Обозначим  состояние ДС. Когда  изменяется с течением времени, или зависит от времени, мы пишем  или  где  – время. В этом случае за бесконечно малый промежуток времени  состояние изменится на бесконечно малую величину  Поэтому скорость изменения состояния ДС равна  Эту скорость обозначим  Если  зависит от  и от  мы пишем   или  В результате получаем равенство

или                                                                                                                         

                                     (2.1)

где точка над буквой есть другое обозначение производной по времени. Если функция  известна, то равенство (2.1) будет дифференциальным уравнением, содержащим неизвестную функцию  Решив уравнение (2.1), т.е. найдя функцию  вы будете знать, как изменяется состояние ДС с течением времени. Уравнение (2.1) есть закон эволюции ДС.

Общее и частное решения дифференциального уравнения

Чтобы решить уравнение (2.1), т.е. чтобы избавиться от знака производной и найти «чистое»  нужно выполнить обратное действие – интегрирование. Решение – результат вычисления неопределённого интеграла, всегда содержит произвольную постоянную величину, обычно обозначаемую буквой  Поэтому пишут  или просто

Решение, содержащее произвольную буквенную постоянную, называют общим решением.

Пример 3.1. Решив уравнение  вы получите  – общее решение (ибо в нём имеется произвольная постоянная ).

Общее решение включает в себя бесчисленное множество решений.

Если  заменить каким-нибудь числом, получится частное решение.

Пример 3.2. Возьмём общее решение из примера 1. Если вместо  подставить 9, получится  – частное решение.

Интегральные линии

График частного решения на плоскости  называют интегральной линией (рис. 4.1).

Подставляя в общее решение  вместо  разные числа, будем получать различные частные решения и их графики. Эти графики, или по-другому, интегральные линии, заполнят собой некоторую область  – область существования решений на плоскости  Примеры интегральных линий, полученных в результате ре­шения некоторых уравнений, показаны на рис. 4.2.

В реальной практике обычно известно начальное со­стояние ДС (или начальное условие):                              Рис. 4.1

 при

или

Пример 4.1. Если при  должно быть  то это условие записывают в виде  или .

На плоскости  начальное условие изображается точкой с координа­тами  (рис. 4.1). Эта точка выделяет проходящую через неё интегральную линию.

В общем случае возможно пересечение интегральных линий. Но если функция  и её частная производная  непрерывны в  то интегральные линии пересекаться не могут.

  а                                     б                                    в

                    г                                     д                                          е

Рис. 4.2

Сводка методов решения специальных типов

Дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение (ДУ) – равенство, содержащее производную или дифференциал неизвестной функции.

Поэтому цель решения ДУ – найти неизвестную функцию, избавившись от производной или дифференциала. Ещё раз отметим, что

ДУ 1 порядка
Тип ДУ	Метод решения
ДУ с отделёнными переменными
ДУ с отделяющимися переменными	Делим обе части на
Однородное ДУ 1 порядка	Тогда Подставляем и находим
Линейное ДУ 1 порядка	и  определяются из системы
ДУ Бернулли	и  определяются из системы
ДУ в полных дифференциалах

ДУ 2 порядка
Тип ДУ	Метод решения
Неполное ДУ, нет	Замена Тогда
Неполное ДУ, нет	Замена Тогда
Линейное однородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами	Составим уравнение найдём корни  и пишем решение
Линейное неоднородное ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами	Общее решение Здесь  определяется из а  определяется подстановкой в исходное ДУ