Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

План:

1. События и вероятность. Понятие вероятности. Невозможные и достоверные события.

2. Понятия суммы и произведения. Теоремы сложения и умножения.

3. Условные вероятности. Полная вероятность. Формула Бейеса. Схема испытаний Бернулли.

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ - раздел математики, изучающий закономер­ности случайных явлений. Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Так, хотя нельзя напе­ред определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, при­чем с небольшой погрешностью, число появлений герба, если монета будет бро­шена достаточно большое число раз. При этом предполагается, что монета бро­сается при одних и тех же условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются практически во всех областях науки, техники и сельского хозяйства (в физике, биологии, психоло­гии, педагогике, экономике, военном деле, агротехнике и др.).

ИСПЫТАНИЕ (ОПЫТ, СТОХАСТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ) -

наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса ус­ловий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении дан­ного И. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое И.

СОБЫТИЕ - какое-либо явление, которое может произойти или не произой­ти в результате данного испытания. События принято обозначать начальными заглавными буквами латинского алфавита А, В, С....

Пример 6.1. а) В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета - со­бытие; б) Студент отвечает на вопрос. Сам процесс - это испытание. Конкретный от­вет - событие.

Элементарные исходы (элементарные события) - события, которые в данном испытании могут произойти, причем:

1)  все они взаимно исключают друг друга, и в результате испытания происходит одно из этих событий;

2) каково бы ни было случайное событие А, по наступившему элементарно­му событию можно сказать, произошло или не произошло событие А.

Принятое обозначение – ω ₁, ω ₂,  ω ₃,…,  ω_п .

Те элементарные исходы испытания, в которых интересующее событие на­ступает, называют благоприятствующими этому событию.

Пространство (поле) элементарных событий - совокупность всех эле­ ментарных событий данного испытания. Принятое обозначение - Ω, т.е. Ω = { ω ₁, ω ₂,  ω ₃,…,  ω_п }.

Пример 6.2. Испытание состоит в бросании двух игральных кубиков. Элементарное событие состоит в выпадении упорядоченной пары чисел (т, п) на первом и втором куби­ке соответственно, где т, п Î N, 

т £ 6, п £   6. Пространство Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), ., (6,6)} состоит из 36 элементарных событий.

Наблюдаемые события подразделяют на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверное С. - С, которое обязательно происходит в результате данно­го испытания. Принятое обозначение - Ω . Так, достоверным С. является выпаде­ние не более шести очков при бросании обычной игральной кости, появление белого шара при извлечении из урны, содержащей только белые шары, и т.п.

Невозможное С. - С, которое заведомо не произойдет в результате дан­ного испытания. Принятое обозначение - Æ. Примерами невозможных собы­тий являются извлечение более четырех тузов из обычной карточной колоды, появление черного шара при извлечении шара из урны, содержащей только бе­лые шары, и т.п.

Случайное С. – С., которое может либо произойти, либо не произойти в результате данного испытания. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо орел, либо решка. Поэтому событие А: "При бросании монеты выпал орел" - случайное.

Противоположное С. – С., состоящее в том, что данное событие А не насту­пило. Его обозначают Ᾱ . Если, скажем, событие А состоит в появлении красной масти при вытаскивании карты из колоды, то Ᾱ означает появление черной.

Несовместные С. - события А и В такие, что наступление одного из них исклю­ чает возможность наступления другого. Так, положительный ответ на вопрос несо­вместим с отрицательным ответом, выпадение четного числа очков при бросании игральной кости несовместно с выпадением нечетного числа. Наоборот, выпадение четного числа очков (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В), не будут несовместными, т.к. выпадение шести очков означает наступление и события А, и события В. Ясно, что события А и Ᾱ всегда будут несовместными.

События А ₁, А ₂, .... , А _п  называются равновозможными, если нет основания считать, что появление одного из них в результате испытания является более возможным, чем остальных.

События А ₁, А ₂, .... , А _п  называются единственно возможными, если какое-либо одно из них непременно должно наступить в результате испытания.

События А,, А₂, .... А_п образуют полную группу, если в результате испыта­ния появится хотя бы одно из них. ш

Пример 6.3. Пусть в урне находится три белых шара, занумерованных цифрами 1, 2, 3 и два черных шара, занумерованных цифрами 4, 5. Из урны наудачу извлекается один шар. Пусть событие А заключается в том, что извлеченный шар - красный. По­скольку в урне находится 5 шаров, то в результате испытания может быть извлечен лю­бой из пяти шаров, т.е. в результате испытания наступит одно из пяти следующих собы­тий: Л, - "Появление шара №1", А₂ - "Появление шара №2", ..., А₅ - "Появление шара №5". Данные события А_г А₂, ., Л₅ образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий.

Пример 6.4. События "Выигрыш в шахматной партии" (А) и "Проигрыш в шахмат­ной партии" (В) не образуют полную группу, т.к. результатом шахматной партии может быть "ничья".

ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ.

Сумма (объединение) событий А и В - событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В. Сумму событий обозначают А + В (или А ∪В).

Произведение (пересечение) событий А и В - событие, состоящее в их совместном появлении. Произведение событий обозначают А ∙ В (или А ∩В).

Разность событий А и В - событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В.

                                                                       

 

                                                                                                                                                                            

а) А + В                         б) А ∙ В         в) А\В                 г) Ᾱ

Рис. 6.1

На рис. 6.1 события А + В, А ∙ В, А\В, Ᾱ заштрихованы

Теорема 6.1. Для любых событий Л, В и С справедливы следующие законы и свойства:

1.   Коммутативности А + В = В + А; А ∙ В =  В   ∙  А.

2.   Ассоциативности: (А • В) • С = А • (В • С); (А + В) + С = А + (В + С).

3.   Дистрибутивности: А • (В + С) = (А • В) + (А • С).

4.   Идемпотентности: А• А = А; А + А = А.

5.   Поглощения. А + Ω = Ω ; А • Ω = А; А + Æ  = А; А • Æ = Æ.

6.  А+ А = Ω ; А = Ω \А.

7. А + (А • В) = А;   А • (А + В) = А.

8. Де Моргана: ⌐ (А•В) = Ᾱ  + ; ⌐ (А + В) = Ᾱ   • .

9. А\(В•С) = (А\В) • (А\С); А\(В + С) = (А\В) + (А\С) = (А\В)\С/

10. Двойного отрицания: ⌐ Ᾱ = А.

11. А + Ᾱ = Ω;

12. А\В = А • В .

Доказательство этой теоремы опускается.

ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ А ( Р(А) ) - отношение числа т благоприят­ствующих событию А исходов к общему числу п всех равновозможных попарно несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, т.е.

Р(А) = m\n (6.1)

Данная формула представляет собой т.н. классическое определение вероят­ности по Лапласу.

Теорема 6.2. Вероятность достоверного события равна единице: Р( Ω ) = 1.

Доказательство. Пусть Ω - достоверное событие. Тогда в результате испытания оно обязательно произойдет. Следовательно, каждый элементарный исход испытания будет благоприятствующим событию Ω , т.е. m = n. Значит, Р( Ω ) = m\n = 1.  Теорема доказана.

Теорема 6.3. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(Æ) = 0.

Доказательство. Пусть Æ - невозможное событие. Тогда в результате испытания оно никогда не произойдет. Следовательно, число благоприятствующих событию 0 исхо­дов равно нулю, т.е. m  = 0. Значит Р(Æ) = 0\ n. = 0. Теорема доказана.

Теорема 6.4. Если А - случайное событие, то 0 < Р(А) < 1.

Доказательство. Так как А - случайное событие, то в результате испытания оно мо­жет как наступить, так и не наступить. Поэтому число m  благоприятствующих событию А исходов испытания, с одной стороны, больше нуля, а с другой стороны меньше числа n  всех элементарных исходов испытания, т.е. 0 < m < n . Тогда 0/ n < m / n  < n / n, и значит,

0 < m / n  < 1. Теорема доказана.

Теорема 6.5. Если А - событие, то 0 < Р(А) < 1.

Доказательство следует из теорем 6.2 - 6.4.

Пример 6.5. Испытание состоит в подбрасывании игральной кости, на каждой из граней которой проставлено число очков (от 1 до 6). Какова вероятность того, что: а) выпадет 2 очка? б) выпадет нечетное число очков?

Решение. В данном испытании имеется 6 равновозможных случаев (выпадение 1,2,3,4,5,6 очков, т.е. n = 6), т.к. нет оснований предполагать, что появление какого-то определенного числа очков более вероятно (при условии, что кость симметрична). По­этому вероятность выпадения любого числа очков, в том числе и 2, при одном (m = 1) подбрасывании равна 1/6.

Событию А, заключающемуся в появлении нечетного числа очков, благоприятствуют три случая (выпадение 1, 3 и 5, т.е. m  = 3), поэтому по формуле (6.1) получаем Р(А) = m / n = 0,5.   

Ответ, а) 1/6; б) 0,5.

Пример 6.6. В коробке из 12 кубиков находятся 5 красных кубиков. Найдите вероят­ность того, что среди восьми взятых наудачу кубиков, ровно 2 красных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 8 кубиков из 12, т.е. числу сочетаний из 12 элемен­тов по 6 (С ). Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию А - "Среди восьми взятых кубиков ровно 2 красных": 2 красных кубика можно взять из 5 красных кубиков С  способами; при этом остальные 8 ∙ 2 = 6 кубика не должны быть красными; взять же 6 не красных кубика из 12 - 5 = 7 не красных кубиков можно С   способами.

Следовательно, число благоприятствующих исходов равно С • С  .

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию,

к числу всех элементарных исходов: Р(А) = (С • С ) : (С ) = 14 \ 99.

Ответ: 14/99.

В основе математических моделей, используемых в теории вероятностей, лежат три понятия: пространство элементарных событий Ω, класс событий А (подмножеств Ω) и определенная на этом классе функция множеств Р - вероят­ностная мера. Значение Р(А) функции Р для события А и называется вероятно­стью события А.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ - отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Относительная частота события А определяется формулой W(А) = m\ n, где m - число появлений события, n  - общее число испытаний.

Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вы­числяют до опыта, а относительную частоту - после опыта. Так, если по окончании экзаменационной сессии выясняется, что из 24 случайно отобран­ных студентов неуспевающими являются 3 студента, то относительная частота появления неуспевающих студентов W(А)  = 3/24 = 0,125.

Длительные наблюдения показывают, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, суть которое состоит в том, что в различных опытах относительна частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторо­го постоянного числа. Это постоянное число есть вероятность появления собы­тия. Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Пример 6.7. По данным статистического управления города N относительная час­тота рождения девочек за 2000 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Относительная частота ко­леблется около числа 0,482, которое можно принять за приближенное значение вероят­ности рождения девочек.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испы­тания - конечно, а элементарные события равновозможные. О равновозможности элементарных исходов испытания судят из соображений симметрии. Так, например, обстоит дело при бросании игрального кубика, когда предполагают, что он имеет идеальную форму правильного многогранника (куба), при извле­чении шаров из урны, когда считают, что шары абсолютно одинаковые по фор­ме и неразличимы на ощупь, и т.п.

Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. Чаще встречаются испытания, элементар­ные события которых не являются равновозможными. В таких случаях класси­ческое определение неприменимо. По этой причине наряду с классическим оп­ределением пользуются также статистическим определением вероятности, при­нимая за вероятность события относительную частоту или число, близкое к ней. Другими словами, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота события А весьма близка к числу 0,78, то это число принимают за статистическую вероятность события А, и говорят, что событие А стохастически устойчиво. Например, если при 100 попытках стрелок попал в цель 81 раз, то можно считать, что для него вероятность попадания в цель при данных условиях приблизительно равна 0,81, т.е. относительной час­тоте попадания.

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Пусть  Ω - пространство элементарных событий некоторого стохастического эк­сперимента и в Ω выделена система 5 событий, являющаяся алгеброй событий. Это означает, что:

1) Ω Î S;

2) Если А Î S Þ Ᾱ  Î S;

3) Если А и В Î S Þ А+ В Î S и А ∙ В Î S.

Каждому событию А поставим в соответствие число Р(А) (его вероятность) так, что выполняются следующие свойства:

1 .( "АÎ S) [Р(А) ≥ 0].

2. Р( Ω )= 1

3. Если А и В несовместны (АВ = Æ), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Тройка (Ω , S , Р) называется вероятностным пространством.

Этот подход позволяет, не обсуждая трудного вопроса о том, откуда извест­ны первоначальные вероятности, если известны вероятности одних событий, вычислить по ним вероятности других, достаточно сложных событий, пользу­ясь только перечисленными аксиомами. В таком виде аксиоматика теории веро­ятностей была предложена

А.Н. Колмогоровым.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Рассмот­рим опыт, состоящий в бросании случайным образом точки на отрезок [а; b], предполагая, что попадания в любую точку равновозможны. Пространство эле­ментарных событий Ω в этом опыте - все точки отрезка [а; b]. Поскольку множество элементарных событий несчетно (бесконечно) и все они равновозможны, то для " w Î Ω Р( w ) = 0. Так что классическая схема неприменима. В этом случае положим, что вероятность события А - "Попадание брошенной точки на отрезок [с; d] Ì [а; b]  -пропорциональна длине отрезка [с; d] , т.е. Р(А) = к ∙ ( d - с), где d - с - длина отрезка. Коэффициент к находится из условия нормировки: Р(Ω ) = к ∙ (а - b) = 1 => к = 1 / (а - b) и Р(А) = (d - с ) / (а - b).

Пример 6.8. Абонент ждет телефонного вызова в течение одного часа. Какова веро­ятность, что вызов произойдет в последние 20 минут этого часа?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что вызов произошел в последние 20 ми­нут. Изобразим пространство элементарных событий в виде отрезка длины 60. Тогда элементарные события, благоприятные А, заключены в последнюю треть отрезка, сле­довательно, Р{А) =1/3.

Ответ: 1/3.

Естественно, что вместо отрезка можно говорить о плоской фигуре, опреде­лив вероятность как отношение Р(А) = S(А) /  S (Ω), где S(А) и  S (Ω) - площади cоответствующих фигур.

Нетрудно убедиться, что все аксиомы и в том, и в другом случае выполняются.

Пример 6.9. Два лица Х и У условились встретиться в определенном месте между 12 часами и часом, при этом пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи лиц X и У, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти случайно, и моменты прихода независимы?

Решение. Обозначим момент прихода лица X через х, а лица У - через у. Для того, чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно выполнение неравенства |х - у| < 20. На координатной плоскости множество точек, удовлетворяющие этому неравенству, изоб разятся в виде полосы (рис. 6.2, а), все возможные исходы - точками квадрата со стороной 60 (минут) а благоприятствующие встрече - расположатся в заштрихованной обла­сти (рис. 6.2, 6). Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата, т.е. равна (60² - 40² )/60² = 5/9.
_у*               >

Рис. 6.2

Ответ: 5/9.

ВЕРОЯТНОСТИ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ. Часто бывает так, что вероятность некоторого события можно найти, зная вероятнос­ти других событий, связанных с этим событием.

Теорема 6.6. (Теорема сложения вероятностей). Вероятность суммы (объединения; появления одного из них, безразлично какого) двух произ­вольных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появления, т.е.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Доказательство. Пусть А и В - произвольные события. Обозначим через п число всех элементарных исходов испытания, в результате которого может наступить событие А + В. В силу определения число т всех исходов, которые благоприятствуют событию А + В, можно посчитать следующим образом: к числу m ₁, благоприятствующих событию А исходов испытания прибавим число т₂ благоприятствующих исходов событию В. Поскольку на­ступление события А + В происходит и при совместном наступлении событий А и В (т.е. при наступлении события АВ), а каждый благоприятствующий событию АВ исход благо­приятствует как событию А, так и событию В, то в сумме m ₁ + т₂ дважды учтено число т ₃  всех благоприятствующих событию АВ исходов. Поэтому m  = m ₁ + т₂ - т ₃ и значит, Р(А + В) = т\п = (m ₁ + т₂ - т ₃ )\п = m ₁\п + т₂ \п - т ₃ \п . Учитывая, что m ₁\п, т₂ \п, т ₃ \п - вероятности событий А, В, АВ соответственно, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В)- Р(АВ). Теорема доказана.

Следствие 1. Вероятность суммы (объединения) попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей, т.е. Р(А₁ + А₂ +... + А_п) = Р(А₁) + Р(А₂) +…+ Р(А_п).

Следствие 2. Пусть А₁, А₂, ... , А_п - полная группа попарно несовмест­ных событий. Тогда Р(А₁) + Р(А₂) +…+ Р(А_п) =  1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е. Р(А) + Р( Ᾱ ) = 1.

Пример 6.10. В урне 5 белых, 6 черных и 9 красных шаров. Какова вероятность того, что первый наугад вынутый шар окажется черным или красным?

Решение. Здесь имеется всего 20 элементарных исходов, из которых появлению чер­ного шара благоприятствует 6, а появлению красного - 9. Поэтому вероятность события А - появление черного шара: Р(А) = 6/20, а вероятность события В - появление красного шара: Р(В) = 9/20. Поскольку события А и В несовместны (вынимается всего один шар), то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 6/20 + 9/20 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Условная вероятность события В (Р_А(В)) - вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А уже произошло. Если А и В - незави­симые события, то Р_А(В) = Р(В), Р_В(А) = Р(А).

Теорема 6.7. (Теорема умножения вероятностей). Вероятность произ­ведения (пересечения; совместного появления) двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило, т.е. Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) = Р(В)Р_В(А).

Доказательство. Пусть п - число всех элементарных исходов испытания, т из этих исходов благоприятствуют событию А и d исходов благоприятствуют событиям А и В. Тогда, по определению вероятности события, имеем Р(А) = т/п, Р(АВ) = d/п. Найдем условную вероятность Р_А(В) события В при условии, что событие А наступило. Событие А насту­пает в т исходах, а в d  исходах из них наступает событие В. Следовательно, Р_А(В) = d/т. Так как d/п = (т/п)( d/т), то Р(А В) = Р(А) Р_А(В). Аналогично можно показать, что Р(АВ) = Р(В) Р_В(А). Теорема доказана.

Пример 6.11. На полке стоят 11 научно-популярных книг и 5 художественных. Ка­кова вероятность того, что две подряд наугад взятые книги окажутся художественными?

Решение. Рассмотрим два события В ₁ и В₂: В ₁ - при первом испытании взята худо­жественная книга, В_г - при втором испытании взята художественная книга. По теоре­ме 6.7 вероятность такого события равна Р(В₁В₂) = Р(В ₁) Р_В ₁ (В₂). Вероятность события В₁Р_В ₁= 5/16. После первого испытания на полке останется 15 книг, из которых 4 художе­ственные, поэтому условная вероятность Р_В ₁ (В₂) = 4/15.

Отсюда искомая вероятность равна: Р(В ₁В_г) =5/16∙4/15 =1/12. .

Ответ: 1/12.

Следствие 1. Вероятность совместного появления нескольких собы­тий равна произведению вероятности одного из них на условные вероят­ности всех остальных, причем вероятность каждого последующего со­бытия вычисляют при условии, что все предыдущие события уже насту­пили, т.е.

Р(А₁∙А₂ ∙... ∙А_п) = Р( А₁)• Р _А ₁ (А₂) • Р _А ₁ _А2 (А₃ )•… • Р_А₁ Р_А2… Р_{А n-1} (А_п,) .

Пример 6.12. Из десяти карточек составлено слово "МАТЕМАТИКА". Из них школь­ник наудачу выбирает поочередно четыре карточки и приставляет одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово "ТЕМА"?

Решение. Введем события А₁, А₂, А₃, А ₄, состоящие в том, что первая выбранная буква - Т, вторая - Е, третья – М и четвертая - А. Нам нужно найти вероятность произ­ведения этих событий. По следствию 1 из теоремы 6.7 имеем:

Р(А ₁∙А₂ ∙А ₃ ∙А ₄ = 2/10∙1/9∙2/8∙3/7 = 1/420.

Ответ: 1/420.

Следствие 2. Если А ₁, А_2, . . ., А_п - независимые события, то вероятность их произведения (совместного появления) равна произведению веро­ятностей этих событий, т.е. Р(А₁∙А₂ ∙... ∙А_п)  = Р( А₁)• Р (А₂ ) • …• Р (А_п).

  Пример 6.13. Два стрелка независимо один от другого делают по одному выстрелу по одной и той же мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком - 0,7; вторым - 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение. Пусть событие А состоит в том, что мишень поразил первый стрелок, а событие В - в том, что мишень поразил второй стрелок. По условию Р(А) = 0,7 и Р(В) = 0,8.

1-й способ. Рассмотрим противоположные события: Ᾱ - промах первого стрелка,  - промах второго. По следствию 3 из теоремы 6.6 получаем Р( Ᾱ ) = 1 - 0,7 = 0,3 и Р( ) = 1 - 0,8 = 0,2. Произведение событий Ᾱ •  означает промах обоих стрелков. По смыс­лу задачи события А и В являются независимыми, поэтому и противоположные события Ᾱ и   также будут независимыми. По следствию 2 из теоремы 6.7 получаем вероят­ность того, что оба стрелка промахнутся:

Р( Ᾱ • ) = 0,3•0,2 = 0,06. Нас же интересует вероятность противоположного события, состоящего в том, что мишень поражена. По­этому искомую вероятность мы находим по следствию 3 из теоремы 6.6: 1 - 0,06 = 0,94.

2-й способ. Искомое событие (мишень будет поражена хотя бы одним стрелком) есть сумма событий А и В. По теореме 6.6 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,7 + 0,8 - 0,7•0,8= 1,5-0,56 = 0,94.

Ответ: 0,94.

Пример 6.14. В студенческой группе 25 человек. Какова вероятность того, что дни рождения хотя бы у двоих совпадают?

Решение. Вероятность того, что дни рождения у двух произвольно взятых людей совпадают, равна 1/365 (считаем, что попадания дня рождения на любой день в году -равновозможные случаи). Тогда вероятность того, что дни рождения двух людей не со­впадают, т.е. вероятность противоположного события равна 1 - 1/365 = 364/365. Вероят­ность того, что день рождения третьего отличается от дней рождения двух предыдущих, составит 363/365 (363 случая из 365 благоприятствуют этому событию). Рассуждая анало­гично, находим, что для 25-го члена группы эта вероятность равна 341/365. Далее найдем вероятность того, что дни рождения всех 25 членов группы не совпадают. Поскольку все эти события (несовпадение дня рождения каждого очередного члена группы с днями ро­ждения предыдущих) независимы, то по следствию 2 из теоремы 6.7 получаем:

Р(А ₁∙А₂ ∙... ∙А ₂₅) = 364/365∙ 363/365∙ …∙341/365 = 0,43

Это вероятность того, что дни рождения у всех 25 человек не совпадают. Вероятность противоположного события будет вероятностью того, что хотя бы у двоих дни рожде­ния совпадают, т.е. искомой вероятностью Р = 1 - 0,43 = 0,57.

Ответ: 0,57.

СХЕМА БЕРНУЛЛИ. Пусть А - случайное событие по отношению к неко­торому испытанию. Будем считать, что испытание имеет два исхода: наступле­ние события А и ненаступление события А (т.е. наступление события Ᾱ ). Если производится несколько таких испытаний, причем вероятность события А в каж­дом из них не зависит от исходов остальных, то такие испытания называют не­зависимыми (относительно события А).

Говорят, что проводимый эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли, если:

1) эксперимент состоит из n независимых испытаний;

2) каждое испытание имеет два исхода - наступление некоторого события А
и наступление события А;

3) вероятность события А в каждом испытании постоянна.

Теорема 6.10. Пусть производится n  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, а не появления - q. Тогда вероятность Р_п( k) того, что в n  испытаниях событие А появится ровно k  раз, вычисляется по формуле Бернулли: Р_п( k) = С  • р   q .

Наивероятнейшее число наступления события А в n испытаниях - чис­ло k  = k ₀ при котором вероятность Р_п( k)  является наибольшей.

Теорема 6.11. Если р ≠ 0 и р ≠1,то наивероятнейшее число k ₀ можно определить из двойного неравенства: n р - q £ k ₀ £ n р + р. Если n р + р  не является целым числом, то данное неравенство определяет лишь одно наивероятнейшее число. Если n р + р   - целое число, то имеются два наивероятнейших значения: k ₀' = n р - q и k ₀'' = n р + р. Доказательство этой теоремы опускается.

Пример 6.17. Вероятность попадания в мишень при выстреле равна 0,8. Найдите:

а) вероятность того, что при семи выстрелах произойдет пять попаданий в мишень;

б) наи­вероятнейшее число k ₀ попаданий в мишень при семи выстрелах.

Решение. Рассматриваемый в задаче эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Пусть А - событие "Попадание в мишень при выстреле". Тогда событие Ᾱ означает "промах". По условию Р(А) = р = 0,8, значит, Р( Ᾱ ) = q = 1 - р = 0,2.

а) Для нахождения пяти попаданий при семи выстрелах воспользуемся теоремой 6.10:         Р₇ (5) = С  • р • q  = 7! / (5!(7-5)!• 0,8⁵• 0,2² = 0,275.

б) Наивероятнейшее число попаданий в мишень при семи выстрелах находим (согласно теоремы 6.11) из двойного неравенства 7•0,8 - 0,2 £ k ₀ £ 7 •0,8 + 0,8, т.е 5,4 £ k ₀ £ 6,4.
Значит, k ₀ = 6.

Ответ: а) 0,275; б) 6.

 

Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ

Лекция 16. Соответствия

План:

1. Понятие соответствия. Способы задания соответствий.

2. Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.

3. Взаимно-однозначные соответствия

Первоначально алгеброй называли учение о решении уравнений. За много столетий своего развития алгебра превратилась в науку, которая изучает операции и отношения на различных множествах. Поэтому не случайно уже в начальной школе дети знакомятся с таки­ми алгебраическими понятиями, как выражение (числовое и с пере­менными), числовое равенство, числовое неравенство, уравнение. Они изучают различные свойства арифметических действий над числами, которые позволяют рационально выполнять вычисления. И конечно, в начальном курсе математики происходит их знакомство с различ­ными зависимостями, отношениями, но чтобы использовать их в це­лях развития мыслительной деятельности детей, учитель должен овла­деть некоторыми общими понятиями современной алгебры - поняти­ем соответствия, отношения, алгебраической операции и др. Кроме того, усваивая математический язык, используемый в алгебре, учитель сможет глубже понять сущность математического моделирования реальных явлений и процессов.