Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Кинематика

· Радиус-вектор  материальной точки задаёт её положение в пространстве (рис. 1.1):

,

где x, y и z – координаты точки;  – единичные векторы (орты), направленные вдоль осей OX, OY и OZ соответственно. Модуль вектора :

.

· Кинематическое уравнение движения:

;

 или в координатной форме:

где t – время.

· Перемещение  материальной точки – вектор, соединяющий начальное (M₀) и конечное (M) её положение (рис.1.2). Перемещение равно

,

где  и  – радиус-векторы начального и конечного положений точки соответственно.

· Путь  – длина траектории (рис.1.2).

· Средняя скорость:

,

где  – перемещение материальной точки за интервал времени .

· Средняя путевая скорость (средняя скорость вдоль траектории):

где  – путь (длина траектории), пройденный точкой за интервал времени .

· Мгновенная скорость:

;

,

где , ,  – проекции скорости  на оси координат.

· Модуль скорости:

.

· Закон сложения скоростей:

,

где  – абсолютная,  – переносная,  – относительная скорости.

· Ускорение:

Среднее ускорение – изменение скорости за единицу времени:

,

где  – изменение скорости, произошедшее за промежуток времени .

Мгновенное ускорение – быстрота изменения скорости во времени; производная скорости по времени:

;

,

где , ,  – проекции ускорения  на оси координат.

· Модуль ускорения: .

· При равномерном движении  и .

· Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки:

,

или вдоль оси OX:

,

где  и  – радиус-вектор и координата начального положения точки соответственно;  и – скорость тела и её проекция на ось OX; t – время.

· При равнопеременном движении .

· Скорость точки при равнопеременном движении:

,

или в проекции на ось OX:

.

где  и  – ускорение и его проекция на ось OX,  и – начальная скорость и её проекция на ось OX.

· Кинематическое уравнение равнопеременного движения:

,

или вдоль оси OX:

.

· Ускорение при криволинейном движении можно представить как сумму нормальной  и тангенциальной  составляющих (рис.1.3):

;

.

· Нормальное ускорение

и направлено к центру кривизны траектории перпендикулярно ей. Здесь R – радиус кривизны траектории в данной точке. Нормальное ускорение показывает быстроту изменения скорости по направлению.

· Тангенциальное (касательное) ускорение

и направлено по касательной к траектории. Оно показывает быстроту изменения скорости по величине. Касательное ускорение направлено так же, как и скорость, если она возрастает по модулю (тело ускоряется, рис. 1.4); в случае торможения тела касательное ускорение направлено противоположно скорости (рис. 1.5).

· Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота  (или угловым перемещением , рис. 1.6).

· Кинематическое уравнение вращательного движения:

.

· Средняя угловая скорость:

,

где  – угол поворота за интервал времени .

· Мгновенная угловая скорость:

.

· Угловое ускорение:

; или .

Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с осью вращения (рис. 1.6).

· Связь между угловыми и линейными величинами

– угол поворота φ и путь S, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R:

;

– угловая скорость  и линейная скорость :

,      ;

– угловое ускорение  и тангенциальное (касательное) ускорение :

,       ;

– нормальное ускорение , угловая скорость  и линейная скорость :

,    .

· При равномерном вращении , .

· Кинематическое уравнение равномерного вращения:

,

где  – начальная угловая координата; t – время.

· Частота вращения:

,

где N – число оборотов, совершаемых телом за время t ( ); Т – период вращения (время одного полного оборота).

· Связь угловой скорости с периодом и частотой:

.

· При равнопеременном вращательном движении .

· Угловая скорость при равнопеременном вращении:

,

где  – начальная угловая координата;  – начальная угловая скорость, t – время, ε – угловое ускорение.

· Кинематическое уравнение равнопеременного вращения ( ):

.

 

Динамика материальной точки

· Второй закон Ньютона (уравнение движения материальной точки):

,  или ,

где  – равнодействующая всех N сил, приложенных к телу (векторная сумма всех сил), m – его масса,  – его ускорение.

· Второй закон Ньютона в импульсной форме:

,

где  – импульс тела (материальной точки),  – его скорость.

Если сила , действующая на тело, постоянна, то

,

где  – промежуток времени, в течение которого действовала сила ;  – изменение импульса тела.

· Второй закон Ньютона в проекциях:

;         ;                 ,

или

;         ;                 ,

где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.

· Третий закон Ньютона (рис. 1.7):

.

· Закон всемирного тяготения (сила гравитационного притяжения):

,

где  – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел, рассматриваемые как материальные точки; r – расстояние между ними.

· Сила тяжести

,

где  – ускорение свободного падения, M – масса Земли, R – радиус Земли, h – высота тела массой m над Землёй.

· Вес тела – сила, приложенная к подставке или подвесу (рис. 1.8). Вес тела, движущегося с ускорением , равен

,

где m – масса тела. Если ускорение тела направлено вертикально вверх, то вес ; а если вертикально вниз, то .

· Сила трения скольжения (рис. 1.9):

,

где  – коэффициент трения, N – сила нормального давления.

· Сила трения покоя:

.

· Сила упругости (закон Гука):

,

где k – коэффициент упругости (жесткость пружины),  – абсолютная деформация (рис. 1.10).

· Радиус-вектор  и координаты центра масс системы материальных точек:

;

,   ,        ,

где  – масса i-той материальной точки; , , ,  – её радиус-вектор и координаты;  – масса всей системы; N число точек.

· Плотность тела:

.

· Уравнение движения центра масс:

,

где  – ускорение центра масс;  – сумма всех внешних сил, приложенных к системе.

· Закон сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю, то полный импульс системы сохраняется.

Если ,  то ,

или ,     или .

где N – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

· Работа, совершаемая постоянной силой :

, или ,

где  – перемещение,  – угол между направлениями векторов силы  и перемещения  (рис. 1.11):

· Работа, совершаемая переменной силой :

,

где интегрирование производится вдоль траектории (рис. 1.12).

· Средняя мощность за интервал времени :

.

· Мгновенная мощность:

,  или  ,

где  – работа, совершаемая за промежуток времени ,  – скорость тела,  – угол между скоростью и силой.

· Коэффициент полезного действия

.

· З акон изменения полной энергии для незамкнутой системы:

,  или    W _полн.1=W _полн.2+А_{системы против внешних сил}  

· Закон изменения механической энергии для незамкнутой системы:

W _мех.1=W _мех.2+А_{системы против внешних сил}+А_{системы против диссипативных сил}

· Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно:

, или .

· Потенциальная  энергия тела и консервативная сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением:

, или .

В проекциях: , , .

Здесь ,  и  – единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

.

· Закон сохранения полной энергии:

Если ,  то .

Здесь  и – полная энергия системы; сумма всех видов энергии для начального и конечного состояния системы соответственно.

· Закон сохранения механической энергии (выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы):

Если  и отсутствуют диссипативные силы, то W _мех.1=W _мех.2 .

Здесь  и – полная механическая энергия системы; сумма всех видов потенциальной и кинетической энергии для начального и конечного состояния системы соответственно ( ).

· Потенциальная энергия упруго деформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

,

где k – жёсткость пружины,  – абсолютная деформация.

· Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия

,

где r – расстояние между двумя точечными массами m₁, и m₂,  – гравитационная постоянная.

· Потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести:

,

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой, g – ускорение свободного падения. Эта формула справедлива при условии , где R – радиус Земли.