Воспользуемся введенной записью для определения понятия соот­ветствия, обратного данному.

Определение. Пусть S - соответствие между множествами Х и У. Соответствие S^-1; между множествами Y и X называется обрат­ным данному, если у S^-1 тогда и только тогда, когда х Sу.

Соответствия S и S^-1 называют взаимно обратными. Выясним осо­бенности их графиков.

Построим график соответствия S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} (рис. 71, а). При построении графика соответствия S^-1 = {(2, 4), (3, 5), (6, 8)} мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = {2, 3, 6}, а вторую - из множества Х= {4, 5, 8, 10}. В результате график соответст­вия S^-1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S^-1, условились первую компоненту пары соответ­ствия S^-1  считать абсциссой, а вторую - ординатой. Например, если (5, 3) ? S, то (3, 5) ? S^-1. Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в об­щем случае (х,у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S^-1  симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Рис.71

Чтобы построить график соответствия S^-1, достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Упражнения

1. Вычислив длины заданных отрезков, учащийся записал: АВ = 7 см, С D = 12 см, К L = 15 см, X Y = 12 см. Соответствие между какими множествами он установил? Задайте это соответствие при помощи предложения с двумя переменными и графа.

2. Даны множества: X = {2, 5}, Y = {3, 6}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответст­вие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза»?

3. Соответствие «число х в два раза больше числа у» рассматривается между множествами X и Y. Каким будет его график, если:

а) X = {2,4,6,8}, Y = N;           б) X =[2, 8], Y=R;

в) Х = Y =R.

4. Между множествами X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} и Y= Z задано соответствие «х - у = 3», причем х ? X, у ? Y. Какая фигура на рисунке 72 является графиком этого соответствия?

5. Графиком соответствия Р, заданного между множествами X и Y, являются все точки прямоугольника АВС D (рис. 73). Назовите координаты трех точек, принадлежащих этому графику и задайте множества X и Y.

6. Множества X = {1, 3, 4, 6} и Y = (0, 1} находятся в соответствии S = {(1, 1), (3, 0), (3, 1), (4 0), (4, 1) (6, 1)}. Задайте соответствие S^-1, обратное соответствию S, и постройте на одном чертеже их графики.

7. Между множеством X - углов треугольника AВС и множеством Y- его сторон задано соответствие Т - «угол х лежит против стороны у». Задайте соответствие Т^-1, обратное соответствию Т, при помощи: а) предложения с двумя переменными; б) графа.

8. Даны графики соответствий P и Q (рис. 74). Можно ли утверждать, что соответствия P и Q

взаимно обратные?

9. Постройте графики соответствий, обратных данным (рис. 75).