Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью вероятностей более простых, пользуясь основными правилами (теоремами):

сложения и умножения вероятностей.

 Теорема сложения вероятностей.

Если А1, А2, …, Аn - несовместные события и А – сумма этих событий, то вероятность события А равна сумме вероятностей событий А1, А2, …, Аn:

                  (8)

Эта теорема непосредственно следует из аксиомы сложения вероятностей (3).

В частности, поскольку два противоположных события А и несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей

P(A) + P(  ) = 1 (9)

Теорема умножения вероятностей.

Условная вероятность. Чтобы сформулировать в общем случае теорему умножения вероятностей, введем понятие условной вероятности.

Условная вероятность события А1 при наступлении события А2 – вероятность события А1, вычисленная в предположении, что событие А2 произошло:

P(А1 А2) = P(А1 А2)/P(А2).  (10)

Вероятность произведения (совместного появления) двух событий А1и

А2 (независимых) равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, в предположении, что первое событие произошло:

(11)

Для любого конечного числа событий теорема умножения имеет вид

(12)

В случае, если события А1 и А2 независимы, то соответствующие условные вероятности

                         (13)

поэтому теорема умножения вероятностей принимает вид

                                         (14)

 а для конечного числа n независимых событий

                                     (15)

Следствием правил сложения и умножения вероятностей является: теорема о повторении опытов (схема Бернулли) – опыты считаются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты; формула полной вероятности (ФПВ) и формула Байеса, которые находят широкое применение при решении большого числа задач.

Формула Бернулли

Пусть в некотором опыте вероятность события А равна P(А) = p, а вероятность того, что оно не произойдет P( ) = q, причем, согласно (3)                           P(A) + P(  ) = p + q = 1 (16)

 Если проводится n независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p, то вероятность того, что в данной серии опытов событие А появляется ровно m раз, определяется по выражению

 (17)

где -    биномиальный коэффициент.

Например, вероятность однократной ошибки при чтении 32-разрядного слова в формате ЭВМ, представляющего комбинацию 0 и 1, при вероятности ошибки чтения двоичного числа p = 10^-3 , составляет по (17) Р₃₂ (1) = 1* (10^-3)¹ * (0,999)³²  0,969 где q = 1- p = 0,999; n = 32; m = 1.

Вероятность отсутствия ошибки чтения при m = 0, C⁰ ₃₂ = 1

Часто возникают задачи определения вероятностей того, что некоторое событие А произойдет по меньшей мере m раз или не более m раз. Подобные вероятности определяются сложением вероятностей всех исходов, которые составляют рассматриваемое событие. Расчетные выражения для такого типа

где Pn(i) – вероятность i-го события определяется по формуле (17).

При больших m вычисление биномиальных коэффициентов C_n^m и возведение в большие степени p и q связано со значительными трудностями, поэтому целесообразно применять упрощенные способы расчетов. Приближение, называемое теоремой Муавра-Лапласа, используется, если npq>>1, а |m-np|<(npq)^0,5, в таком случае выражение (17) записывается:

           (18)