| Тело | Ось, относительно которой определяется момент инерции | Формула момента инерции 
|
| Однородный тонкий стержень массой т и длиной l | Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню | 
|
| Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню | 
| |
| Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределённой по ободу | Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания | 
|
| Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т | Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания | 
|
| Толстостенная трубка, круглый однородный полый диск (цилиндр) массой т с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 | Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания | 
|
| Однородный шар массой т и радиусом R | Проходит через центр шара | 
|
· Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен:
,
где 
– момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; 
– расстояние между осями; m – масса тела (рис. 1.15).
· Момент импульса вращающегося тела относительно оси:
,
где 
– момент инерции тела, 
– его угловая скорость.
· Закон сохранения момента импульса. Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то полный момент импульса системы сохраняется:
Если 
, то 
,
или 
,
где L i – момент импульса i-го тела, входящего в состав системы, N – число тел в системе. Для двух взаимодействующих тел замкнутой системы:
где 
, 
, 
и 
– моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: 
, 
, 
и 
– те же величины после взаимодействия.
· Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется:
,
где и – начальный и конечный моменты инерции; и 
– начальная и конечная угловые скорости тела.
· Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси (второй закон Ньютона для вращательного движения): угловое ускорение 
тела прямо пропорционально суммарному моменту 
внешних сил и обратно пропорционально моменту инерции тела:
.
· Второй закон Ньютона для вращательного движения в импульсной форме (закон изменения момента импульса тела): изменение момента импульса тела 
равно импульсу 
суммарного момента 
внешних сил:
, или 
.
Если момент сил, действующих на тело, постоянен, то
, или 
,
где 
(или 
) – промежуток времени, в течение которого действовал момент сил 
; 
– момент инерции тела, 
– его угловая скорость.
· Работа момента силы 
при вращательном движении :
, 
.
Если момент сил постоянен ( 
), то работа равна
.
Здесь 
(или 
) – угол поворота.
· Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела:
.
· Кинетическая энергия вращающегося тела:
.
· Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:
,
где 
– кинетическая энергия поступательного движения тела; 
– скорость центра масс тела; 
– кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс.
Механические колебания
· Кинематическое уравнение гармонических колебаний
,
Здесь х – смещение колеблющейся точки из положения равновесия;
t – время;
А – амплитуда колебаний;
ω – круговая (циклическая) частота колебаний;
– начальная фаза колебаний;
– фаза колебаний в момент t.
· Круговая (циклическая) частота колебаний:
, или 
,
где 
и Т – частота (линейная частота) и период колебаний соответственно.
· Скорость точки, совершающей гармонические колебания:
.
· Ускорение колеблющейся точки при гармонических колебаниях:
.
· Период колебаний пружинного маятника (тела массой m, подвешенного на пружине жёсткостью k, рис. 1.16):
.
Формула справедлива для малых колебаний, пока выполняется закон Гука 
, и в пренебрежении массой пружины в сравнении с массой тела.
· Период колебаний математического маятника (материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити длиной l, рис. 1.17):
,
где g – ускорение свободного падения.
· Период колебаний физического маятника (твёрдого тела, подвешенного в поле силы тяжести и способного колебаться относительно оси, не проходящей через центр масс, рис. 1.18):
.
Здесь J – момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний, l – расстояние от центра масс маятника до оси (длина физического маятника), 
– приведённая длина физического маятника (то есть длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний).
 |
Формулы для периода колебаний физического и математического маятников справедливы при малых углах отклонения, когда можно положить
. Для α=150 ошибка в значении периода не превышает 1 %, а при α=30 ошибка равна 0.005 %.
· Период колебаний крутильного маятника (тела, подвешенного на упругой нити, рис. 1.19):
,
где J – момент инерции тела относительно оси, совпадающей с нитью, 
– модуль кручения нити. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука: 
. Здесь M – момент упругой силы, возникающей при закручивании нити на угол 
.
· Полнаяэнергия гармонического осциллятора:
· Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях:
.
· Амплитуда А результирующего колебания 
, полученного при сложении двух колебаний одинаковой частоты , происходящих по одной прямой,
и
,
равна
,
где А1 и А2 – амплитуды исходных колебаний; 
и 
– их начальные фазы (см. сложение колебаний по методу векторных диаграмм на рис. 1.20).
· Начальная фаза результирующего колебания при сложении однонаправленных колебаний:
.
· Уравнение траектории (рис. 1.21) точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты,
и 
,
с амплитудами А1 и А2 и начальными фазами и 
:
,
где 
– сдвиг фаз колебаний.
· Возвращающая (квазиупругая) сила, действующая на тело массой m при гармонических колебаниях:
,
где х – смещение колеблющейся точки из положения равновесия; ω – циклическая частота колебаний; 
– коэффициент пропорциональности. В частном случае пружинного маятника он равен жёсткости пружины.
· Д ифференциальное уравнение гармонических колебаний
, или в стандартной форме:
,
где x – колеблющаяся величина; ω – круговая (циклическая) частота колебаний; – коэффициент квазиупругой силы.
· Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
, или в стандартной форме:
,
где r – коэффициент сопротивления (коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью: 
); 
– коэффициент затухания; 
– круговая частота собственных (незатухающих) колебаний.
· Кинематическое уравнение затухающих колебаний (рис.1.22):
, или 
.
Здесь 
– круговая частота затухающих колебаний:
.
· А мплитуда затухающих колебаний:
,
где А0 – амплитуда колебаний в момент t=0.
· Л огарифмический декремент затухания равен по определению логарифму отношения амплитуд 
и 
двух следующих друг за другом колебаний, то есть колебаний, отстоящих во времени друг от друга на один период (рис. 1.22):
, или 
, или 
.
· Добротность
.
При условии 
(затухание мало):
.
Если 
, то добротность обратно пропорциональна относительному изменению энергии 
за один период:
.
· Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
,
или в стандартной форме:
.
Здесь 
– вынуждающая сила (внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания); 
– её амплитудное значение; ω – её циклическая частота; 
; – коэффициент затухания; – циклическая частота собственных (незатухающих) колебаний.
· Кинематическое уравнение вынужденных колебаний:
.
· Амплитуда вынужденных колебаний как функция частоты (рис. 1.23):
.
· Начальная фаза вынужденных колебаний:
.
· Резонансная частота:
.
· Максимальная амплитуда (амплитуда при резонансе):
.
Волны
· Уравнение плоской волны, бегущей в положительном направлении оси OX (рис. 1.24):
,
где s – смещение частиц с координатой x из положения равновесия в момент времени t,
A – амплитуда,
ω – циклическая частота,
– волновое число (модуль волнового вектора),
– фазовая скорость (скорость распространения фиксированной фазы волны 
),
– длина волны (расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний),
– частота колебаний.
· Уравнениесферической волны:
,
Здесь s – смещение частиц с радиус-вектором 
из положения равновесия в момент времени t;
– волновой вектор, равный по величине , направленный вдоль луча;
– амплитуда сферической волны; r – расстояние до источника.
· Скорость распространения продольных и поперечных упругих волн в твёрдом теле:
, 
,
где E – модуль Юнга, G – модуль сдвига, ρ – плотность.
· Скорость звука в газе:
,
где Т – абсолютная температура, R – универсальная газовая постоянная, μ – молярная масса газа, γ – показатель Пуассона (для воздуха 
).
· Скорость распространения поперечной волны по струне:
,
где F – сила натяжения струны, S – площадь сечения струны, ρ – плотность.
Задачи к разделу 1
1. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно – вертикально вверх, другое – под углом 600 к горизонту. Начальная скорость каждого тела 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти расстояние между телами через 1,7 с.
2. Две частицы движутся с ускорением g в однородном поле силы тяжести. В начальный момент частицы находились в одной точке и имели скорости 3 м/с и 4 м/с, направленные горизонтально в противоположные стороны. Найти расстояние между частицами в момент, когда векторы их скоростей окажутся взаимно перпендикулярными.
3. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка равно 2,7 м, начала подниматься с постоянным ускорением 1,2 м/с2. Через 2 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти: а) время свободного падения болта; б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчёта, связанной с шахтой лифта.
4. В момент времени t =0 частица вышла из начала координат в направлении, противоположном оси x. Её скорость меняется по закону 
, где 
см/с – модуль начальной скорости; Т=5 с. Найти: а) координату х частицы в моменты времени 6 с, 10 с и 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10 см от начала координат; в) путь S, пройденный частицей за первые 4 с и 8 с; г) изобразить примерный график S(t).
5. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а=5 м/с2. Определить, насколько путь, пройденный точкой в n-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять 
.
6. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Первую треть пути он проехал со скоростью 
км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью 
км/ч, после чего до конечного пункта он шел пешком со скоростью 
км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста.
7. Тело брошено с начальной скоростью с высоты h=2,4 м вверх под углом 
=350 к горизонту и упало на расстоянии l=37 м от места бросания. Найти начальную скорость тела.
8. Тело брошено с вышки в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Определить скорость тела и её направление в конце второй секунды после начала движения.
9. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону 
, где а=6 рад/с, b=2 рад/с3. Найти: а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от начала вращения до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.
10. Точка движется по окружности радиусом R=30 см с постоянным угловым ускорением. Определить тангенциальное ускорение 
точки, если известно, что за время 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота её нормальное ускорение 
=2,7 м/с2.
11. На верхнем конце наклонной плоскости укреплен легкий блок, через который перекинута нить с грузами m 1=5,1 кг и m 2=2,2 кг на концах. Груз m 1 скользит вниз по наклонной плоскости, поднимая висящий на другом конце нити груз m 2. Угол наклонной плоскости с горизонтом 
=370, коэффициент трения между грузом m 1 и плоскостью равен 0,1. Определить ускорение грузов.
12. На верхнем конце наклонной плоскости укреплен легкий блок, через который перекинута нить с грузами m 1=1,7 кг и m 2=0,4 кг на концах. Груз m 1 скользит вниз по наклонной плоскости, поднимая висящий на другом конце нити груз m 2. Угол наклонной плоскости с горизонтом =480, ускорение грузов а=2,1 м/с2. Определить коэффициент трения между грузом m 1 и плоскостью.
13. На разных склонах наклонной плоскости, образующих с горизонтом углы 
320 и 
480, находятся грузы m 1=3,3 кг и m 2. Нить, связывающая грузы, перекинута через легкий блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости. Коэффициент трения между грузами и наклонной плоскостью равен 0,1, ускорение грузов а= –1,2 м/с2 (а > 0, если система движется в сторону груза m 2). Определить массу второго груза m 2.
14. На разных склонах наклонной плоскости, образующих с горизонтом углы 
650и 350, находятся грузы m 1=1,8 кг и m 2=5,6 кг. Нить, связывающая грузы, перекинута через легкий блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости. Коэффициент трения между грузами и наклонной плоскостью равен 0,12, ускорение грузов а (а > 0, если система движется в сторону груза m 2). Определить ускорение грузов а.
15. Шарик массой m=45 г падает на горизонтальную поверхность стола с высоты h 1=2,4 м и, отскочив, поднимается на некоторую высоту h 2. Время соударения t=0,49 мс, средняя сила взаимодействия шарика со столом F=1200 Н. Найти h2.
16. Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены гири массами m 1 = m 2=1 кг. Какую силу нужно приложить к одной из гирь, чтобы гири стали двигаться с ускорением а=3 м/с2? Массой блока пренебречь.
17. Автомобиль массой m=5000 кг движется со скоростью 
10 м/с по выпуклому мосту. Определить силу давления автомобиля на мост в его верхней точке, если радиус кривизны моста R=50 м.
18. Какую наибольшую скорость может развивать велосипедист, проезжая закругление R=50 м, если коэффициент трения скольжения между шинами и асфальтом равен 0,3? Каков угол отклонения 
велосипеда от вертикали, когда велосипедист движется по закруглению?
19. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с наклонной плоскости длиной l=2 м за время t=2 c. Определить коэффициент трения тела о плоскость. Угол наклона 
300.
20. Тело массой 0.2 кг движется прямолинейно, причем координата изменяется по закону x=A–Bt+5t2–t3 (время – в секундах, координата – в метрах). Найти силу, действующую на тело в конце второй секунды движения.
21. Две лодки массами m 1=250 кг и m 2=370 кг идут параллельными курсами со скоростями 
=1,6 м/с и 
. Когда лодки оказываются рядом, из каждой лодки в другую перекладывается мешок массой m=32 кг, после чего лодки продолжают двигаться параллельными курсами, но со скоростями u 1 и u 2=2,1 м/с. Найти скорость u 1.
22. Две лодки массами m 1=310 кг и m 2=160 кг идут параллельными курсами со скоростями 
и 
. Когда лодки оказываются рядом, из каждой лодки в другую перекладывается мешок массой m=25 кг, после чего лодки продолжают двигаться параллельными курсами, но со скоростями u 1= -1,7 м/с и u 2=2,8 м/с. Найти скорость .
23. Снаряд, летящий со скоростью 750 м/с, разрывается на два осколка массами m 1=45 кг и m 2=17 кг, разлетающихся под углом 
со скоростями u 1=710 м/с и u 2=900 м/с. Определить угол .
24. Снаряд, летящий со скоростью 
550 м/с, разрывается на два осколка массами m 1=14 кг и m 2=8 кг, разлетающиеся под углом =950 со скоростями u 1 и u 2=830 м/с. Определить скорость u 1.
25. Человек массой m 1=55 кг, стоящий на одном конце первоначально покоящейся тележки массой m 2=120 кг и длиной l=4,5 м, прыгает со скоростью 
относительно земли под углом 
250 к горизонту и попадает на другой конец тележки. Массу колёс, а также силу сопротивления движению тележки не учитывать. Определить скорость 
.
26. Человек массой m 1=45 кг, стоящий на одном конце первоначально покоящейся тележки массой m 2=160 кг и длиной l=3,5 м, прыгает со скоростью 
5,5 м/с относительно земли под углом к горизонту и попадает на другой конец тележки. Массу колес, а также силу сопротивления движению тележки не учитывать. Определить угол .
27. В деревянный шар массой m 1=8 кг, подвешенный на нити длиной l=1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля m 2=4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в ней пулей отклонилась от вертикали на угол 
30? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.
28. Шар массой m 1=5 кг движется со скоростью 
1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m 2=2 кг. Определить скорости шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.
29. Шар массой m 1=2 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы и при этом теряет 40% кинетической энергии. Определить массу m 2 большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.
30. Два груза массами m 1=10 кг и m 2=15 кг подвешены на нитях длиной l=2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол 
600 и отпущен. На какую высоту поднимутся оба груза после удара? Удар считать неупругим.
31. Шайба массой m=50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющий угол 300 с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l=50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения равным 0,15.
32. Из пружинного пистолета с жёсткостью пружины k=150 Н/м был произведен выстрел пулей массой m=8 г. Определить скорость пули при выстреле её из пистолета, если пружина была сжата на 4 см.
33. Молот массой m 1=5 кг ударяет о небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса наковальни m 2=100 кг. Массой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить КПД удара молота при данных условиях.
34. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то она сожмется на 3 мм. Насколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты 8 см?
35. Определить работу растяжения двух последовательно соединённых пружин жесткостями k 1=0,5 кН/м и k 2=1 кН/м, если первая пружина при этом растянулась на 
2 см.
36. Две пружины жесткостями k 1=400 Н/м и k 2=250 Н/м соединены параллельно. Определить потенциальную энергию данной системы при абсолютной деформации 
4 см.
37. Из шахты глубиной h=600 м поднимают клеть массой m=3 т на канате, каждый метр которого имеет массу m 1=1,5 кг. Какая работа совершается при поднятии клети на поверхность Земли? Каков КПД подъемного устройства?
38. Налетев на пружинный буфер, вагон массой m=16 т, двигавшийся со скоростью 0,6 м/с, остановился, сжав пружину на 
8 см. Найти общую жесткость пружин буфера.
39. Цепь длиной l=2 м лежит на столе, одним концом свисая со стола. Если длина свешивающейся части превышает 1/3 длины цепи, то цепь соскальзывает со стола. Определить скорость цепи в момент её отрыва от стола.
40. Материальная точка массой m=2 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению 
, где А=10 м, В= –2 м/с, С=1 м/с2, D= –0,2 м/с3. Найти мощность, развиваемую при движении, в моменты времени 
2 c и 
5 c.
41. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя её, вернётся в исходную точку? Масса платформы m 1=240 кг, масса человека m 2=60 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
42. Маховик, вращающийся с постоянной угловой скоростью 
62,8 рад/с, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова сделалось равномерным, но уже с угловой скоростью 
37,7 рад/с. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N=50 оборотов.
43. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m 1=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой 
10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой m 2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
44. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D=75 см и массой m=40 кг приложена сила F=10 Н. Определить угловое ускорение и частоту вращения маховика через 10 с после начала действия силы, если радиус шкива R= 12 см. Силой трения пренебречь.
45. Нить с привязанными к её концам грузами массой m 1=50 г и m 2=60 г перекинута через блок диаметром D=4 см. Определить момент инерции блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение 
1,5 рад/с2.
46. Маховик в виде диска массой m=50 кг и радиусом R=20 см был раскручен до угловой скорости 
50 рад/с и затем предоставлен самому себе. Под влиянием трения маховик остановился. Найти момент сил трения, считая его постоянным, принимая во внимание, что: а) маховик остановился через 50 с; б) маховик остановился, сделав 200 оборотов.
47. На краю платформы в виде диска диаметром D=2 м, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой 
0,13 Гц, стоит человек массой m=70 кг. Когда человек перешёл в центр платформы, она стала вращаться с частотой 
0,16 Гц. Определить массу платформы.
48. Платформа в виде диска диаметром D=3 м и массой m 1=180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если по её краю пойдет человек массой m 2=70 кг со скоростью 
1,8 м/с относительно платформы?
49. Блок, имеющий форму диска массой m=0,4 кг, вращается под действием силы натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m 1=0,3 кг и m 2=0,7 кг. Определить силы натяжения нити по обе стороны блока.
50. Человек массой m 2=60 кг стоит на краю неподвижной платформы в виде диска диаметром D=0.8 м и массой m 1=20 кг. С какой угловой скоростью начнёт вращаться платформа, если человек поймает мяч массой m 3=1 кг, летящий со скоростью 10 м/с по касательной к краю платформы?
51. Маховик в виде сплошного диска радиусом R=20 см и массой m=50 кг раскручен до частоты вращения 
8 Гц и предоставлен самому себе. Под действием силы трения маховик остановился через 50 с. Найти момент сил трения.
52. Маховик, массу которого m=5 кг можно считать распределенной по ободу радиусом R=20 см, свободно вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, с частотой 
12 Гц. При торможении маховик останавливается через 20 с. Найти тормозящий момент и число оборотов, которые сделает маховик до полной остановки.
53. Вал в виде сплошного цилиндра массой m 1=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m 2=2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если её предоставить самой себе?
54. Сплошной цилиндр массой m=4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость оси цилиндра 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию цилиндра.
55. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу m=2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью 
5 м/с. Найти кинетические энергии этих тел.
56. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия шара 14 Дж. Определить кинетическую энергию поступательного и вращательного движения шара.
57. Определить линейную скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h=1 м.
58. Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l=2 м и высотой h=0,1 м?
59. Якорь мотора вращается с частотой 
1500 об/мин. Определить вращающий момент, если мотор развивает мощность Р=500 Вт.
60. Пуля массой m=10 г летит со скоростью 800 м/с, вращаясь около продольной оси с частотой 3000 об/с. Принимая пулю за цилиндрик диаметром D=8 мм, определить полную кинетическую энергию пули.
61. Уравнение колебаний точки имеет вид: 
(смещение из положения равновесия выражено в метрах, время – в секундах). Определить максимальные значения скорости и ускорения точки.
62. Точка совершает гармонические колебания по закону 
. В какой момент времени её потенциальная энергия равна кинетической энергии?
63. Тело массой m=10 г совершает колебания по закону 
, где x0=2 см; ω=4π рад/с. Найти функциональную зависимость от времени силы, действующей на тело, и его кинетической энергии; вычислить их максимальные значения.
64. Материальная точка массой m=50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению 
(здесь x0=0.05 м). Определить: а) возвращающую силу F для момента времени t=0,5 с; б) полную энергию материальной точки.
65. Математический маятник массой m=10 г и длиной l=1 м совершает гармонические колебания по закону 
(рад). Определить силу натяжения в момент времени t=T/2.
66. Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси О с циклической частотой ω1=15 с-1. Если в положении равновесия к нему прикрепить под осью О на расстоянии l=20 см от неё небольшое тело массой m=0,05 кг, то частота колебаний становится ω2=10 с-1. Найти момент инерции первоначального маятника относительно оси О.
67. Логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника длиной l=0,85 м равен 0.011. Определить, во сколько раз уменьшится полная механическая энергия маятника за время t=75 c.
68. Начальная амплитуда колебаний математического маятника А0=0,2 м. Амплитуда после 10 полных колебаний А10=0,01 м. Определить логарифмический декремент затухания и коэффициент затухания, если период колебаний Т=5 с. Записать уравнение колебаний.
69. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемых уравнениями 
см и 
см. Найти уравнение траектории и построить её на чертеже, показав направление движения точки.
70. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями 
см и 
см. Найти уравнение траектории и построить её на чертеже.
71. Плоская волна с периодом T=1.2 с и амплитудой А=2 см распространяется со скоростью υ=15 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии l=45 м от источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло t=4 с? Колебания происходят по закону косинуса.
72. Плоская волна распространяется от источника колебаний вдоль прямой OX. Смещение точки из положения равновесия для момента времени t=T/2 составляет s=5 см. Точка удалена от источника колебаний на расстояние, равное l=l/3. Определить амплитуду колебаний. Колебания источника происходят по закону косинуса.
73. Плоская звуковая волна распространяется вдоль прямой со скоростью υ=300 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии l1=12 м и l2=15 м от источника, колеблются с разностью фаз Δφ=0.75p. Найти длину волны, написать уравнение волны и найти смещение обеих указанных точек в момент времени, равный t=1.2 с, если амплитуда колебаний А=1 мм. Колебания происходят по закону косинуса.
74. Скорость звука в воде υ=1450 м/с. На каком расстоянии находятся ближайшие точки, совершающие колебания в противоположных фазах, если частота колебаний равна ν=725 Гц?
75. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l=4 см от источника колебаний, колеблющегося по закону: s =sin(ωt), в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды (s выражено в метрах, t – в секундах). Найти длину волны. Волна плоская.
76. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде 
(смещение из положения равновесия – в см, время – в с). Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии l=20 м от источника колебаний, для момента времени t=1 с после начала колебаний. Скорость распространения волны υ=100 м/с. Волна плоская.
77. Два источника колебаний, лежащие в точках с координатами х1=0 м х2=10 м, колеблются по одинаковому закону 
(смещение из положения равновесия – в метрах, время – в секундах). Написать уравнение колебаний в точке А, координата которой равна хА=13 м. Скорость распространения волн равна 320 м/с. Волны считать плоскими.
78. Определить разность фаз Δφ колебаний двух точек среды, находящихся на расстоянии Δl=0.1 м друг от друга, если в среде распространяется плоская волна вдоль линии, соединяющей эти точки. Скорость распространения волны υ=314 м/с, частота колебаний источника ν=1000 Гц.
79. Два точечных когерентных источника звуковых волн одинаковой мощности находятся в воздухе на расстояниях l1=2.5 м и l2=2.4 м от микрофона. Определить отношение амплитуд результирующего и исходного колебаний, если длина волны λ=0.3 м.
80. Для звуковой волны, описываемой уравнением 
, где амплитуда выражена в метрах, круговая частота – в с-1, волновое число – в м-1, найти: а) скорость распространения волны υ; б) амплитуду скорости частиц среды υmax и её отношение к скорости распространения волны 
; в) длину волны λ и отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны 
.
Раздел 2. ГИДРОДИНАМИКА.
Дата: 2019-02-25, просмотров: 324.
