При изучении математики у школьников формируются такие действия, как действие планирования своей деятельности, оценка ее результата, поиска плана решения задачи, чтения учебных текстов, и другие. Если все эти действия проанализировать, то можно составить алгоритмические предписания по их выполнению, а затем использовать как ориентиры для разных видов деятельности. Например, алгоритмическое предписание поиска плана решения задачи может быть таким:

1. Прочитайте задачу.

2. Выделите, что дано и что нужно найти в задаче.

3. Укажите объекты, о которых говорится в условии.

4. Выясните, как связаны данные объекты и те, которые требуется найти.

5. Подумайте, как на основании имеющихся у вас знаний об объектах, о которых идет речь, ответить на требования задачи.

6. Составьте план предполагаемого решения.

Кроме общих учебных действий при изучении математики формируются действия, связанные с освоением конкретного материала. Многие из них носят алгоритмический характер, поэтому для овладения ими целесообразно составлять предписания. В частности, к таким действиям относятся: усвоение нового определения понятия (правила, свойства, теоремы); распознавание принадлежности объекта объему данного понятия; нахождение значения переменной по формуле; решение однотипных задач и др.

Таким образом, обучение математике требует от учителя умения строить алгоритмические предписания. Какие приемы при этом можно использовать?

Для построения любого алгоритмического предписания прежде всего необходимо выделить четкую последовательность элементарных шагов, приводящих к требуемому результату. Каждый такой шаг представляет собой операцию, ранее сформировавшуюся у исполнителя. Когда алгоритм описывается словесно, - это отдельные указания, пункты. Если он формулируется на языке блок-схем, то это отдельные блоки. Непосредственное же построение алгоритма всегда происходит с применением некоторого приема. Это приемы пошаговой детализации, решение частных задач, приемы на основе определений, формул и др.

Все они могут быть разбиты на две группы. К первой группе относятся приемы, на основе которых построение алгоритма осуществляется путем «развития» его «вглубь» и выявления все более частных его особенностей. Ко второй группе относятся приемы, на основе которых построение осуществляется путем «восхождения» к алгоритму от решения частных задач.

Один из наиболее распространенных приемов первой группы – прием пошаговой детализации (или прием последовательного уточнения). Идея пошаговой детализации заключается в том, что на каждом этапе происходит уточнение уже имеющегося алгоритма. Поэтому при применении данного приема: 1) сначала алгоритм строится в крупных блоках (т.е. выделяются наиболее существенные операции); 2) определяется последовательность их выполнения; 3) крупные блоки уточняются до тех пор, пока каждая операция в алгоритме не станет понятной исполнителю.

Рассмотрим, например, как используется прием пошаговой детализации при построении алгоритма решения простейших уравнений (т.е. уравнений вида 5 + х = 8; 8 – х = 7; 5 • х = 10; х : 4 = 5 и т.д.).

1. Выделим наиболее существенные операции.

Для решения простейшего уравнения надо назвать неизвестный компонент, т.е. сначала прочитать уравнение. Затем нужно знать правило нахождения этого компонента. Далее, необходимо уметь решать уравнение. Потом провести доказательство, что полученное значение неизвестного – искомое, т.е. сделать проверку. И, наконец, записать ответ.

2. Определим последовательность выделенных операций и запишем алгоритм в крупных блоках:

1]. Прочитай уравнение.

2]. Вспомни правило, как найти значение неизвестного.

3]. Реши уравнение.

4]. Сделай проверку.

5]. Запиши ответ.

Если исполнитель (ученик) не владеет хотя бы одним из перечисленных действий, то он будет испытывать при решении уравнения определенные трудности. Поэтому непонятные ему действия должны быть уточнены. Так, например, чтобы прочитать уравнение, надо назвать арифметическое действие и компоненты. Значит, блок 1]. Можно детализировать:

1) Назови действие, которое указано в уравнении.

2) Вспомни, как называются компоненты этого действия.

3) Прочитай уравнение, используя название компонентов.

Если затруднения вызваны наличием в уравнении больших чисел, то можно использовать пример с аналогичным действием, что и в данном уравнении, но с небольшими числами. Поэтому алгоритм выбора действия (блок 2]) может иметь следующий вид:

1) Составь пример-помощник на действие, указанное в уравнении, с небольшими числами.

2) Установи в примере-помощнике, каким действием можно найти неизвестное число.

3) Вспомни правило нахождения неизвестного компонента.

Алгоритм решения уравнения, т.е. блок 3], можно также уточнить:

1) Примени правило и запомни выражение неизвестного компонента через известные.

2) Вычисли значение неизвестного.

Алгоритм проверки, т.е. блок 4] может иметь следующий вид:

1) Подставь в уравнение найденное значение неизвестного.

2) Вычисли значение левой и правой части уравнения.

3) Сравни эти значения.

Прием пошаговой детализации можно использовать при составлении алгоритмов решения различных задач, в частности при вычислении значений величин по формулам, при решении задач на распознавание принадлежности объекта объему данного понятия. Каждый шаг уточнения алгоритма, как правило, состоит из следующих этапов: анализ ситуации; построение более точного фрагмента; контроль правильности этого фрагмента и его связи с предшествующими.

Рассмотрим теперь прием построения алгоритмов, основанный на решении частных задач. Построение алгоритмов с помощью этого приема предполагает:

1) тщательный анализ разнообразных частных задач определенного класса, приводящих к различным результатам;

2) выявление операций и последовательности их выполнения при решении частных задач данного класса;

3) выявление всех логических условий, влияющих на дальнейший ход процесса и приводящих, в конце концов, к разным результатам;

4) определение последовательности операций для всех возможных случаев, т.е. окончательное построение алгоритма.

Составим, например, алгоритм для класса задач «решить уравнение ах = b».

1) Тщательно анализируем разнообразные частные задачи, приводящие к различным результатам.

А.    3х = 12         2х = - 5     0,5х = 5        3х = 0         2х = 2

  х = 12:3          х = -5:2         х = 5:0,5        х = 0:3        х = 2:2

  х = 4               х = -2,5          х = 10            х = 0           х = 1

Б. 0х = 5          0х = - 12    0х = 1,12        0х = 3

Решений нет

В. 0х = 0,

х – любое число.

2) Выявляем операции и последовательность их выполнения при решении частных задач.

А. Операция деления b на а.

Б, В не содержат операций.

3) Выявляем все логические условия, влияющие на дальнейший ход процесса и приводящие, в конце концов, к разным результатам.

А. Если а ≠ 0, то х = b:а – решение уравнения.

Б. Если а = 0 и b ¹ 0, то решений нет.

В. Если а = 0 и b = 0, то решений бесконечно много.

4) Построим окончательный алгоритм (рис. 65).

Рис. 65

Упражнения

1.       Используя прием пошаговой детализации, составьте алгоритм выполнения задания: «Определите логическую структуру и значение истинности высказывания, запишите его, используя символы». Про­верьте правильность составленного алгоритма для следующих выска­зываний:

а) 28 кратно 4 и меньше 31;

б) 28 кратно 4 или 9;

в) неверно, что 28 кратно 9.

2. Используя определение квадрата, составьте и зашипите алгоритм, позволяющий среди различных геометрических фигур распо­знавать квадраты. Применяя его, выполните задание: «среди следую­щих фигур выделите квадраты» (рис. 31).

3. Используя задание: «лежат ли три точки на одной прямой, если известны расстояния между ними: а) 3, 5, 8; б) 1, 4, 2; в) 6, 4, 5; г) 7, 11, 4; д) 3, 8, 12; е) 3, 6, 3?»,  разделите все случаи на группы в зависимости от результата; обобщите полученные выводы и постройте алгоритм принадлежности трех точек одной прямой. Каким приемом построения алгоритма вы воспользуетесь?

Примечание: расстояния между точками измерены с помощью одной и той же единицы длины.

Основные выводы

Уточнены следующие понятия:

- алгоритм;

- алгоритмическое предписание;

- линейный, разветвляющийся и циклический алгоритм.

Рассмотрены свойства алгоритмов (определенности, дискретности, понятности, результативности, массовости), способы из записи (словесный, формульный, табличный, на языке блок-схем) и приемы построения (пошаговая детализация; прием, основанный на решении частных задач и др.)