ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Динамическая система

Динамическая система (ДС) – объект или процесс, состояние которого изменяется с течением времени.

Состояние механической системы – это координаты и скорости тел, входящих в систему.

Примеры динамических систем: физический маятник; электрический колебательный контур.

Если состояние ДС изменяется непрерывно, то ДС называют системой с непрерывным временем, или потоком.

Если состояние ДС изменяется скачком, дискретно, то ДС называют системой с дискретным временем, или каскадом.

Изменение состояния ДС с течением времени называют эволюцией ДС.

Вместо реальной ДС будем рассматривать её математическую модель.

Математическая модель динамической системы – это уравнение или система уравнений, описывающих эволюцию ДС.

Эволюция одномерной динамической системы

Обозначим состояние ДС. Когда изменяется с течением времени, или зависит от времени, мы пишем или где – время. В этом случае за бесконечно малый промежуток времени состояние изменится на бесконечно малую величину Поэтому скорость изменения состояния ДС равна Эту скорость обозначим Если зависит от и от мы пишем или В результате получаем равенство

или

(2.1)

где точка над буквой есть другое обозначение производной по времени. Если функция известна, то равенство (2.1) будет дифференциальным уравнением, содержащим неизвестную функцию Решив уравнение (2.1), т.е. найдя функцию вы будете знать, как изменяется состояние ДС с течением времени. Уравнение (2.1) есть закон эволюции ДС.

Общее и частное решения дифференциального уравнения

Чтобы решить уравнение (2.1), т.е. чтобы избавиться от знака производной и найти «чистое» нужно выполнить обратное действие – интегрирование. Решение – результат вычисления неопределённого интеграла, всегда содержит произвольную постоянную величину, обычно обозначаемую буквой Поэтому пишут или просто

Решение, содержащее произвольную буквенную постоянную, называют общим решением.

Пример 3.1. Решив уравнение вы получите – общее решение (ибо в нём имеется произвольная постоянная ).

Общее решение включает в себя бесчисленное множество решений.

Если заменить каким-нибудь числом, получится частное решение.

Пример 3.2. Возьмём общее решение из примера 1. Если вместо подставить 9, получится – частное решение.

Интегральные линии

График частного решения на плоскости называют интегральной линией (рис. 4.1).

Подставляя в общее решение вместо разные числа, будем получать различные частные решения и их графики. Эти графики, или по-другому, интегральные линии, заполнят собой некоторую область – область существования решений на плоскости Примеры интегральных линий, полученных в результате решения некоторых уравнений, показаны на рис. 4.2.

В реальной практике обычно известно начальное состояние ДС (или начальное условие): Рис. 4.1

при

или

Пример 4.1. Если при должно быть то это условие записывают в виде или .

На плоскости начальное условие изображается точкой с координатами (рис. 4.1). Эта точка выделяет проходящую через неё интегральную линию.

В общем случае возможно пересечение интегральных линий. Но если функция и её частная производная непрерывны в то интегральные линии пересекаться не могут.

а б в

г д е

Рис. 4.2

Дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение (ДУ) – равенство, содержащее производную или дифференциал неизвестной функции.

Поэтому цель решения ДУ – найти неизвестную функцию, избавившись от производной или дифференциала. Ещё раз отметим, что

ДУ 1 порядка
Тип ДУ	Метод решения
ДУ с отделёнными переменными
ДУ с отделяющимися переменными	Делим обе части на
Однородное ДУ 1 порядка	Тогда Подставляем и находим
Линейное ДУ 1 порядка	и определяются из системы
ДУ Бернулли	и определяются из системы
ДУ в полных дифференциалах

ДУ 2 порядка
Тип ДУ	Метод решения
Неполное ДУ, нет	Замена Тогда
Неполное ДУ, нет	Замена Тогда
Линейное однородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами	Составим уравнение найдём корни и пишем решение
Линейное неоднородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами	Общее решение Здесь определяется из а определяется подстановкой в исходное ДУ

Фазовое пространство

Пусть эволюция двумерной ДС задаётся автономной системой ДУ

(9.1)

с известными правыми частями, не содержащими в явном виде. Решив эту систему, получим пару функций

(9.2)

где – постоянные. На плоскости введём систему координат Решение (8.2) изобразится семейством линий.

Фазовая плоскость – плоскость, на которой координаты характеризуют состояние ДС.

Фазовая точка – любая точка фазового пространства.

Фазовая линия (или фазовая траектория) – линия, по которой движется фазовая точка с течением времени.

Выражения (8.2) являются параметрическими уравнениями фазовой линии, если считать переменным параметром.

Фазовый портрет динамической системы – это набор фазовых линий.

Фазовый портрет системы (9.1) получается при различных начальных условиях. Для одномерной ДС фазовый портрет состоит из одной фазовой линии.

Точка покоя (или неподвижная точка, особая точка, состояние равновесия) – фазовая точка, скорость которой равна нулю.

Вектор есть скорость фазовой точки. Если фазовая точка неподвижна, то Равенство означает, что

или

Значит,

Точки покоя двумерной ДС

являются корнями системы двух уравнений

З а д а ч а 1. Найти точки покоя ДС, описываемой системой уравнений

 Приравняем правые части нулю:

Из первого уравнения получаем Второе уравнение запишем так: Подстановка значений даст соответственно Следовательно, на фазовой плоскости точками покоя являются две точки с координатами ■

По первому приближению

Дано: динамическая система описывается системой уравнений

– нулевое решение этой системы.

Составляем характеристическое уравнение

(10.1) Находим его корни

и их вещественные части

Делаем вывод: нулевое решение: - асимптотически устойчиво, если все

отрицательны; - неустойчиво, если среди

имеется положительное число; - нужно исследовать другим способом, если среди

имеется ноль (критический случай).

З а д а ч а 1. Динамическая система описывается системой уравнений

Исследовать точку покоя на устойчивость по первому приближению.

 Выпишем правые части:

Найдём их частные производные:

Составим характеристическое уравнение

или

Раскроем определитель

или

Вычислим корни

Оба корня вещественны и отрицательны. Следовательно, точка покоя асимптотически устойчива. ■

С помощью функции Ляпунова

Дано: динамическая система описывается системой уравнений

– нулевое решение этой системы,

– окрестность начала координат.

Если существует вещественная функция

удовлетворяющая условиям

то нулевое решение: при

Окрестность точки – это какая-либо область, содержащая эту точку. Здесь – область, не содержащая начало координат.

Функция называется функцией Ляпунова.

З а д а ч а 1. Динамическая система описывается системой уравнений

Исследовать нулевое решение на устойчивость с помощью функции Ляпунова.

 В качестве функции Ляпунова возьмём

Она удовлетворяет обоим условиям: и при Её производная по времени равна

Значения и даны в условии задачи. Подставим их:

После упрощений получим Это значит, что нулевое решение асимптотически устойчиво. ■

З а д а ч а 2. Динамическая система описывается системой уравнений

Исследовать нулевое решение на устойчивость с помощью функции Ляпунова.

 В качестве функции Ляпунова возьмём

Она удовлетворяет обоим условиям: и при Её производная по времени равна

Значения и даны в условии задачи. Подставим их:

По условию нас интересует поведение ДС вблизи нуля (т.е. при ). При малых значениях главную роль играют члены с наименьшими степенями. Их оставим, остальные отбросим:

Отсюда

Это выражение можно преобразовать к виду

где

Выражение в скобках имеет дискриминант Это значит, что выражение в скобках всегда положительно. Следовательно, – нулевое решение асимптотически устойчиво. ■

Динамической системы

Рассмотрим ДС, которая описывается системой ДУ вида

(13.1)

где – константы. Для этой системы начало координат является точкой покоя. Исследуем эту точку на устойчивость по первому приближению. Имеем

Отсюда:

Составим характеристическое уравнение по формуле (10.1):

Раскрыв определитель, получим квадратное уравнение

где Находим два его корня

Возможны следующие случаи. Таблица (13.2)

1. Корни вещественные

В этом случае точка покоя:
асимптотически устойчивый узел (рис. 13.1 а)	неустойчивый узел (рис. 13.1 б)	седло, неустойчива (рис. 13.1 в)	устойчива (рис. 13.1 г)	неустойчива

2. Корни комплексные

В этом случае точка покоя:
асимптотически устойчивый фокус, колебания затухают (рис. 13.1 д)	Неустойчивый фокус, колебания нарастают (рис. 13.1 е)	устойчивый центр, незатухающие автоколебания (рис. 13.1 ё)

На рис. 13.1 показаны варианты поведения фазовых линий (или поведения динамической системы) вблизи точки покоя.

а б в г

д е ё

Рис. 13.1

З а д а ч а 1. Определить характер точки покоя динамической системы, заданной системой ДУ

 Приравняем правые части нулю,

Из этой системы уравнений находим т.е. начало координат является точкой покоя. Составим характеристическое уравнение по формуле (10.1):

Раскрыв определитель, получим квадратное уравнение

Его корни:

Корни получились комплексные и Поэтому в соответствии с таблицей (13.2) получаем ответ: точка покоя является устойчивым фокусом. ■

Автоколебательные системы

ДС, в которой все фазовые траектории притягиваются к замкнутой траектории, называется автоколебательной. Автоколебательной ДС может быть только нелинейная диссипативная (в которой энергия рассеивается из-за трения) система. Замкнутая траектория в фазовом пространстве, соответствующая периодическому движению, называется предельным циклом Пуанкаре.

В качестве примера ДС с предельным циклом Пуанкаре рассмотрим электрический контур с нелинейным сопротивлением и с подкачкой энергии извне, равной и Уравнение (16.6) примет вид

или

где обозначено После замены получим уравнение

(17.1)

называемое уравнением Ван дер Поля. Введя обозначения запишем (17.1) в фазовых координатах

На рис. 17.1 и 17.2 показаны фазовые траектории при которые притягиваются к одному и тому же предельному циклу. Рис. 17.1 построен при начальных условиях Здесь фазовая точка, находясь в начальный момент внутри предельного цикла, через какое-то время попадает на предельный цикл и в дальнейшем его не покидает.

Рис. 17.1 Рис. 17.2 Рис. 17.3

Рис. 17.2 построен при начальных условиях Здесь фазовая точка, находясь в начальный момент вне предельного цикла, через какое-то время попадает на предельный цикл и в дальнейшем его не покидает. Таким образом, к предельному циклу притягиваются все фазовые точки из любого начального положения.

Добавим в правую часть уравнения (17.1) периодическое возмущение малой амплитуды и частоты

Фазовая точка с частотой будет вращаться вокруг предельного цикла (рис. 17.3, где ).

Бифуркации ДС

Бифуркация – потеря первоначальной устойчивости и переход ДС в другое устойчивое состояние.

Вернёмся к рассмотрению уравнения (16.7) колебаний тока в колебательном контуре:

Параметр зависящий от сопротивления в контуре, влияет на характер колебаний. При амплитуда колебаний экспоненциально убывает (рис. 18.1, где ). При колебаний уже не будет (рис. 18.2, где ). В этом случае говорят, что движение апериодическое.

Рис. 18.1 Рис. 18.2

Таким образом, при переходе параметра через значение характер изменения тока во времени существенно различается.

Значение параметра, при котором поведение ДС качественно меняется (в данном случае это значение ), называется точкой бифуркации (бифуркация означает раздвоение, расщепление).

Если в ДС параметр не переходит через точку бифуркации, то ДС называется грубой. Если же в ДС происходит переход параметра через точку бифуркации, то ДС является негрубой. В этом случае, когда параметр находится вблизи точки бифуркации, малое изменение параметра может привести к резкому изменению состояния ДС.

Пример. Пусть ДС задана уравнением

где (18.1)

В стационарном состоянии (т.е. когда состояние не меняется во времени) и мы получим

– два стационарных состояния.

Зафиксируем Зависимости и от изобразятся в виде двух ветвей параболы (рис. 18.3, где взято ). Значение есть точка бифуркации. Если чуть увеличить ДС перейдёт в одно из двух состояний или и будет постоянно в нём находиться, пока остаётся вдали от значения . При

стационарные состояния исчезают. Рис. 18.3

Качественный анализ ДС

Пусть состояние ДС задаётся единственной величиной (координатой) зависящей от времени, а эволюция – уравнением

или

Вы знаете, что при величина растёт с течением времени, а при убывает. Значит, если то с течением времени возрастает, если то убывает, а если то величина не уменьшается и не растёт, т.е. постоянна,

Состояние где – корень уравнения называется состоянием (или точкой) равновесия.

На рис. 8.1 показан случай, когда уравнение имеет три корня – три состояния равновесия. Стрелки на оси показывают интервалы, места, где растёт и где убывает. Здесь мы видим, что состояния устойчивы, а неустойчиво.

Рис. 8.1

Таким образом, даже не решая исходное дифференциальное уравнение можно исследовать поведение ДС. Характер поведения ДС показан на оси поэтому график функции P обычно не рисуют и оставляют лишь то, что происходит на оси (рис. 8.2):

Рис. 8.2

Такое изображение поведения ДС называется фазовым портретом ДС, а ось – фазовой прямой.

Для ДС с единственным состоянием равновесия фазовый портрет бывает одним из следующих четырёх типов (рис. 8.3):

а б в г

Рис. 8.3

Состояние в случаях (а), (г) называется шунтом, в случае (б) аттрактором (притягивателем), в случае (в) репеллером (отталкивателем).

З а д а ч а 1. Найти состояние равновесия и исследовать поведение ДС, описываемой уравнением

 Приравняем правую часть нулю: Отсюда – состояние равновесия. Если то правая часть на оси состояния имеет следующие знаки:

Поэтому фазовый портрет, на котором изображается поведение ДС, таков:

Видим, что состояние равновесия неустойчиво (репеллер): при малейшем отклонении от точки в ту или другую сторону система стремится удалиться от этого состояния.

Если же то знаки на оси поменяются:

На фазовом портрете направление стрелок станет таким:

Здесь состояние равновесия устойчиво (аттрактор): при малейшем отклонении от точки в ту или другую сторону система стремится вернуться в это состояние. ■

З а д а ч а 2. Найти состояния равновесия и исследовать поведение ДС, описываемой уравнением

 Приравняем правую часть нулю, Отсюда Если то уравнение не имеет вещественного решения, т.е. у ДС нет устойчивого состояния. Если то уравнение имеет единственное решение и фазовый портрет

Состояние равновесия является шунтом. Наконец, если то уравнение имеет два решения и фазовый портрет

Из него видим, что состояние равновесия является аттрактором (т.е. устойчивым), состояние репеллером (неустойчивым). ■

Пусть состояние ДС задаётся двумя величинами (координатами) зависящими времени, а эволюция ДС – системой уравнений

Поведение ДС теперь изображается на плоскости состояний – фазовой плоскости. Как и в предыдущем случае, состояния (точки) равновесия ДС определяются из условий

Рассмотрим систему

в которой – полярные координаты, связанные с декартовыми по формулам Смысл полярных координат: – расстояние от начала координат, а – угол, отсчитываемый от положительного направления оси Поэтому – угловая скорость. В рассматриваемой ДС точкой равновесия является – начало координат О. Если то – закручивающиеся вокруг О спирали, поэтому О называют устойчивым фокусом. Если то отсюда – окружности различных радиусов Если то и поэтому О является неустойчивым фокусом. Следовательно, ДС испытывает бифуркацию при Фазовые линии при для случаев показаны на рис. 8.4.

Рис. 8.4

Рассмотрим систему

Приравняв правую часть первого уравнения к нулю, найдём два равновесных состояния

Практические задания по дисциплине

«Общая теория динамических систем»

Раздел 1. Дополнительные сведения об обыкновенных дифференциальных уравнениях. (ОК-1, ПК-5)

Практическое занятие 1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные свойства. Фазовые траектории.

1. Найти общее решение системы уравнений. Исследовать особые точки систем. Исследовать устойчивость нулевого решения по критерию Ляпунова.

x'(t) = 2x + y

y'(t) = 4x-y

2. Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положения равновесия для автономной системы уравнений

х'(t) = y²-y-2

у '(t)=-ху-3у-2

Практическое занятие 2. Линейные системы дифференциальных уравнений. Различные способы решения. Операторный способ решения систем с постоянными коэффициентами.

1. Найти решение уравнения операционным методом, удовлетворяющее начальным условиям.

x'' + 4х' + 3x = e^-3t cost

х(0) = 1, х'(0) = 0

2. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
x(0) = 1, х'(0) = 1 х''-4х' + 3х = t².

Раздел 2. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений (ПК-2, ПК-5)

Практическое занятие 1. Устойчивость системы. Линеаризация уравнений. Устойчивость по Ляпунову.

1. Найти общее решение систем уравнений. Исследовать особые точки систем. Исследовать устойчивость нулевого решения по критерию Ляпунова.

x'(t) = -x+8y

у'(t) = х+у

2. Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траекторий линеаризованных систем в окрестности положения равновесия для автономных систем

x'(t) = x²+x+2y² - 2

y'(t)=x + y²

Практическое занятие 2. Особые точки систем. Классификация особых точек

7. Найти общее решение систем уравнений. Исследовать особые точки систем. Исследовать устойчивость нулевого решения по критерию Ляпунова.

x'(t) = x-y

y'(t) = y-4x

8. Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положения равновесия для автономных систем

x'(t) = y²-y-2

y'(t) = -xy-3y-2

Практическое занятие 3. Поведение фазовых траекторий в окрестностях грубых положений равновесия

9. Опишите бифуркацию в динамической системе, описываемой системой уравнений

x'₁=-x²₁+ε, x'₂=-x₂.

10. Найти общее решение систем уравнений. Исследовать особые точки систем. Исследовать устойчивость нулевого решения по критерию Ляпунова.

x'(t) =2x+y

y'(t) =3х+4у

Практическое занятие 4. Дифференциальные уравнения зависящие от параметра. Фазовые портреты узлов, седла и фокуса

11. Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положения равновесия для автономных систем

x'(t) =1-2x-y²

y'(t) =e^-4x-1

12. Исследовать устойчивость неподвижных точек одномерного отображения при различных значениях параметров системы. Действие отображения изобразить с помощью диаграммы Ламерея. Найдите бифуркационное значения параметра и изобразите диаграммы.

х_n+1=λ^.х_n-х_n³

Практическое занятие 5. Предельные циклы. Полуустойчивый цикл. Бифуркации рождения циклов, Гомоклинические траектории. Седло-узел. Бифуркация рождения предельного цикла, когда исчезает гомоклиническая траектория.

13. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
х(0) = 1, х'(0) = l, x''+x = tsint

14. Найти общее решение систем уравнений. Исследовать особые точки систем. Исследовать устойчивость нулевого решения по критерию Ляпунова.

х'(t) = x-5y

у'(t) = 2x-y

Практическое занятие 6. Рождение устойчивого предельного цикла, когда существует гомоклиническая траектория, выходящая из седла.

1. Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положения равновесия для автономных систем

х(t) = x-2y-y²

2. Найти общее решение системы уравнений. Исследовать особые точки систем. Исследовать устойчивость нулевого решения по критерию Ляпунова.

x'(t) = x + 2y

y'(t) = 4x+3y

Практическое занятие 7. Одномерные отображения. Диаграмма Ламерея. Отображения сдвига. Отображения сжатия. Отображение сжатия плюс сдвиг.

Исследовать устойчивость неподвижных точек одномерного отображения при различных значениях параметров системы. Действие отображения изобразить с помощью диаграммы Ламерея. Найдите бифуркационное значения параметра и изобразите диаграммы.

х_n+1=λ^.х_n-х_n³

Опишите бифуркацию в динамической системе, описываемой уравнением х' = -х² + ε

Раздел 3. Теория линейных динамических систем (ОК-1, ОК-2, ПК-2, ПК-4)

Практическое занятие 1. Линейные управляемые динамические системы в дискретной и непрерывной форме. Фазовые траектории управляемых систем.

Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

х(0) = 1, х(0) = 1 x''-4x' + 5x = e^4t

x'(t) = 2x + y

y'(t)=4x-y

Практическое занятие 2. Пространства состояний, входов и выходов динамической системы. Операторы переходов, входов и выходов динамических систем. Представление в явной форме или в виде уравнений. Примеры.

Найти положения равновесия, определить их характер и нарисовать фазовые траектории линеаризованных систем в окрестности положения равновесия для автономной системы.

х'(t) = у²-у-2

y'(t) = -xy-3y-2

2. Найти решение уравнения операционным методом удовлетворяющее начальным условиям.

х+4х + 3х = е^-3t cost

х(0) = 1, х'(0) = 0

Практическое занятие 3. Математические модели процессов и систем.

Найти общее решение системы уравнений. Исследовать особые точки систем. Исследовать устойчивость нулевого решения по критерию Ляпунова.

x'(t)=x-5y

y'(t)=2x-y

2. Опишите бифуркацию в динамической системе, описываемой в полярных координатах уравнением ρ'=(ε-ρ²+2ρ-1), φ=1.

Практическое занятие 4. Линейные стационарные системы. Условия наблюдаемости и управляемости.

х'(t) = x + 2y

y'(t) = 4x+3y

Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

х(0) = 1, х'(0) = l x''-4x' + 3x = t²

Список литературы

· Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах М.: ОНИКС 21 век, 2002.

· Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб: Профессия, 2003.

· Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

· Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. М.: Айрис-пресс, 2004.

· Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике.(Учебное пособие для студентов ВТУЗов).М.,»Наука»,1987г.

· Кудрявцев В.А. , Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики (Учебное пособие для вузов). М., «Астрель.АСТ» 2007.

· Щипачев В.С. Основы высшей математики. (Учебное пособие для втузов). М., «Высшая школа»,1994.