Решение любой задачи процесс сложной умственной деятельно­сти. Чтобы овладеть им, надо знать основные лапы решения задачи и некоторые приемы их выполнения.

Деятельность по решению задачи арифметическим методом вклю­чает следующие основные этапы:

1.  Анализ задачи.

2.  Поиск плана решения задачи.

3.  Осуществление плана решения задачи.

4.  Проверка решения задачи.

В реальном процессе решения задачи названные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Все зависит от уровня знаний и умений решающего. Например, если после про­чтения задачи вы обнаружили, что она известного вам вида и вы знае­те, как ее решать, то, конечно, поиск плана не вычленяется в отдель­ный этап. Однако полное, логически завершенное решение обязатель­но содержит все указанные этапы, а знание приемов их выполнения делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправлен­ным, а значит, и более успешным.

1. Анализ задачи

Основное назначение этого этапа - понять в целом ситуацию, опи­санную в задаче; выделить условия и требования: назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними.

Производя анализ задачи, вычленяя ее условия, мы должны соотносить этот анализ с требованиями задачи, Другими словами, анализ за дачи всегда направлен на ее требования.

Известно несколько приемов, которые можно использовать при анализе задачи.

Разобраться в содержании задачи, вычленить условия и требова­ния можно, если задать специальные вопросы и ответить на них:

О чем задача, т.е. о каком процессе (явлении, ситуации) идет речь в задаче, какими величинами характеризуется этот процесс?

Что требуется найти в задаче?

Что обозначают те или иные слова в тексте задачи:

Что в задаче известно о названных величинах?

Что неизвестно?

Что является искомым?

Рассмотрим, например, задачу: «По дороге в одном и том же на­правлении идут два мальчика. Вначале расстояние между ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а ско­рость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. С начала движения и до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за все это время собака?»

Воспользуемся указанным приемом

1)      О чем эта задача?

- Задача о движении двух мальчиков и собаки. Оно характеризуется для каждого из участников движения скоростью, временем и пройденным расстоянием.

2)      Что требуется найти в задаче?

- В задаче требуется найти расстояние, которое пробежит собака
за все время от начала движения, пока мальчики не окажутся рядом,
т.е. второй не догонит первого.

3)      Что в задаче известно о движении каждого из его участников⁹

- В задаче известно, что: а) мальчики идут в одном направлении;

б)      до начала движения расстояние между мальчиками было 2 км;

в)      скорость первого мальчика, идущего впереди. 4 км/ч; г) скорость
второго мальчика, идущею позади, 5 км/ч: д) скорость, с которой бежит
собака, 8 км/ч; е) время движения, когда расстояние между мальчиками
было 2 км, до момента встречи.

4)      Что в задаче неизвестно?

- В задаче неизвестно время, за которое второй мальчик догонит
первого, т.е. неизвестно время движения всех его участников. Неизвестно
также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое пробежала собаки, это требуется узнать в задаче.

5)      Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?

Искомым является значение величины расстояния, которое про­бежала собака за время от начала движения мальчиков до момента встречи

Большую помощь в осмыслении задачи оказывает другой прием - перефразировка текста задачи. Он заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все от­ношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Это достигается в результате отбрасывания несуще­ственной, излишней информации, замены описания некоторых по­нятий соответствующими терминами и. наоборот, замены некото­рых терминов описанием содержания соответствующих понятий; преобразование текста задачи в форму, удобную для поиска плана решения.

Особенно эффективно использование данного приема в сочетании с разбиением текста на смысловые части.

Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций.

Поскольку в задаче, рассмотренной выше, речь идет о движении, ее можно перефразировать следующим образом:

«Скорость одного мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч (это первая часть). Расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая часть). Время движения мальчиков - это время, в течение которого второй мальчик догонит первого, т.е. в течение которого второй мальчик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость, с которой бежит собака, 8 км/ч. Время движе­ния собаки равно времени движения мальчиков до встречи (четвертая часть). Требуется определить расстояние, которое пробежала собака».

Перефразированный текст часто бывает полезно записать в таблице.

Например, рассматриваемую задачу можно записать с помощью таблицы такого вида:

Построением схематического чертежа может быть завершен анализ задачи о массе шерсти, израсходованной на шапку, шарф и свитер. Для этого условимся массу шерсти, израсходованной на шапку, изо­бразить в виде отрезка произвольной длины. Тогда массу шерсти, из расходованной на шарф и свитер, можно изобразить так, как показа­но на рисунке 39.

1200 г

Рис. 39

И таблица, и схематический чертеж являются вспомогательными мо­делями задачи. Они служат формой фиксации анализа текстовой задачи и являются основным средством поиска плана ее решения.

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

1) все ли объекты задачи и их величины показаны на модели;

2) все ли отношения между ними отражены;

3) все ли числовые данные приведены;

4) есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое?

2. Поиск и составление плана решения задачи

Назначение этого этапа: установить связь между данными и иско­мыми объектами, наметить последовательность действий.

План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

Как искать план решения текстовой задачи? Односложного ответа на этот вопрос нет. Поиск плана решения задачи является трудным процессом, который точно не определен. Можно только указать неко­торые приемы, которые позволят осуществлять этот этап. Одним из наиболее известных приемов поиска плана решения задачи арифме­тическим способом является разбор задачи по тексту или по ее вспо­могательной модели.

Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов.

При разборе задачи от данных к вопросу решающий выделяет в тексте задачи два данных и на основе знания связи между ними (такие знания должны быть получены при анализе задачи) определить, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это неизвестное данным, решающий вновь выделяет два взаимосвязанных данных, определяет неизвестное, которое может быть найдено по ним и с помощью какого действия и т.д., пока не будет выяснено, какое действие приводит к получению искомого в задаче объекта. Проведем такой разбор по тексту задачи:

«На поезде, который шел со скоростью 56 км/ч, турист проехал 6 ч. (осле этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем проехал. Каков весь путь туриста?»

Рассуждения ведем от данных к вопросу: известно, что 6 ч турист проехал на поезде, который шел со скоростью 56 км/ч; по этим данным можно узнать расстояние, которое проехал турист за 6 ч, для этого достаточно скорость умножить на время. Зная пройденную часть рас­стояния и то, что оставшееся расстояние в 4 раза больше, можно найти, ему оно равно. Для этого пройденное расстояние нужно умножить на 4 (увеличить в 4 раза). Зная, сколько километров турист проехал и сколько ему осталось ехать, можем найти весь путь, выполнив сложение най­денных отрезков пути. Итак, первым действием будем находить расстояние, которое турист проехал на поезде; вторым действием расстояние, которое ему осталось проехать; третьим - весь путь.

При разборе задачи от вопроса к данным нужно обратить внима­ние на вопрос задачи и установить (на основе информации, полученной при анализе задачи), что достаточно узнать для ответа на этот вопрос. Для чего нужно обратиться к условиям и выяснить, есть ли для этого необходимые данные. Если таких данных нет или есть только одно данное, то установить, что нужно знать, чтобы найти недостающее данное (недостающие данные), и т.д. Потом составляется план решения задачи.  Рассуждения при этом проводятся в обратном порядке.

Проведем такой разбор той же задачи о движении туриста, строя цепочку рассуждений от вопроса к данным: «В задаче требуется узнать весь путь туриста. Мы установили, что путь состоит из двух частей. значит, для выполнения требования задачи достаточно знать, сколько километров турист проехал и сколько километров ему осталось про­ехать. И то, и другое неизвестно. Чтобы найти пройденный путь, достаточно знать время и скорость, с которой ехал турист. Это в задаче неизвестно. Умножив скорость на время, узнаем путь, который турист проехал. Оставшийся путь можно найти, увеличив пройденный путь в 4 раза (умножив на 4). Итак, вначале можно узнать пройденный путь, затем оставшийся, после чего сложением найти весь путь».

Поиск плана решения задачи может проводиться по вспомогательной модели, выполненной при анализе задачи.

Покажем, как можно осуществить поиск плана решения задачи о массе шерсти, израсходованной на шарф, шапку и свитер, по схематическому чертежу (рис. 39).

По чертежу видно, на сколько больше израсходовали на свитер, чем, например, на шарф; если из всей массы шерсти вычесть 400 г, то мы узнаем, сколько бы всего израсходовали шерсти, если бы на свитер израсходовали столько же, сколько на шарф. Далее, если к этой массе шерсти прибавить 100 г, то мы узнаем, сколько бы всего израсходова­ли шерсти, если бы на шапку израсходовали столько же, сколько на шарф. Разделив полученное число на 3, найдем массу шерсти, израс­ходованную на шарф. Вычтя из полученного результата 100 г, а затем прибавив к нему 400 г, найдем массу шерсти, использованную на шапку и на свитер.

Заметим, что поиск плана решения данной задачи по схематиче­скому чертежу может быть проведен иначе (сделайте это самостоя­тельно), - в результате мы получим различные арифметические способы ее решения.

3. Осуществление плана решения задачи

Назначение данного этапа найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решаемых арифметическим способом, исполь­зуются следующие приемы:

- запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами);

- запись в виде выражения.

Приведем примеры различных записей плана решения задачи: «На поезде, скорость которого 56 км/ч, турист проехал 6 ч. После этого ему осталось проехать в 4 раза больше, чем он проехал. Каков весь путь туриста?»

1.     Запись решения по действиям с пояснением к каждому выполненному действию.

1)  56 ∙ 6 = 336 (км) - турист проехал за 6 ч

2)  336 ∙ 4 = 1344 (км) - осталось проехать туристу

3)  336 + 1344 = 1680 (км) - должен был проехать турист.

Если пояснения даются в устной форме (или совсем не даются), то запись будет следующей: 1)56 ∙ 6 = 336 (км)  2)336 ∙ 4= 1344 (км)     3)336+ 1344= 1680 (км)

2.     Запись решения по действиям с вопросами:

1) Сколько километров проехал турист на поезде?
56 ∙ 6 = 336 (км)

2) Сколько километров осталось проехать туристу?
336∙ 4= 1344 (км)

3) Сколько километров турист должен был проехать?
336 + 1344 = 1680(км)

3.     Запись решения в виде выражения.

Запись решения в этой форме осуществляется поэтапно. Сначала записываются отдельные шаги в соответствии с планом, затем со­ставляется выражение и находится его значение. Так как обычно это значение записывают, поставив после числового выражения знак равенства, то запись становится числовым равенством, в левой час­ти которого - выражение, составленное по условию задачи, а в пра­вой -- его значение, оно-то и позволяет сделать вывод о выполнении требований задачи.

Так, для рассматриваемой задачи эта форма записи имеет вид:

56 • 6 (км) - расстояние, которое проехал турист на поезде за 6 ч

56•6•4 (км) - расстояние, которое осталось проехать туристу

56•6 + 56•6•4  (км) - путь, который должен проехать турист

56•6 + 56•6•4  = 1680 (км)

Пояснения к действиям можно не записывать, а давать их в устной форме. Тогда запись решения задачи примет вид: 56•6 + 56•6•4  = 1680 (км)

Проверка решения задачи

Назначение данного этапа — установить правильность или оши­бочность выполненного решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача. Рассмотрим основные.

1. Установление соответствия между результатом и условиями за­дачи.

Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на ос­нове рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом проти­воречия.

Проверим, используя данный прием, правильность решения задачи о движении туриста.

Мы установили, что турист должен был всего проехать 1680 км. Пусть теперь этот результат будет одним из данных задачи. Далее, как известно, за 6 ч турист проедет 336 км (56× 6 = 336) и ему останется проехать 1680 - 336 = 1344 (км). Согласно условию задачи это рас­стояние должно быть в 4 раза больше того, которое турист проехал на поезде за 6 ч. Проверим это, разделив 1344 на 336. Действительно, 1344:336 = 4. Следовательно, если найденный результат подставить в условие задачи, то противоречий с другими данными, а именно отношением «быть больше в 4 раза», не возникает. Значит, задача решена  верно.

Заметим, что при использовании данного приема проверяются все отношения, имеющиеся в задаче, и если устанавливается, что противо­речия не возникает, то делают вывод о том, что задача  решена верно.

2. Решение задачи другим способом.

Пусть при решении задачи каким-то способом получен некоторый результат. Если ее решение другим способом приводит к тому же ре­зультату, то можно сделать вывод о том, что задача была  решена верно.

Заметим, что если задача решена первоначально арифметическим способом, то правильность ее решения можно проверить, решив зада­чу алгебраическим методом.

Не следует также думать, что без проверки нет решения текстовой задачи. Правильность решения  обеспечивается прежде всего четкими и логичными рассуждениями на всех других этапах работы над задачей.