интегрирования»

1. Докажите формулу (2.12).

2. Найдите интегралы с помощью таблицы интегрирования.

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4)

Правила интегрирования

1.	Постоянный множитель можно переносить за знак интеграла.
2.	Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.

Эти правила упрощают вычисление интегралов.

¨ Докажем первое правило, найдя производную правой чаcти:

Получилась подынтегральная функция левой части, значит, правило (1) верно. Аналогично доказывается второе правило:

(1.5) ■

З а д а ч а 1. Найдите

□ (Здесь ). ■

З а д а ч а 2. Найдите

□ =

■

Как видим, для нахождения интеграла применяются правила интегрирования и таблица интегрирования. Поэтому можно сказать:

Тренировка по теме «Правила интегрирования»

Найдите интегралы, применяя правила интегрирования и таблицу интегрирования.

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3)

4) 5)

1) 2) 3)

4) 5)

1) 2) 3)

4) 5)

Частичное интегрирование

Частичное интегрирование (или интегрирование по частям) можно вести по формуле

(5.1)

в которой

¨ Проверим, в самом ли деле производная правой части равна :

(1.5) ■

З а д а ч а 1. Найдите

□ ■

В следующей задаче формулу (5.1) приходится применять дважды.

З а д а ч а 2. Найдите

□

■

Перечислим типичные интегралы, которые находятся по формуле (5.1):

(при n нечётном);

В этих выражениях N.

Посмотрите, как вычисляется интеграл

Итак, отсюда

или

Аналогично можно получить

Тренировка по теме «Частичное интегрирование»

Найдите интегралы, применяя метод частичного интегрирования.

1) 2) 3) 4)

1) 2) 3)

4) 5)

1) 2) 3) 4) 5)

1 )

З а д а ч а 1. Найдите

□ = ■

2 )

З а д а ч а 2. Найдите .

□

■

3 )

	а) Если m – нечётное число, делаем замену t = cos x, если же n – нечётное число, делаем замену t = sin x.
	б) Если m и n – чётные числа, применяем формулы
	в) Если ( ), делаем замену t = tg x, тогда

З а д а ч а 3. Найдите .

□ =│Сделаем замену │ . ■

З а д а ч а 4. Найдите .

□ =

= =

= =│Но │=

= . ■

З а д а ч а 5. Найдите .

□

= = =

= = . ■

4) Пусть символ обозначает рациональную функцию от своих аргументов. Интегрировать функцию можно с помощью следующей замены:

Делаем замену

тогда

Замена называется универсальной тригонометрической подстановкой. Она может приводить к громоздким выкладкам, поэтому к ней прибегают, когда ни один из предыдущих методов не подходит.

З а д а ч а 5. Найдите .

□ = = =

= = = . ■

Тренировка по теме

«Интегрирование некоторых типов тригонометрических выражений»

Найдите интегралы.

а)

1) 2) 3)

4) 5)

1) 2) 3)

4) 5)

б)

1) 2) 3)

4) 5)

1) 2) 3)

4) 5)

в)

1) 2) 3)

4) 5)

г)

1) 2) 3)

4) 5)

Иррациональных функций

Функция, состоящая из действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения переменной величины в дробную рациональную степень, называется иррациональной. Посмотрите, как интегрируются два вида иррациональных функций.

Делаем замену

З а д а ч а 1. Найдите .

□

тогда

= = = =

= = ■

2) Выражение называется дифференциальным биномом. Существуют лишь три случая, когда интеграл от дифференциального бинома является элементарной функцией. Числа должны быть рациональными и удовлетворять одному из трёх условий:

	а) Если p – целое число, делаем замену x = t ^N, где N – общий знаменатель дробей m , n .	(11.1)
	б) Если – целое число, делаем замену где N – знаменатель дроби p .	(11.2)
	в) Если – целое число, делаем замену где N – знаменатель дроби p .	(11.3)

З а д а ч а 2. Найдите .

□ = =

выполнен случай (11.3).

Из неё получим

= = = │Выполним обратную замену: │=

= ■

Тренировка по теме

«Интегрирование некоторых типов иррациональных функций»

1. Найдите интегралы.

1) 2)

3) 4) 5)

1) 2)

3) 4)

1) 2) 3) 4) 5)

Неберущиеся интегралы

Интегралы, которые не являются элементарными функциями, называются неберущимися, или неэлементарными интегралами.

Так, неберущимся является интеграл потому что для него ни один из случаев (11.1) – (11.3) не выполняется.

Укажем некоторые неберущиеся интегралы:

не берутся, когда N;

эллиптический интеграл 1-го рода;

эллиптический интеграл 2-го рода.

В эллиптических интегралах

Как видите, интегрирование – дело довольно кропотливое. Для помощи в нахождении интегралов существуют книги, например, [3], в которых собраны различные типы элементарных и неэлементарных интегралов. Системы компьютерной математики Mathcad, Mathematica, Maple V, а также Интернет предоставляют широкие возможности в интегрировании различных функций. Однако вы сможете воспользоваться данными возможностями лишь в том случае, когда понимаете суть дела и владеете основными приёмами интегрирования. В донесении этих идей и была цель данной главы.

Тесты по неопред.интегралам

Глава 2

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Производная интеграла

С помощью замены переменной

¨ =│Сделаем замену или │=

= ■

З а д а ч а 1. Найдите

□ = =

■

Тренировка по теме

«Вычисление определённого интеграла с помощью замены переменной»

Найдите интегралы.

1) 2) 3) 4) 5)

№ 9.1.47.

1) 2) 3) 4) 5)

№ 9.1.48.

1) 2) 3) 4) 5)

Частичное интегрирование

В определённом интеграле

Частичное интегрирование (или интегрирование по частям) ведётся по формуле

(7.1)

которую можно записать в виде

¨ Применив к формуле (5.1-1) формулу (4.1), сразу получим (7.1). ■

З а д а ч а 1. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией осью и прямыми .

□ Нарисуем фигуру (рис.7.1) и вычислим её пло-

щадь:

■ Рис. 7.1

Тренировка по теме «Частичное интегрирование в неопределённом интеграле»

Найдите интегралы.

1) 2) 3) 4) 5)

Среднее значение функции

Пусть дана функция и на интервале построен

её график (рис. 8.1). Площадь фигуры будет равна (а)

Рис. 8.1 Рис. 8.2

Выровняем верхнюю границу фигуры, сохранив её площадь (рис. 8.2). Получится прямоугольник, площадь которого (б)

Приравняв правые части формул (а), (б), получим

Формула вычисления среднего значения функции

на интервале

(8.1)

З а д а ч а 1. Найдите среднее значение функции при

□

■

З а д а ч а 2. По проводнику с сопротивлением течёт переменный электрический ток ( амплитуда, круговая частота колебаний тока). Найдите среднее значение мощности тока. (Справка. Используйте полученный в физике результат: мгновенное значение мощности электрического тока определяется по формуле

□ Подставим значение в формулу мощности: Так как то Теперь находим среднее значение мощности тока за произвольный промежуток времени

(а)

Покажем, что а потому член можно отбросить. Для технических целей применяется переменный ток частотой 50 Гц. В этом случае круговая частота Отсюда

Обычное время наблюдения человека за мощностью тока намного превышает крошечную величину поэтому эту величину действительно можно отбросить. Тогда из (а) получим

■

Тренировка по теме «Среднее значение функции»

Решите задачи.

а) Вычислите среднее значение функции на интервале [1, 8].

1) 2) 3) 4) 5)

б) Вычислите среднее значение функций и на интервале

1) и 2) и 3) и 4) и 5) и

Тесты по опред.интегралам.

Глава 3

Площадь плоской фигуры

Фигура называется плоской, если всю её, не деформируя, можно расположить на плоскости.

Площади фигур указанных на рис. 2.1 – 2.3, вы можете найти по следующим формулам:

	Площадь фигуры, прилегающей к оси сверху.	(2.1)
	Площадь фигуры, прилегающей к оси справа.	(2.2)
	Площадь фигуры, ограниченной линиями	(2.3)

¨ Формула (2.1) была получена ранее (равенство (1.1-2). Формула (2.2) следует из формулы (2.1), если переменные и поменять ролями.

Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3 Рис. 2.4

На рис. 2.3 площадь равна разности площадей под линиями и

Получилась формула (2.3). ■

З а д а ч а 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

□ Составим систему уравнений и получим

Фигура ограниченная линиями показана на рис. 2.7.

Её площадь

■

Тренировка по теме «Площадь плоской фигуры»

Найдите площадь фигур, ограниченных данными линиями.

а)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

Длина плоской линии

Линию называют плоской, если всю её, не деформируя, можно расположить на плоскости, например, на плоскости

Длину линий, показанных на рис. 3.1 – 3.2, вы можете найти по следующим формулам:

	– длина линии	(3.1)
	– длина линии	(3.2)

Рис. 3.1 Рис. 3.2 Рис. 3.3

¨ На рис. 3.3 показан в увеличенном масштабе прямоугольный треугольник, примыкающий к бесконечно малому кусочку линии

Применив к треугольнику формулу Пифагора, получим длину бесконечно малого кусочка линии в декартовых координатах:

(3.3)

Величина называется также дифференциалом длины линии.

Если то и подстановка в (3.3) даёт

(3.4)

Если то и подстановка в (3.3) даёт

■ (3.5)

З а д а ч а 1. Найдите длину линии при

□

■

Тренировка по теме «Длина плоской линии»

Найдите длину линии.

а) от вершины параболы до точки с абсциссой

1) 2) 3) 4) 5)

б) между точками пересечения с осью абсцисс.

1) 2) 3) 4)

Объём тела

Объём тела можно найти по одной из следующих формул:

	Здесь площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси (рис. 4.1).	(4.1)
	Объём тела вращения вокруг оси (рис. 4.2).	(4.2)

Рис. 4.1 Рис. 4.2

¨ Дано тело и ось в пространстве (рис. 4.1).

Плоскостями, перпендикулярными оси мысленно рассечём на ломтики бесконечно малой толщины Посмотрите на один такой кусочек (рис. 4.3). Из-за малости площадь сечения не успевает заметно измениться, поэтому считаем постоянной на участке Ломтик представляет собой цилиндр с основанием и высотой Его объём равен Проинтегрировав это выражение, получим формулу (4.1).

Когда фигура вращается вокруг оси (или вокруг какой-нибудь другой прямой), получается тело вра- Рис. 4.3

щения вокруг оси (рис. 4.2). В сечении, перпендику-

лярном оси будет круг Его радиус равен поэтому площадь Подставив в (4.1), получим (4.2). ■

З а д а ч а 1. Найдите объём шарового сегмента высотой h, отсечённого от шара радиуса R .

□ Нарисуем систему координат как показано на рис. 4.4.

П е р в ы й с п о с о б. Уравнение сферы (поверхности шара) таково:

Между точками M и R возьмём произвольную точку и проведём через неё

плоскость перпендикулярно Oz .

В сечении получится круг. Уравнение

окружности, ограничивающей этот круг

Значит, радиус этого круга

а площадь

Так как а точка находится на

высоте то

По формуле (4.1) получаем

Итак, объём шарового сегмента равен

Рис. 4.4

В т о р о й с п о с о б. Шаровой сегмент

представляет собой тело вращения вокруг оси Лежащая на плоскости линия (часть окружности) имеет уравнение Отсюда где По формуле (4.2) будем иметь ■

Заметим, что если получится объём всего шара.

З а д а ч а 2. Найдите количество бетона, необходимого для возведения опоры моста в виде усечённого конуса. Размеры опоры: высота Н, радиус нижнего основания R, радиус верхнего основания r.

□ Усечённый конус представляет собой тело вращения, получаемое при вращении трапеции вокруг оси (рис. 4.5). На высоте радиус поперечного сечения равен

(из подобия треугольников и где По формуле (4.2) будем иметь

Получилась известная формула объёма усечённого конуса. Итак, количество необходимого бетона

■

В частности, если м, м, м, плотность то потребуется бетона.

Рис. 4.5 Рис. 5.1

Тренировка по теме «Объём тела»

Найдите объём тел.

а) Тело ограничено параболическим цилиндром и плоскостями

1) 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5

б) Тело образовано вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

1) 2) 3) 4) 5)

5. Некоторые физические задачи

Задача на вычисление работы

Найдите работу по выкачиванию жидкости плотности из скважины радиуса и глубины

□ Ось направим вниз, точку расположим на поверхности земли. Представим себе промежуточный случай: часть жидкости до глубины уже выкачена (рис. 5.1). Найдём работу по удалению бесконечно тонкого слоя жидкости толщины Этот слой представляет собой цилиндр с основанием и высотой поэтому его объём вес Слой находится на глубине поэтому он будет удалён из скважины, если вы его поднимете на высоту На это уйдёт работа

где принимает значения от до Следовательно,

■

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Интеграл от неограниченной функции или с неограниченной областью интегрирования называется несобственным.

Если несобственный интеграл равен какому-либо числу, он называется сходящимся; в остальных случаях несобственный интеграл называется расходящимся.

Интегрирования

Интегралы с неограниченной областью интегрирования (иначе, несобственные интегралы 1-го рода) определяются формулами

	(1.1)
	(1.2)
	(1.3)

Геометрический смысл равенств (1.1) – (1.3) показан на рис. 1.1 – 1.3. Если формула (1.1) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль оси в положительном направлении (рис. 1.1).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Аналогично, формула (1.2) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль оси в отрицательном направлении (рис. 1.2). Наконец, формула (1.3) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль оси в обоих направлениях (рис. 1.3). В этой формуле число можно взять любым (часто берут ).

При вычислении несобственного интеграла часто можно обойтись без Рис. 1.3

знака предела.

З а д а ч а 1. Найдите несобственный интеграл 1-го рода

□ Получилось число, следовательно, данный несобственный интеграл сходится. ■

З а д а ч а 2. Выясните, сходится ли несобственный интеграл 1-го рода

□ Значение не существует, поэтому этот интеграл расходится. ■

З а д а ч а 3. Найдите потенциал электрического поля, создаваемого зарядом на расстоянии от этого заряда.

□ Потенциалом в точке (обозначим его

) называется работа, совершаемая

внешней силой при переносе заряда (+1)

из бесконечности в точку (рис. 1.4).

Пусть заряд положителен. По закону Рис. 1.4

Кулона внешняя сила равна Знак минус написан потому, что внешняя сила направлена противоположно оси чтобы преодолеть отталкивание одноимённых зарядов. В этом случае

■

Тренировка по теме «Интегралы с неограниченной областью интегрирования»

58. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

1) 2) 3) 4) 5) Расходится

От степенной функции

Интеграл	сходится при расходится при	(3.1)
Интеграл	сходится при расходится при	(3.2)

¨ При получаем

Значит, этот интеграл расходится. Рассмотрим интеграл (3.1) при остальных значениях

Утверждение (3.1) полностью доказано. Займёмся интегралом (3.2):

Получился интеграл вида (3.1); он сходится при (при этом ) и расходится при других ■

З а д а ч а 1. Сходится ли несобственный интеграл 1-го рода ?

□ Здесь , поэтому, согласно формуле (3.1), данный интеграл сходится. ■

З а д а ч а 2. Сходится ли несобственный интеграл 2-го рода ?

□ Здесь , поэтому, согласно (3.2), данный интеграл расходится. ■

П р и м е ч а н и е. Несобственные интегралы

приводятся к выражению (28.2), если выполнить соответствующую замену или .

Тренировка по теме

«Сходимость несобственного интеграла от степенной функции»

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

1) 2) 3) 4) 5) Расходится

[1] Ньютон Исаак (1642-1727) – английский физик и математик. Открыл закон всемирного тяготения, сформулировал основные законы механики, изобрёл зеркальный телескоп.

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) – немецкий математик, философ, физик, юрист, историк. Ввёл современные знаки дифференциала и интеграла.

[2] Интегрировать (лат.) – восстанавливать.

[3] Аналогичные равносильности имеются в школьной математике. Например, чтобы решать уравнения вида люди придумали логарифмы и пишут Поэтому выражения и равносильны друг другу (при и .

Предисловие

Дифференциальное и интегральное исчисления созданы И. Ньютоном и Г. Лейбницем[1] в конце 17-го века.

В тексте используются следующие обозначения:

□ – начало решения;

¨ – начало доказательства;

■ – конец решения или доказательства;

(б) – к применяем выражение (б) и получаем

(5.1) – ссылка на формулу (5.1) данной главы;

(5.1-1) – ссылка на формулу (5.1) главы 1.

1) Вернитесь до того места, где начались трудности.

2) Найдите непонятое слово или символ, значение которого вы не знаете или знаете его неверное определение.

3) Узнайте, что оно означает. Значение, смысл слова вы можете найти в толковом словаре.

Глава 1

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Понятие неопределённого интеграла

Когда дана функция вы можете найти её производную – новую функцию

И наоборот, если дана функция то можно попытаться найти, восстановить саму функцию

З а д а ч а 1. Дана функция Найти функцию

□ Так как а также где любая константа, то

Проверка: ■

В этом разделе математики мы и будем заниматься такими задачами – решать уравнения вида

( y )' = u.

Неизвестная Заданная

функция. функция.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Выражение читается так: «интеграл от у дэ икс» или «интегрирование у дэ икс». Здесь

знак неопределённого интегрирования[2] (или знак неопределённого интеграла),

подынтегральная функция,

подынтегральное выражение,

переменная интегрирования.

В самом деле, если то

Из определения неопределённого интеграла вытекает равносильность[3]

(1.1)

(1.2)

Правильность ответа, найденного по формуле (1.1), вы можете проверить, применив формулу (1.2):

производная правой части должна быть равна подынтегральной функции.

З а д а ч а 1. Проверьте правильность равенства

□ Находим производную правой части:

Полученная функция совпала с подынтегральной функцией. Значит равенство написано верно. ■

Пример: имеем верное равенство Заменим нулём. В правой части получится первообразная функция для функции

Напомним, что дифференциал функции определяется по формуле

. (1.3)

Из равенств (1.1) – (1.3) получаются следующие формулы:

	Производная устраняет знак интеграла	(1.4)
	Дифференциал устраняет знак интеграла	(1.5)
	Интеграл устраняет знак производной	(1.6)
	Интеграл устраняет знак дифференциала	(1.7)

¨ получилась формула (1.4).

– формула (1.5).

в равенстве заменяем на и получаем (1.6).

получилась формула (1.7). ■

Тренировка по теме «Понятие неопределённого интеграла».doc

Задания

1. Применяя формулу найдите дифференциалы.

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

2. Применяя ту же формулу восстановите функцию под знаком дифференциала.

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

г)

1) 2) 3) 4) 5)

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

г)

1) 2) 3) 4) 5)

д)

1) 2) 3) 4) 5)

4. Докажите правильность равенств:

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

г)

1) 2) 3) 4) 5)

д)

1) 2) 3) 4) 5)

е)

1) 2) 3) 4) 5)

6. Применив одну из формул (1.4)-(1.7), допишите равенства.

а)

1) 2) 3) 4) 5)

б)

1) 2) 3) 4) 5)

в)

1) 2) 3) 4) 5)

е)

1) 2) 3) 4) 5)

Таблица интегрирования

В данной таблице:

– переменная величина,

– константы,

– постоянная интегрирования.

(2.1)	(2.2) Если , используйте формулу (2.3)
(2.3)	(2.4)
(2.5)	(2.6)
(2.7)	(2.8)
(2.9)	(2.10)
(2.11)	(2.12) Здесь
(2.13) Здесь	(2.14)
(2.15)	(2.16) Здесь
(2.17)	(2.18)
(2.19)	(2.20)

В правильности данных формул вы можете убедиться, найдя производную или дифференциал правой части.

З а д а ч а 1. Докажите формулу (2.2).

□ Находим производную правой части:

получилась подынтегральная функция формулы (2.2). ■

З а д а ч а 2. Найдите интеграл

□ ■

З а д а ч а 3. Докажите формулу (2.3).

□ Если

то

Если же

то

Итак, в обоих случаях

(2.21)

поэтому формула (2.3) верна как при так и при ■

З а д а ч а 4. Докажите формулу (2.14).

□ │Логарифм дроби равен разности логарифмов│=

= (2.21) ■

З а д а ч а 5. Найдите

□ ■

Тренировка по теме «Таблица интегрирования»

1. Докажите формулу (2.12).

2. Найдите интегралы с помощью таблицы интегрирования.

1) 2) 3) 4) 5)

1) 2) 3) 4)

Правила интегрирования

1.	Постоянный множитель можно переносить за знак интеграла.
2.	Интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.

Эти правила упрощают вычисление интегралов.

¨ Докажем первое правило, найдя производную правой чаcти:

(1.5) ■

З а д а ч а 1. Найдите

□ (Здесь ). ■

З а д а ч а 2. Найдите

□ =

■