Рассматривая процесс решения текстовой задачи, мы неоднократно использовали термин «модель», «моделирование». Это не случайно. Во всех науках модели выступают как мощное орудие познания.  Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны,  что лучшим способом их изучения часто является построение и иссле­дование модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому более простую, чем эта реальность.

Ранее мы установили, что текстовая задача - это словесная модель некоторого явления (ситуации, процесса). Чтобы решить такую задачу, надо перевести ее на язык математических действий, т.е. построить ее математическую модель.

Вообще, математическая модель - это описание какого-либо ре­ального процесса на математическом языке.

Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим методом, и уравнение (либо система уравнений), если задача решается алгебраическим методом.

В процессе решения задачи четко выделяются три этапа математического моделирования:

I этап - это перевод условий задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и ма­тематическими способами описываются связи между ними;

II     этап – внутримодельное  решение (т.е. нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнения);

III    этап - интерпретация, т.е. перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

Проиллюстрируем сказанное на примере решения алгебраиче­ским методом следующей задачи: «В одном вагоне электропоезда было пассажиров в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого вагона вышли 3 человека, а во второй вагон вошли 7 человек, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров бы­ло в каждом вагоне первоначально?»

Обозначим через х первоначальное число пассажиров во втором вагоне. Тогда число пассажиров в первом вагоне – 2х. Когда из пер­вого вагона вышли 3 человека, в нем осталось 2х - 3 пассажира. Во второй вагон вошли 7 человек, значит, в нем стало х + 7 пассажиров. Так как в обоих вагонах пассажиров стало поровну, то можно запи­сать, что 2х - 3 = х + 7. Получили уравнение - это математическая модель данной задачи.

Следующий этап - решение полученного уравнения вне зависимости от того, что в нем обозначает переменная х: переносим в левую часть члены уравнения, содержащие х, а в правую - не содержащие х, причем у переносимых членов знаки меняем на противоположные: 2х – х  = 7 + 3. Приводим подобные члены и получаем, что х = 10.

Последний, третий этап - используем полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи: во втором вагоне было первоначально 10 человек, а в первом -  20 (10-2 = 20).

Наибольшую сложность в процессе решения текстовой задачи пред­ставляет перевод текста с естественного языка на математический, т.е. I этап математического моделирования. Чтобы облегчить эту процеду­ру, строят вспомогательные модели - схемы, таблицы и др. Тогда про­цесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной моде­ли к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки и т.д.); от нее - к математической, на которой и происходит решение задачи.

Такой подход к процессу решения задачи разделяют и психологи. Они считают, что процесс решения задачи есть сложный процесс поиска системы моделей и определенной последовательности перехода от од­ного уровня моделирования к другому, более обобщенному, что реше­ние задачи человеком есть процесс ее переформулирования. При этом используется такая операция мышления, как анализ через синтез, когда объект в процессе мышления включается во все новые связи и в силу этого выступает во все новых качествах. Главным средством перефор­мулирования является моделирование.

Прием моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта (в нашем случае текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его по­мощью решают исследовательские задачи, а затем результат перено­сят на первоначальный объект.

Модели бывают разные, и поскольку в литературе нет единообра­зия в их названиях, уточним терминологию, которую будем использо­вать в дальнейшем.

Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для их построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещест­венные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т.д.), они могут быть представлены разного рода инсце­нировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мыс­ленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обоб­щенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графи­ческим следует отнести следующие виды моделей:

1)  рисунок;

2)  условный рисунок;

3)  чертеж;

4)  схематичный чертеж (или просто схема).

Разъясним суть этих моделей на примере задачи: «Лида нарисо­вала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нари­совал Вова?»

Рисунок в качестве графической модели этой задачи имеет вид (рис. 40).

Чертеж как графическая модель выполняется при помощи чертеж­ах инструментов с соблюдением заданных отношений (рис. 42).

Схематический чертеж (схема) может выполняться от руки, на нем указываются все данные и искомые (рис. 43).

Рис. 43

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы. Например, краткая запись задачи о домиках Лиды и Вовы может быть такой:

Л. - 4 д.       

В. - ?, на 3 д. больше, чем Л.

Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями. Пример такой таблицы см. на с. 113.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математи­ческом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения задачи по действиям. Поскольку на этих моделях про­исходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и злаковые, выполненные на естест­венном языке, - это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели.

Не следует думать, что всякая краткая запись или чертеж, выпол­ненные для данной задачи, являются ее моделями. Так как модель – это своеобразная копия задачи, то на ней должны быть представлены все ее объекты, все отношения между ними, указаны требования.

Для большинства текстовых задач приходится строить различные вспомогательные модели. С одной стороны, эти модели представляют собой результат анализа задачи, но с другой - построение таких мо­делей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.

Рассмотрим процесс решения арифметическим методом текстовой задачи о пассажирах в двух вагонах.

Предварительный анализ задачи позволяет выделить ее объекты - это пассажиры в двух вагонах поезда. О них известно, что:

1)  В первом вагоне в 2 раза больше пассажиров, чем во втором.

2)  Из первого вагона вышли 3 пассажира.

3)  Во второй вошли 7 пассажиров.

4)  В первом и втором вагонах пассажиров стало поровну.
В задаче два требования:

1)      Сколько пассажиров было первоначально в первом вагоне?

2)      Сколько пассажиров было первоначально во втором вагоне?
Построим графическую модель данной задачи в виде схематиче­ского чертежа (рис. 44).

 По схеме сразу видно, что  математическая модель данной задачи имеет вид:

7 + 3 - это число пассажиров во II вагоне, а

(7 + 3)×2 - это число пассажиров в 1 вагоне.

  Произведя вычисления, полу­чаем ответ на вопрос      задачи: во II вагоне было 10 пассажиров, а в I - 20 пассажиров.

Упражнения

1. Используя материал данного параграфа, заполните следующую таблицу при условии, что решение задачи (РЗ) выполняется арифме­тическим методом,

2.       Выполните анализ нижеприведенных задач, используя различ­ные приемы:

а)      Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в
линейку, причем их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку.

Сколько всего тетрадей купил ученик?

б)      В трех классах всего 83 учащихся. В первом классе на 4 ученика
больше, чем во втором, и на 3 меньше, чем в третьем. Сколько учеников в каждом классе?

в)      Мальчики полили 8 яблонь и 4 сливы, принеся 140 ведер воды. Сколько ведер воды вылили под яблони, а сколько под сливы, если на
полив одной яблони уходит воды в 3 раза больше, чем на полив одной сливы.

3. Выполните поиск плана решения арифметическим методом за­дачи а) из упражнения 2 по модели, а поиск плана решения задачи в)
по тексту.

4.  Запишите решение задачи из упражнения 2 по действиям с пояснением.

5. Какие из задач упражнения 2 вы можете решить различными
арифметическими способами?

6. Каким образом можно проверить правильность найденного результата для задачи а) из упражнения 2?

7. Решите арифметическим методом задачи, выделяя этапы решения и приемы их выполнения:

а)      Ручка в два раза дороже карандаша, а резинка в три раза дешевле карандаша. Ручка, карандаш и резинка стоят вместе 4000 р. Сколько стоит резинка?

б)      Сын на 24 года младше мамы, а папа на 3 года старше мамы.
Сколько лет папе, если сыну 10 лет?

в)      Один кусок проволоки на 54 м длиннее другого. После того как от
каждого из кусков отрезали по 12 м, второй кусок оказался в 4 раза короче первого. Найдите первоначальную длину каждого куска проволок!)..

8.      Дана задача: «Два велосипедиста одновременно выехали навстре­чу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км.
Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста.
если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше другого»

Сравните разные способы ее решения.

1 способ                                  2 способ

1)76:2 = 38 (км/ч)               1)3∙2 = 6 (км)

2) 38 - 3 = 35 (км/ч) 2) 76 - 6 = 70 (км)

3) 35:2 = 17,5 (км/ч) 3) 70:2 = 35 (км)

4) 17,5 + 3 = 20,5 (км/ч)  4) 35:2. = 17,5 (км/ч)

                                                     5)17,5 +3 = 20,5 (км/ч)

При каком способе рассуждения проще?