Фазовое пространство

Пусть эволюция двумерной ДС задаётся автономной системой ДУ

                                       (9.1)

с известными правыми частями, не содержащими  в явном виде. Решив эту систему, получим пару функций

                                  (9.2)

где  – постоянные. На плоскости введём систему координат  Решение (8.2) изобразится семейством линий.

Фазовая плоскость – плоскость, на которой координаты  характеризуют состояние ДС.

Фазовая точка – любая точка фазового пространства.

Фазовая линия (или фазовая траектория) – линия, по которой движется фазовая точка с течением времени.

Выражения (8.2) являются параметрическими уравнениями фазовой линии, если считать  переменным параметром.

Фазовый портрет динамической системы – это набор фазовых линий.

Фазовый портрет системы (9.1) получается при различных начальных условиях. Для одномерной ДС фазовый портрет состоит из одной фазовой линии.

Точка покоя (или неподвижная точка, особая точка, состояние равновесия) – фазовая точка, скорость которой равна нулю.

Вектор  есть скорость фазовой точки. Если фазовая точка неподвижна, то  Равенство  означает, что

 или

Значит,

Точки покоя двумерной ДС являются корнями системы двух уравнений

З а д а ч а  1. Найти точки покоя ДС, описываемой системой уравнений

 Приравняем правые части нулю:

Из первого уравнения  получаем Второе уравнение запишем так:  Подстановка значений  даст соответственно  Следовательно, на фазовой плоскости  точками покоя являются две точки с координатами   ■

Исследование динамической системы на устойчивость

По первому приближению

Дано: динамическая система описывается системой уравнений и  – нулевое решение этой системы.

Составляем характеристическое уравнение                               (10.1) Находим его корни  и их вещественные части  Делаем вывод: нулевое решение: - асимптотически устойчиво, если все  отрицательны; - неустойчиво, если среди  имеется положительное число; - нужно исследовать другим способом, если среди  имеется ноль (критический случай).

З а д а ч а  1. Динамическая система описывается системой уравнений

Исследовать точку покоя  на устойчивость по первому приближению.

 Выпишем правые части:

Найдём их частные производные:

Составим характеристическое уравнение

 или

Раскроем определитель

 или

Вычислим корни

.

Оба корня вещественны и отрицательны. Следовательно, точка покоя асимптотически устойчива. ■

Исследование динамической системы на устойчивость

С помощью функции Ляпунова

Дано: динамическая система описывается системой уравнений   – нулевое решение этой системы,  – окрестность начала координат.

Если существует вещественная функция удовлетворяющая условиям то нулевое решение: при

Окрестность точки – это какая-либо область, содержащая эту точку.  Здесь  – область, не содержащая начало координат.

Функция  называется функцией Ляпунова.

З а д а ч а  1. Динамическая система описывается системой уравнений

Исследовать нулевое решение  на устойчивость с помощью функции Ляпунова.

 В качестве функции Ляпунова возьмём

Она удовлетворяет обоим условиям:  и  при  Её производная по времени равна

Значения  и  даны в условии задачи. Подставим их:

После упрощений получим  Это значит, что нулевое решение  асимптотически устойчиво. ■

З а д а ч а  2. Динамическая система описывается системой уравнений

Исследовать нулевое решение  на устойчивость с помощью функции Ляпунова.

 В качестве функции Ляпунова возьмём

Она удовлетворяет обоим условиям:  и  при  Её производная по времени равна

Значения  и  даны в условии задачи. Подставим их:

По условию нас интересует поведение ДС вблизи нуля (т.е. при ). При малых значениях  главную роль играют члены с наименьшими степенями. Их оставим, остальные отбросим:

Отсюда

Это выражение можно преобразовать к виду

 где

Выражение в скобках имеет дискриминант  Это значит, что выражение в скобках всегда положительно. Следовательно,  – нулевое решение асимптотически устойчиво. ■