План:
1. Решение задач «на части»
2. Решение задач на движение
3. Основные выводы
Решение задач «на части»
Само название вида задач говорит о том, что рассматриваемые в них величины состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других эти части надо суметь выделить, приняв подходящую величину за 1 часть и определив, из скольких таких частей состоят другие величины, о которых идет речь в задаче.
При решении таких задач арифметическим методом чаше всего используют вспомогательные модели, выполненные с помощью отрезков или прямоугольников.
Задача 1. Для варки варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара. Сколько сахара надо взять па 10 кг ягод?
Решение. В задаче речь идет о массе ягод и массе сахара, необходимых для варки варенья. Известно, что всего ягод 10 кг и что на 2 части ягод надо брать 3 части сахара. Требуется найти массу сахара. чтобы сварить варенье из 10 кг ягод.
Изобразим при помощи отрезка данную массу ягод (рис. 45). Тогда половина этого отрезка представляет собой массу ягод, которая приходится на 1 часть.
В 10 кг
С ?
Рис. 45
Сахара, по условию задачи, надо 3 таких части. Запишем решение по действиям с пояснением:
1) 10:2 = 5 (кг) - столько килограммов ягод приходится на каждую часть;
2) 5 ×3 = 15 (кг) - столько надо взять сахара.
Вспомогательную модель к данной задаче можно было выполнить при помощи прямоугольников (рис. 46).
10 кг ?
Рис. 46
Задача 2. В первой пачке было на 10 тетрадей больше, чем во второй. Всего было 70 тетрадей. Сколько тетрадей было в каждой пачке?
Решение. В задаче рассматриваются две пачки тетрадей. Всего тетрадей 70. В одной пачке тетрадей на 10 больше, чем во второй. Требуется узнать, сколько тетрадей было в каждой пачке.
Изобразим при помощи отрезка количество тетрадей во второй пачке. Тогда тетради в первой пачке можно представить в виде отрезка, который больше второго (рис. 47). По чертежу видно, что если тетради
10 т.
Рис. 47
во второй пачке составляют 1 часть всех тетрадей, то тетради в первой составляют также 1 часть и еще 10 тетрадей.
Если эти 10 тетрадей убрать из первой пачки, то в пачках тетрадей станет поровну - столько, сколько во второй пачке.
Запишем решение задачи по действиям с пояснением.
1) 70-10 = 60 (тетр.) - столько тетрадей приходится на 2 равные части, или столько было бы тетрадей в двух пачках, если бы их было поровну - столько, сколько во второй пачке.
2) 60:2 = 30 (тетр.) - столько тетрадей приходится на 1 часть, или столько тетрадей было во второй пачке.
3) 30 +10 — 40 (тетр.) - столько тетрадей было в первой пачке.
Вспомогательная модель подсказывает и второй способ решения данной задачи. Если за I часть принять тетради в первой пачке, то чтобы во второй стало столько же, надо к ней добавить 10 тетрадей. И тогда решение будет таким:
1) 70+10 = 80 (тетр.)
2) 80:2 = 40 (тетр.)
3) 40-10 = 30 (тетр.)
Существует и третий арифметический способ решения данной задачи. Разделим 10 тетрадей пополам и одну половину оставим к первой пачке, а другую добавим во вторую. Тогда тетрадей в пачках станет поровну и можно, разделив 70 на 2 равные части, узнать, сколько тетрадей в каждой такой пачке, а затем их первоначальное количество в каждой пачке.
1) 10:2 = 5 (тетр.) - столько тетрадей надо переложить из первой
пачки во вторую, чтобы в них тетрадей стало поровну.
2) 70:2 = 35 (тетр.) - столько тетрадей в каждой пачке, если из первой переложить во вторую 5 тетрадей.
3) 35 + 5 = 40 (гетр.) - столько тетрадей в первой пачке.
4) 35-5 = 30 (тетр.) - столько тетрадей во второй пачке.
Задача 3. Сумма двух чисел 96, а разность 18. Найдите эти числа.
Решение. В этой задаче требуется найти два числа по их сумме и разности. Так как разность искомых чисел равна 18, то одно число больше другого на 18. Получаем задачу, аналогичную задаче 2: «Одно число больше другого па 18. Сумма чисел равна 96. Найти эти числам Решить ее можно тремя арифметическими способами.
Задача 4. В двух кусках ткани одинаковое количество материи. После того как от одного куска отрезали 18 м, а от другого 25 м, в первом куске осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани было в каждом куске первоначально?
Решение. Объекты задачи - два куска ткани одинаковой длины От первого отрезали 18 м, от второго 25 м. После этого в первом осталось вдвое больше ткани, чем во втором. Требование задачи - найти первоначальное количество метров ткани в каждом куске.
Изобразим куски ткани при помощи отрезков одинаковой длины, а затем покажем на них то количество ткани, которое отрезали
| 18 м |
| I |
|
|
| II |
| Рис. 48 |
и которое осталось. Если количество ткани, которое осталось во втором куске, - это 1 часть, то количество оставшейся ткани в первом куске - это 2 таких части По чертежу (рис. 48) видно, что на 1 часть приходится количество ткани, которое легко найти. Запишем найденное решение по действиям:
1) 25-18 = 7 (м) - на столько больше ткани отрезали от второго
куска, или количество ткани, которое осталось во втором куске
2) 7 + 25 -- 32 (м) - столько ткани было первоначально во втором
куске (и, следовательно, в первом) куске.
Упражнения
1. Изобразите при помощи отрезков ситуации:
а) купили р кг яблок, а груш на 1 кг больше;
б) купили р кг яблок, а груш в 2 раза больше.
Какими могут быть требования к данным ситуациям? Для каждого случая постройте модель и обозначьте на ней требования.
2. Требуется смешать 3 части песка и 2 части цемента. Сколько
цемента и песка в отдельности надо взять, чтобы получить 30 кг
смеси?
3, Установите соответствие между вспомогательными моделями и следующими задачами; используя модели, решите задачи:
а) В двух пакетах было 15 яблок. Когда из одного пакета взяли 3 яблока, в нем
осталось в 2 раза меньше яблок, чем в другом. Сколько яблок было в каждом пакете?
б) В трех пакетах лежит 20 яблок, причем в одном пакете их в 2 раза меньше, чем в каждом из двух других. Сколько яблок в каждом пакете?
в) У двух мальчиков было 8 яблок. Когда один съел одно яблоко, а другой 3 яблока, у них осталось яблок поровну. Сколько яблок было у каждого?
4. Решите следующие задачи, построив на этапе анализа вспомогательные модели; решение запишите по действиям с пояснением:
а) Мама дала трем девочкам 12 конфет и предложила разделить их так, чтобы младшая получила в 3 раза, а средняя в 2 раза больше старшей. Сколько конфет достанется каждой?
б) На двух тарелках лежало 9 яблок. Когда с одной тарелки взяли одно яблоко, то на этой тарелке осталось яблок в 3 раза больше, чем на другой. Сколько яблок было на каждой тарелке?
в) У моего брата было в 6 раз больше орехов, чем у меня. После того как он отдал 10 орехов сестре, у нас орехов стало поровну. Сколько орехов было у меня и у брата первоначально?
г) Полсотни яблок разложили в корзину и два пакета. В корзину положили на 14 яблок больше, чем в каждый пакет. Сколько яблок в корзине и в пакете?
д) Школьник прочитал 18 страниц за три дня. Если бы он в первый день прочитал на одну страницу больше, а во второй день на 4 страницы меньше, то каждый день он читал бы поровну. По сколько страниц читал школьник каждый день?
5. Постройте вспомогательные модели и с их помощью найдите решения следующих задач:
а) На одной полке на 6 книг больше, чем на другой. Сколько книг нужно переложить с одной полки на другую, чтобы книг стало поровну?
6} Если с одной полки переложить на другую 6 книг, то на обеих полках книг будет поровну. На сколько книг на одной полке больше, чем на другой?
в) На одной полке на 6 книг больше, чем на другой. На сколько книг будет больше на одной полке, чем на другой, если с первой полки переложили на другую 10 книг?
г) На первой полке на 6 книг больше, чем на второй. На сколько книг будет на первой полке больше, если со второй полки переложить на первую 10 книг?
6. Поиск плана решения проведите по вспомогательной модели; решение запишите по действиям; выполните проверку найденного решения:
а) В двух бидонах 28 л краски. Если из одного взять 3 л, а в другой добавить 2 л, то в первом станет на 7 л краски больше, чем во втором. Сколько краски в каждом бидоне?
б) На складе в три раза больше муки, чем в магазине. Если со склада взять 850 т муки, а магазином будет продано 50 т муки, то и на складе, и в магазине муки останется поровну. Сколько муки на складе и сколько в магазине?
в) У Наташи на 15 открыток больше, чем у Сережи. Детям подарили еще по 6 открыток У Наташи стало в 2 раза больше открыток, чем у Сережи. Сколько открыток было у каждого первоначально?
7. Решите различными арифметическими способами:
а) В двух книжных шкафах было 1536 книг. Когда из одного взяли 156 книг, а из другого в три раза больше, то книг в шкафу стало поровну. Сколько книг было в каждом шкафу первоначально?
б) Площадь земли, засеянная пшеницей, в 6 раз больше площади, засеянной ячменем, а площадь, засеянная рожью, в 3 раза меньше площади, засеянной пшеницей. Сколько гектаров земли засеяно каждой культурой, если пшеницей засеяно на 480 га больше, чем рожью?
Решение задач на движение
Движение является темой для самых разнообразных задач, в том числе и для задач на части. Но наряду с этим существует и самостоятельный тип задач на движение. Он объединяет такие задачи, которые решаются па основании зависимости между тремя величинами, характеризующими движение: скоростью, расстоянием и временем. Во всех случаях речь идет о равномерном прямолинейном движении.
Итак, движение, рассматриваемое в текстовых задачах, характеризуют три величины: пройденный путь (s), скорость ( v), время (t); основное отношение (зависимость) между ними: s = v ∙ t.
Рассмотрим особенности решения основных видов задач на движение.
Задачи на встречное движение двух тел
Пусть движение первого тела характеризуется величинами s ₁, v ₁, t ₁ , движение второго - s ₂, v ₂, t ₂, . Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис. 50):
Рис. 50
Если два объекта начинают движение одновременно навстречу друг другу, то каждое из них с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время, т.е. t ₁, = t ₂ = t вапр.
Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называется скоростью сближения, т.е. vсбл. = v ₁+ v ₂.
Все расстояние, пройденное движущимися телами при встречном движении, может быть подсчитано по формуле: s = vсбл. ∙ t вапр
Задача 1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого - 4 км/ч. Через сколько часов они встретились?
Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг
другу двух пешеходов. Один идет со скоростью 5 км/ч, а другой -
4 км/ч. Путь, который они должны пройти, 18 км. Требуется найти время, через которое
|
|
они встретятся, начав движение одновременно. Вспомогательные модели,
если они нужны, могут быть разными - схематический чертеж
(рис. 51) или таблица.
Поиск плана решения в данном случае удобно вести, рассуждая от данных к вопросу. Так как скорости пешеходов известны, можно найти их скорость сближения. Зная скорость сближения пешеходов и все расстояние, которое им надо пройти, можем найти время, через которое пешеходы встретятся. Запишем решение задачи по действиям:
1)5+ 4 = 9 (км/ч)
2) 18:9 = 2(ч) Таким образом, пешеходы встретятся через 2 ч от начала движения.
Задача 2. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 600 км, и через 5 ч встретились. Один их них ехал быстрее другого на 16 км/ч. Определите скорости автомобилей.
Решение. В задаче рассматривается движение навстречу друг другу двух автомобилей. Известно, что движение они начали одновременно и встретились через 5 часов. Скорости автомобилей различны один ехал быстрее другого на 16 км/ч. Путь, который проехали автомобили -600 км. Требуется определить скорости движения.
| s | v | t | |
| I II | 600 км | ? ? на 16 км/ч больше | 5 ч 5 ч |
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть различными: схематический чертеж (рис. 52) или таблица.
Поиск плана решения задачи будем вести, рассуждая от данных к вопросу. Так как известно все расстояние и время встречи, можно найти скорость сближения автомобилей. Затем, зная, что скорость одного на 16 км/ч больше скорости другого, можно найти скорости автомобилей. При этом можно воспользоваться вспомогательной моделью.
Запишем решение:
1) 600:5= 120 (км/ч) – скорость сближения автомобилей
2) 120 - 16 = 104 (км/ч) – скорость сближения, если бы скорость автомобилей была одинаковой
3) 104:2 =52 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
4) 52 + 16 = 68 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
Есть и другие арифметические способы решения данной задачи, вот два из них.
1) 600:5= 120 (км/ч) 1) 16-5 = 80 (км)
2) 120 + 16 = 136 (км/ч) 2) 600 - 80 = 520 (км)
3) 136:2 = 68 (км/ч) 3) 520:2 = 260 (км)
4) 68 -16 = 52 (км/ч) 4) 260:5 = 52 (км/ч)
5)52+ 16 = 68 (км/ч)
Дайте устные пояснения к выполненным действиям и попытайтесь найти другие способы решения данной задачи.
Задачи на движение двух тел в одном направлении
Среди них следует различать два типа задач:
1) движение начинается одновременно из разных пунктов;
2) движение начинается в разное время из одного пункта.
Рассмотрим случай, когда движение двух тел начинается одновременно в одном направлении из разных пунктов, лежащих на одной прямой. Пусть движение первого тела характеризуется величинами s ₁, v ₁, t ₁ , движение второго - s ₂, v ₂, t ₂, .
Такое движение можно представить на схематическом чертеже (рис 54):
Рис. 54
Если при движении в одном направлении первое тело догоняет второе, то v ₁ > v ₂. Кроме того, за единицу времени первый объект приближается к другому на расстояние
v ₁ - v ₂.. Это расстояние называют скоростью сближения: vсбл. = v ₁ - v ₂..
Расстояние s , представляющее длину отрезка АВ, находят по формулам:
s = s ₁ - s ₂ и s = vсбл . ∙ tвстр .
Задача 3. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость одного - 40 км/ч, другого - 50 км/ч. Через сколько часов второй мотоциклист догонит первого?
Решение. В задаче рассматривается движение двух мотоциклистов. Выехали они одновременно из разных пунктов, находящихся на расстоянии 30 км. Скорость одного 40 км/ч, другого - 50 км/ч. Требуется узнать, через сколько часов второй мотоциклист догонит первого.
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть разными: схематический чертеж или таблица.
Сравнение скоростей мотоциклистов говорит о том, что в течение часа первый мотоциклист приближается ко второму на 10 км Расстояние, которое ему надо пройти до встречи со вторым, на 30 км больше, чем расстояние, которое за такое же время пройдет второй мотоциклист. Поэтому первому потребуется столько времени, сколько раз 10 км укладываются в 30 км. Запишем решение задачи по действиям:
1) 50 - 40 = 10 (км/ч) - скорость сближения мотоциклистов
2) 30:10 = 3 (ч) - за это время первый мотоциклист догонит второго.
Наглядно этот процесс представлен на рисунке 56, где единичный отрезок изображает расстояние, равное 10 км.
40 км/ч
Задача 4. Всадник выезжает из пункта А и едет со скоростью 12 км/ч; в это же время из пункта В, отстоящего от А на 24 км, вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Оба движутся в одном направлении На каком расстоянии от В всадник догонит пешехода?
Решение. В задаче рассматривается движение в одном направлении всадника и пешехода. Движение началось одновременно из разных пунктов, расстояние между которыми 24 км, и с разной скоростью: у всадника - 12 км/ч, у пешехода - 4 км/ч. Требуется узнать расстояние от пункта, из которого вышел пешеход, до момента встречи всадника и пешехода.
Вспомогательные модели: схематический чертеж (рис. 57) или таблица.
| 24 км |
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти время, которое будет находиться в пути пешеход или всадник, - время их движения до встречи одинаковое. Как найти это время, подробно рассказано в предыдущей задаче. Поэтому, чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить следующие действия:
1) 12-4 = 8 (км/ч) - скорость сближения всадника и пешехода.
2) 24:8 = 3 (ч) - время, через которое всадник догонит пешехода
3) 4 ∙ 3 - 12 (км) - расстояние от В, на котором всадник догонит пешехода.
Задача 5. В 7 ч из Москвы со скоростью 60 км/ч вышел поезд. В 13 ч следующего дня в том же направлении вылетел самолет со скоростью 780 км/ч. Через какое время самолет догонит поезд?
Решение. В данной задаче рассматривается движение поезда и самолета в одном направлении из одного пункта, но начинается оно в разное время. Известны скорости поезда и самолета, а также время начала их движения. Требуется найти время, через которое самолет догонит поезд.
Из условия задачи следует, что к моменту вылета самолета поезд прошел определенное расстояние. И если его найти, то данная задача становится аналогичной задаче 3, рассмотренной выше.
Чтобы найти расстояние, которое прошел поезд до момента вылета самолета, надо подсчитать, сколько времени находился в пути поезд. Умножив время на скорость поезда, получим расстояние, пройденное поездом до момента вылета самолета. А дальше как в задаче 3.
1) 24 - 7 - 17 (ч) - столько времени был в пути поезд в тот день, когда он вышел из Москвы.
2) 17 + 13 = 30 (ч) - столько времени был в пути поезд до момента
вылета самолета.
3) 60 ∙ 30 - 1800 (км) - путь, пройденный поездом до момента вылета самолета.
4) 780 - 60 = 720 (км/ч) - скорость сближения самолета и поезда.
5) 1800:720 = 2—(ч)-время, через которое самолет догонит поезд.
Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях
В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки: а) одновременно; б) в разное время. А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.
Общим теоретическим положением для них будет следующее: vудал. = v ₁ + v ₂.. соответственно скорости первого и второго тел, а vудал. - это скорость удаления, т.е. расстояние, на которое удаляются друг от друга движущиеся тела за единицу времени.
Задача 6. Два поезда отошли одновременно от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут эти поезда через 3 часа после выхода?
Решение. В задаче рассматривается движение двух поездов. Они выходят одновременно от одной станции и идут в противоположных направлениях. Известны скорости поездов (60 км/ч и 70 км/ч) и время их движения (3 ч). Требуется найти расстояние, на котором они будут находиться друг от друга через указанное время.
Вспомогательные модели, если они нужны, могут быть такими: схематический чертеж или таблица.
Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояния, пройденные первым и вторым поездом за 3 ч, и полученные результаты сложить:
1)60 ∙ 3= 180 (км)
2) 70 ∙ 3 = 210 (км)
3) 180 + 210 = 390 (км)
Можно решить эту задачу другим способом, воспользовавшись понятием скорости удаления:
1) 60 + 70 = 130 (км/ч) - скорость удаления поездов
2) 130 ∙3 = 390 (км) - расстояние между поездами через 3 ч.
Задача 7. От станции Л отправился поезд со скоростью 60 км/ч
Через 2 ч с этой же станции в противоположном направлении вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между поездами через 3 ч после выхода второго поезда?
Решение. Эта задача отличается от задачи 6 тем, что движение поездов начинается в разное время. Вспомогательная модель задачи представлена на рис. 59. Решить ее можно двумя арифметическими способами.
60 км/ч 70 км/ч
|
|
| Рис, 59 |
1 способ
1) 2 + 3 = 5 (ч) - столько времени в пути был первый поезд.
2) 60 5 ∙ 300 (км) - расстояние, которое за 5 ч прошел этот поезд.
3) 70 ∙ 3 - 210 (км) - расстояние, которое прошел второй поезд.
4) 300 + 210 = 510 (км) - расстояние между поездами.
2 способ
1) 60 + 70 = 130 (км/ч) - скорость удаления поездов.
2) 130 ∙ 3 = 390 (км) расстояние, на которое удалились поезда за 3 ч.
3) 60 ∙ 2 = 120 (км) - расстояние, пройденное первым поездом за 2 ч.
4) 390 + 120 = 510 (км) - расстояние между поездами.
Задачи на движение по реке
При решении таких задач различают: собственную скорость движущегося тела, скорость течения реки, скорость движения тела по течению и скорость движения тела против течения. Зависимость между ними выражается формулами:
vпо теч. = vсбл. + vтеч.р.;
vпр. теч. = vсбл. – vтеч.р.
vсбл. = (vтеч.р + vпр. теч.) : 2.
Задача 8. Расстояние 360 км катер проходит за 15 ч, если двигается против течения реки, и за 12 ч, если двигается по течению. Сколько времени потребуется катеру, чтобы проплыть 135 км по озеру?
Решение. В данном случае удобно все данные, неизвестные и искомое, записать в таблицу.
| s | v | t | |
| по течению | 360 км | 7 | 12 ч |
| против течения | 360 км | 9 | 15 ч |
| по реке | 135 км | ? | 9 |
Таблица подсказывает последовательность действий: найти сначала скорость движения катера по течению и против течения, затем, используя формулы, - собственную скорость катера и, наконец, время, за которое он проплывет 135 км по озеру:
1) 360:12 = 30 (км/ч) - скорость катера по течению реки.
2) 360:15 — 24 (км/ч) - скорость катера против течения реки.
3) 24 + 30 - 54 (км/ч) - удвоенная собственная скорость катера.
4) 54:2 = 27 (км/ч) - собственная скорость катера
5) 135: 27 = 5 (ч) - время, за которое проплывет катер 135 км.
Р е ш е н и е з а д а ч, с в я з а н н ы х с р а з л и ч н ы м и
п р о ц е с с а м и (работа, наполнение бассейнов и др.)
Задача 9. Двум рабочим дано задание изготовить 120 деталей. Один рабочий зготавливает 7 деталей в час, а другой - 5 деталей в час. За сколько часов рабочие выполнят задание, работая вместе?
Решение. В задаче рассматривается процесс выполнения двумя рабочими задания по изготовлению 120 деталей. Известно, что одни рабочий делает в час 7 деталей, а другой - 5. Требуется узнать время, за которое рабочие сделают 120 деталей, работая вместе. Чтобы найти ответ на это требование, надо знать, что процесс, о котором идет речь в задаче, характеризуется тремя величинами:
- общим количеством произведенных деталей это результат процесса; обозначим его буквой К;
- количеством изготовленных деталей за единицу времени (это производительность труда или скорость протекания процесса); обозначим его буквой к;
- временем выполнения задания (это время протекания процесса), обозначим его буквой t.
Зависимость между данными величинами выражается формулой К=к t.
Чтобы найти ответ на вопрос задачи, т.е. время t надо найти количество деталей, изготавливаемых рабочими за 1 ч при совместной работе, а затем разделить 120 деталей на полученную производительность. Таким образом, будем иметь: к = 7 + 5 = 12 (деталей в час):,
T = 120:12= 10 (ч).
Задача 10. В одном резервуаре 380 м3 воды, а в другом - 1500 м 3. В первый резервуар каждый час поступает 80 м3 воды, а из второго каждый час выкачивают по 60 м3 воды. Через сколько часов в резервуарах воды станет поровну?
|
|
Решение. В данной задаче рассматривается процесс заполнения водой одного резервуара и выкачивания воды из другого. Этот процесс характеризуется следующими величинами:
- объемом воды в резервуарах; обозначим его буквой V;
- скоростью поступления (накачивания) воды; об о з н а ч и м его б у к в о й v;
- временем протекания процесса; обозначим его буквой t
380 м3 1500 м3
Зависимость между названными величинами выражается формулой V = v ∙ t
Процесс, описанный в данной задаче, аналогичен движению двух объектов навстречу друг другу. Это можно наглядно представить, построив вспомогательную модель (рис. 60).
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти скорость «сближения» уровней воды в резервуарах и объем воды, при котором происходит выравнивание этих уровней, а затем разделить этот объем на скорость «сближения». Запишем решение задачи по действиям:
1)80 + 60 = 140 (мЗ);
2) 1500 – 380 = 1120 (м3):
3) 1120:140 = 8(ч).
Чтобы убедиться в правильности полученного ответа, выполним проверку.
За 8 ч в первый резервуар поступит 640 м3 (80 ∙ 8 = 640), а из второго выкачают
480 м3 (60 ∙ 8 = 480). Тогда в первом воды будет 1020 м3 (380 + 640 = 1020), и во втором - столько же (1500 - 480 = 1020), что удовлетворяет условию задачи.
Упражнения
1. С противоположных концов катка длиной 180 м бегут навстречу друг другу два мальчика. Через сколько секунд они встретятся, если начнут бег одновременно и если один пробегает 9 м в секунду, а другой 6 м в секунду?
Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих выражений:
а)9 + 6; 6)180:9; в) 180:6; г) 180:(9 + 6).
Какое из этих выражений является решающей моделью данной задачи?
2. Запишите решение задачи в виде выражения:
а) Самолет пролетел за 2 ч а км. Сколько километров он пролетит за 5 ч?
б) Из двух городов, расстояние между которыми 9 км, одновременно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовик и встретились через / ч. Скорость легкового автомобиля у км/ч. Найдите скорость грузовика.
в) Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и мотоцикл и встретились через t ч. Найдите расстояние между городами, если скорость автомобиля v ₁ км/ч, а скорость мотоцикла v ₂ км/ч.
3. Два пассажира метро, начавшие одновременно один спуск, а другой подъем на движущихся лестницах метро, поравнялись через 30 с. Вычислите длину лестницы, если скорость ее движения 1 м/с.
Решите задачу двумя арифметическими способами.
4. Расстояние между городами А и В 520 км. В 8 ч из А в В выехал автобус со скоростью 56 км/ч, а в 11 ч того же дня из В в А выехал грузовой автомобиль со скоростью 32 км/ч. На каком расстоянии от А встретятся машины?
Решение задачи запишите по действиям и в виде выражения.
5. Из двух городов, расстояние между которыми 960 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 8 ч после выхода. Найдите скорость каждого поезда, если один проходил в час на 16 км больше другого.
Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих выражений:
а) 16∙8; д) (960-16∙8):2:8 + 16;
б) 960-16∙8; е) (960 -16∙8):8;
в) (960 -16∙8):2; ж) (960 -16∙8):8:2.
г) (960-16∙ 8):2:8;
Запишите решение данной задачи по действиям. Дайте пояснения к каждому действию такого решения данной задачи:
1)960:8= 120 (км/ч);
2) 120 -16= 104 (км/ч);
3) 104:2 = 52 (км/ч);
4) 52 +16 = 68 (км/ч).
6. Решите нижеприведенные задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям с пояснениями.
а) Из А в В выехал мотоциклист, проезжавший в час 48 км. Через 45 мин из В в А выехал другой мотоциклист, скорость которого была 50 км/ч. Зная, что расстояние АВ равно 330 км, найдите, на каком расстоянии от В мотоциклисты встретятся.
б) Из двух городов, расстояние между которыми 484 км, выехали одновременно навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Через 4 ч расстояние между ними оказалось 292 км. Определите скорость велосипедиста и мотоциклиста, если скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста.
7. Установите, достаточно ли данных для ответа на требование за дачи:
а) Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, вышли одно временно навстречу друг другу два пешехода и встретились. Скорость одного пешехода 4 км/ч. С какой скоростью шел другой пешеход?
б) Расстояние между станциями 780 км. Одновременно навстречу друг другу с этих станций вышли два поезда и через 6 ч встретились. Найдите скорость каждого поезда, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого.
В случае если нельзя ответить на требование задачи, дополните ее условие недостающими данными и решите задачу.
8. Есть ли среди нижеприведенных задачи с лишними данными:
а) Расстояние между плотом и катером, которые движутся по реке навстречу друг другу, 52 км. Скорость плота 4 км/ч, а скорость катера 9 км/ч. Как изменится расстояние между ними через час?
б) Почтальон живет на расстоянии 24 км от почтового отделения. Путь от дома до почты он проехал за 3 ч на велосипеде со скоростью 8 км/ч, а обратный путь по той же дороге он проехал со скоростью 6 км/ч. На какой путь почтальон потратил меньше времени и на сколько часов?
В случае если в задаче есть лишние данные, то исключите их и решите получившуюся задачу.
9. Два теплохода отправились одновременно от пристани в одном и том же направлении. Скорость одного теплохода 25 км/ч, другого - 20 км/ч. Первый пришел к конечной остановке на 4 ч раньше, чем второй. Найдите расстояние между пристанью и конечной остановкой.
Постройте вспомогательную модель задачи, используя таблицу.
Объясните, используя условие данной задачи, смысл следующих выражений:
а) 20∙4; 6) 25-20; в) (20∙4):(25 - 20).
Есть ли среди этих выражений решающая модель задачи? Запишите решение задачи в виде выражения и найдите его значение. Выполните проверку, решив задачу алгебраическим методом.
10. Решите следующие задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям и выполните проверку:
а) Из двух городов, расстояние между которыми 260 км, одновременно выехали два поезда в одном направлении. Скорость шедшего впереди поезда 50 км/ч, а второго - 70 км/ч. Через какое время один поезд догонит другой?
б) Из пункта А выехал автобус со скоростью 40 км/ч и через 12 мин нагнал пешехода, который вышел из пункта В одновременно с началом движения автобуса из пункта А. Скорость пешехода 5 км/ч. Каково расстояние между пунктами А и В?
в) Скорость одного конькобежца на 2 м/с больше скорости другого. Если второй начнет движение на 20 с раньше первого, то первый, стартуя с того же места, что и второй, догонит его через 80 с. Определите скорости спортсменов. Два самолета вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. Кто из них долетит до места назначения быстрее, если первому из них нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в два раза быстрее, чем второй?
11. Два самолета вылетели одновременно из одного города в два различных пункта. Кто из них долетит до места назначения быстрее, если первому из них нужно пролететь вдвое большее расстояние, но зато он летит в два раза быстрее, чем второй?
12. Решите задачи арифметическим методом, установив предварительно, о каких процессах в них идет речь, какие величины рассматриваются и в каких зависимостях они находятся:
а) Длина прямоугольного поля 1536 м, а ширина 625 м. Один тракторист может вспахать это поле за 16 дней, а другой за 12 дней. Какую площадь вспашут оба тракториста, работая вместе в течение 5 дней?
б) В мастерской было два куска ткани: один длиной 104 м, другой - 84 м. Из всей ткани сшили одинаковые платья, причем из первого куска получилось на 5 платьев больше, чем из второго. Сколько всего платьев сшили из этой ткани ?
в) Один экскаватор вынимает на 60 м3 в час больше земли, чем другой. Оба экскаватора вынули вместе 10320 м3 земли, причем первый работал 20 ч, а второй -18 ч. С какой производительностью работал каждый экскаватор?
г) Два человека чистили картофель. Один очищал в минуту 2 картофелины, а второй -- 3 картофелины. Вместе они очистили 400 штук. Сколько времени работал каждый, если второй проработал на 25 мин больше первого?
д) Бассейн вмещает 2700 м3 воды и наполняется тремя трубами. Первая и вторая трубы вместе могут наполнить бассейн за 12 ч, а первая и третья наполняют его вместе за 15 ч. За сколько часов каждая труба в отдельности наполняет бассейн, если третья труба действует
вдвое медленнее второй?
13. От двух пристаней, расстояние между которыми по реке 640 км, вышли одновременно навстречу друг другу два теплохода. Собственная скорость теплоходов одинакова. Скорость течения реки 2 км/ч. Теплоход, идущий по течению, за 9 ч проходит 198 км. Через сколько
часов теплоходы встретятся?
Объясните, используя условия данной задачи, смысл следующих выражений:
а) 198:9 г) 198:9 + (198:9 - 4)
б) 198:9-2 д) 640:(198:9 + (198:9 - 4))
в) 198:9-2-2
Есть ли среди этих выражений решающая модель данной задачи? Запишите решение данной задачи по действиям с пояснениями и выполните проверку.
14. Решите следующие задачи арифметическим методом; решение запишите по действиям с пояснением:
а) На путь по течению реки моторная лодка затратила 6 ч, а на обратный путь - 10 ч. Скорость лодки в стоячей воде 16 км/ч. Какова скорость течения реки?
б) Собственная скорость моторной лодки в 8 раз больше скорости течения реки. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки, если, двигаясь по течению, лодка за 4 ч проплыла 108 км.
в) На школьных соревнованиях по плаванию один ученик проплыл некоторое расстояние по течению реки за 24 с и то же расстояние против течения за 40 с. Определите собственную скорость пловца, считая ее постоянной от начала и до конца заплыва, если скорость течения реки равна 0,25 м/с.
15. Есть ли среди следующих задач задачи с недостающими или избыточными данными:
а) Турист проехал поездом и на лошади 288 км, причем на лошади он проехал 48 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади, если скорость поезда 60 км/ч?
б) Турист проехал поездом и на лошади 288 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади?
в) Турист проехал поездом и на лошади 288 км. Поездом он ехал 4 ч, а на лошади - 3 ч. С какой скоростью ехал турист на лошади, если
поезд шел со скоростью 60 км/ч?
Основные выводы.
Установили, что любая текстовая задача состоит из взаимосвязанных условий и требований.
Основными методами решения таких задач являются арифметический и алгебраический, а процесс решения задачи включает следующие основные этапы:
1) анализ; 2) поиск плана решения; 3) осуществление плана решения; 4) проверка найденного решения.
Рассмотрены некоторые приемы выполнения этих этапов. Главный прием – это моделирование. Прежде всего, решить текстовую задачу – это значит построить ее математическую модель (выражение или уравнение). Но чтобы облегчить поиск математической модели, нужны модели вспомогательные. Они могут быть графическими (рисунок, условный рисунок, чертеж, схематический чертеж), знаковыми (краткая запись, таблица) и др.
§6. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЕ
Дата: 2019-02-02, просмотров: 1058.
