Найдите изгибающий момент  в поперечном сечении  горизонтальной балки длины  если известно, что балка находится в равновесии под действием опорных реакций  и распределённой вдоль балки нагрузки с интенсивностью  ( расстояние от левой опоры, постоянный коэффициент).

□ Для наглядности сделаем чертёж (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Мысленно отбросим правую часть балки  Изгибающий момент в точке  равен сумме моментов всех сил и нагрузок, действующих слева от  Момент силы  стремящейся вращать балку по часовой стрелке, положителен и равен  Момент, создаваемый нагрузкой на участке  находящемся на расстоянии  от левой опоры (и, значит, на расстоянии  от точки  равен

где  Поэтому момент, создаваемый всей нагрузкой на участке

Следовательно,

Выразим через  Момент всех сил относительно точки  должен равняться 0, потому что балка находится в равновесии, не вращается. Поэтому при  получаем  Итак,

 ■

Приравняв производную изгибающего момента к нулю, получим

Мы определили опасное сечение – то сечение, в котором изгибающий момент максимален, в котором волокна балки испытывают наибольшие напряжения.

Тренировка по теме «Некоторые физические задачи»

Решите задачи.

а) Рессора прогибается под нагрузкой 2 т на 1.5 см. Какую работу нужно затратить для прогиба рессоры на 3 см? (Сила деформации пропорциональна величине прогиба.)

1)      2)     3)     4)     5)

б) Найдите работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотности из вертикального цилиндрического резервуара высоты  и радиусом основания

1)      2)     3)     4)     5)

Тесты по применению.

Итоговый тест.

Глава 4

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Если несобственный интеграл равен какому-либо числу, он называется сходящимся; в остальных случаях несобственный интеграл называется расходящимся.

Интегралы с неограниченной областью

Интегрирования

 Интегралы с неограниченной областью интегрирования (иначе, несобственные интегралы 1-го рода) определяются формулами

	(1.1)
	(1.2)
	(1.3)

Геометрический смысл равенств (1.1) – (1.3) показан на рис. 1.1 – 1.3. Если  формула (1.1) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль оси в положительном направлении (рис. 1.1).

Рис. 1.1                                                                Рис. 1.2

Аналогично, формула (1.2) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль оси в отрицательном направлении (рис. 1.2). Наконец, формула (1.3) даёт площадь криволинейной трапеции, бесконечно растянувшейся вдоль оси в обоих направлениях (рис. 1.3). В этой формуле число  можно взять любым (часто берут ).

При вычислении несобственного интеграла часто можно обойтись без                   Рис. 1.3

знака предела.

З а д а ч а 1. Найдите несобственный интеграл 1-го рода

□ Получилось число, следовательно, данный несобственный интеграл сходится. ■

З а д а ч а 2. Выясните, сходится ли несобственный интеграл 1-го рода

□ Значение  не существует, поэтому этот интеграл расходится. ■

З а д а ч а 3. Найдите потенциал электрического поля, создаваемого зарядом  на расстоянии  от этого заряда.

□ Потенциалом в точке  (обозначим его

) называется работа, совершаемая

внешней силой  при переносе заряда (+1)

из бесконечности в точку  (рис. 1.4).

Пусть заряд  положителен. По закону                           Рис. 1.4

Кулона внешняя сила равна Знак минус написан потому, что внешняя сила направлена противоположно оси  чтобы преодолеть отталкивание одноимённых зарядов. В этом случае

 ■

Тренировка по теме «Интегралы с неограниченной областью интегрирования»

58. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

1)      2)     3)     4)     5) Расходится

1)      2)     3)     4)     5) Расходится