(ВЫБОРОК БОЛЬШОГО ОБЬЕМА)

Первым шагом при обработке выборок большого объема яв­ляется построение по исправленным результатам измерений , где i = 1, 2,..., , вариационного ряда (упорядоченной выборки). В вариационном ряду результаты измерений (или их отклонения от среднего арифмети­ческого) располагают в порядке возрастания от до . Далее этот ряд раз­бивается на оптимальное число , как правило, одинаковых интервалов группирования длиной  = ( ) / .

Оптимальное число интервалов группирования рассчитывается из выражения = 0,55 ^0,4 и = 1,25 ^0,4, которые получены для наиболее часто встречающихся на практике распределении с эксцессом, на­ходящимся в пределах от 1,8 до 6, т.е. от равномерного до распре­деления Лапласа.

Искомое значение должно находится в пределах от _min до _max, быть нечетным, так как при четном m в островершинном или двухмодальном симметричном распределении в центре гисто­граммы оказываются два равных по высоте столбца и середина кривой распределения искусственно уплощается. В случае, если гистограмма распределения явно двухмодальная, число столбцов может быть увеличено в 1,5-2 раза, чтобы на каждый из двух максимумов приходилось примерно по m интервалов. Полученное значение длины интервала группирования  всегда округляют в большую сторону, иначе последняя точка окажется за пределами крайнего интервала.

Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде D₁= ( , + ); D₂= ( + , +2 );....; D_m= ( - ; ), и подсчитывают число попаданий  (частоты) результатов измере­ний в каждый интервал группирования. Сумма частот должна равняться объему выборки . По полученным значениям рассчиты­вают вероятности попадания результатов измерений ( -относительные частоты или частости) в каждый из интервалов группирования по формуле:

,

где - объем выборки.

Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, по­лигон и кумулятивную кривую. Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений Х откладываются интерва­лы D_k в порядке возрастания номеров и на каждом интервале стро­ится прямоугольник высотой / (плотность относительной частоты). При увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины гистограмма все более при­ближается к гладкой кривой — графику плотности распределения вероятности. Следует отметить, что в ряде случаев производят рас­четное симметрирование гистограммы.

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы. Он более наглядно, чем гистограмма, отражает форму кривой распределения. За пределами гистограммы справа и слева остаются пустые интервалы, в которых точки, соответствующие их серединам, лежат на оси абсцисс.

Эти точки при построении полигона соединяют между собой отрезками прямых линий. В результате совместно с осью Х образу­ется замкнутая фигура, площадь которой в соответствии с прави­лом нормирования должна быть равна единице (или числу на­блюдений при исполь­зовании частостей).

Далее определяются характеристики выборки СКО по формулам:

; ;

             ; ,

где - «ложный нуль», используемый для упрощения расчетов, принимается равным среднему значению интервала, имеющего максимальную частоту.

 Идентификация закона распределения результатов измерений

При числе наблюдений n > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона (хи-квадрат) или кри­терий Мизеса-Смирнова (w₂). При 50 > n > 15 для проверки нормаль­ности закона распределения применяется составной критерий (d-критерий), приведенный в ГОСТ 8.207-76.

При n<15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

Закон нормального распределения имеет фундаментальное значение для теории обработки результатов измерений. Центральная предельная теорема утверждает, что закон распределения суммарной погрешности измерений бли­зок к нормальному (усеченному) распределению всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под влиянием большого числа независимо дейст­вующих случайных составляющих, каждая из которых оказывает лишь незна­чительное действие по сравнению с суммарной погрешностью. Кроме того, нормальный закон позволяет вести расчеты даже тогда, когда действительный закон неизвестен, потому что нормальный закон дает чаще увеличенный, чем уменьшенный доверительный интервал.

 Наибольшее распространение в практике получил критерий Пир­сона. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограм­мы экспериментальных данных от гистограммы с таким же чис­лом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона возможно при большом числе измерений (n>50) и заключается в вычислении величины c² (хи-квадрат):

                   ,    

где  n_i, N_i — экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения; m — число интервалов разбиения; Р _i — значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения; при n®¥ случайная величина c² имеет распределение Пирсо­на с числом степеней свободы n= m -1- r, где r — число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения r = 2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров — математического ожидания и СКО.

Если бы выбранная модель в центрах всех m столбцов совпадала с экспериментальными данными, то все m разностей (n_i – N_i) были бы равны нулю, а следовательно, и значение критерия c² также было бы равно нулю. Таким образом, c² есть мера суммарного от­клонения между моделью и экспериментальным распределением.

Критерий c² не инвариантен к числу столбцов и существенно возрастает с увеличением их числа. Поэтому для использования его при разном числе столбцов составлены таблицы квантилей распре­деления c², входом в которые служит так называемое число степе­ней свободы n= m -1- r. Чтобы совместить модель, соответствую­щую нормальному закону, с гистограммой, необходимо совместить координату центра, а для того, чтобы ширина модели соответст­вовала ширине гистограммы, ее нужно задать как r = 2 и n = m-3. Часть квантилей распределения c  приведена в табл.5.1.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения c² меньше определенного из таблицы значения c , то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается. Это не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. она не противоречит опытным данным.

Таблица 5.1 Значения c , при различном уровне значимости

Если же c² расчетное превышает c   , то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов распределения заключается в следующем:

- определяют оценки среднего арифметического значения  и СКО S_x;

- группируют результаты многократных наблюдений по интер­валам длиной h, число которых определяют так же, как и при построении гистограммы;

- для каждого интервала разбиения определяют число наблюдений n_i, попавших в каждый интервал;

- вычисляют вероятность появления результатов в данном интервале, согласно принятой теоретической модели распределения.

Для этого сначала от реальных границ интервалов производят переход к нормированным значениям по формуле:

 Затем подсчитывают вероятность  для каждого интервала по формуле:

P_i = Ф( t_{i +1} ) – Ф( t_i ), где Ф( t_i ) – значение функции Лапласа на границе i-го интервала, определяемое по таблицам распределения Лапласа ( см. Приложение 2).

Для крайних значений выборки и значения функции Лапласа определены и согласно ее свойствам равны: ; ;       

- по формуле      определяют показатель разности частот c²;

- выбирают уровень значимости критерия q. Он должен быть небольшим, чтобы была мала вероятность совершить ошибку пер­вого рода.

Для удобства вычислений все расчеты сводятся в таблицу:

По уровню значимости и числу степеней свободы n по табл.4.1 находят границу критической области c , такую, что вероятность Р{c² > c } = q. Вероятность того, что полученное значение c² превыша­ет c , равна уровню значимости q и мала. Поэтому, если оказывается, что c² > c , то гипо­теза о совпадении экспериментального и теоретического законов рас­пределения отвергается. Если же c² < c , то гипотеза принимается.

Чем меньше q, тем больше значение c  (при том же числе сте­пеней свободы n), тем легче выполняется условие c² < c  и прини­мается проверяемая гипотеза. Но при этом увеличивается вероят­ность ошибки второго рода. В связи с этим нецелесообразно при­нимать 0,02<q<0,01.