ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ РЯДОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 

Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение Y находят на основании известной зависимости:

,

где X 1 , X 2 ,..., Xm - значения, полученные при прямых измерени­ях. По виду функциональной зависимости они делятся на две основные группы — линейные и нелинейные. Для линейных кос­венных измерений математический аппарат статистической обра­ботки полученных результатов разработан детально. Обработка ре­зультатов косвенных измерений производится, как правило, методами, основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей, линеаризации, приведения, перебора.

Методика обработки результатов косвенных измерений приведена в документе МИ 2083-90 "ГСИ. Измерения косвен­ные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей".

Косвенные измерения при линейной зависимости между ар­гументами. Линейная функциональная зависимость является про­стейшей формой связи между измеряемой величиной и находимы­ми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой:

,

где bi - постоянный коэффициент i-го аргумента Xi; m - число аргументов.

  Погрешности линейных косвенных измерений оцени­ваются методом, основанным на раздельной обработке аргумен­тов и их погрешностей.

Если коэффициенты bi определяют экспериментально, то на­хождение результата измерения величины Y производится по­этапно. Сначала оценивают каждое слагаемое  как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряе­мой величины Y. Результат косвенного измерения определяют по формуле:

,

где  - оценка результата измерений аргумента , получаемая, как правило, посредством обработки результатов многократных прямых измерений каждого из аргументов. При несмещенности и состоятельности результатов полученная оценка результата из­мерения  будет также несмещенной и состоятельной. Поскольку дисперсия результата измерения:

,

то, если результаты  обладают минимальной дисперсией, т.е. являются эффективными, то и оценка результата измерения  также будет эффективной.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами, СКО результата косвенного измерения S , обусловленное случайны­ми погрешностями, вычисляется по формуле:

,   

где S  - среднее квадратическое отклонение (СКО) результата изме­рения аргумента .

При наличии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения:

.

Здесь - несмещенная оценка коэффициента корреляции меж­ду погрешностями аргументов  и .

,

где ,  - i-e результаты прямых измерений k-ro и l-го аргумен­тов; n - число прямых измерений аргументов. Коэффициент кор­реляции может быть рассчитан и по другим формулам, равнознач­ным приведенной.

Корреляция между аргументами чаще всего возникает в тех слу­чаях, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий (температуры, влажности, напряжения питающей сети, помех и т.п.). Критерием отсутствия свя­зи между двумя аргументами является выполнение неравенства

,

где tq - коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы f = n-2 (Приложение 1). Необходимо прове­рить отсутствие корреляционных связей между всеми парными сочетаниями аргументов.

Моделью для распределения результатов измерений отдельных аргументов обычно можно считать случайную величину с нормаль­ным распределением. Для распределений, отличных от нормально­го, распределение среднего арифметического при этом все же мож­но считать нормальным. Случайную погрешность результата косвенного измерения, образующуюся путем сложения случайных погрешностей результатов определения многих аргументов, еще с большим основанием можно считать нормально распределенной случайной величиной. Это дает возможность найти доверитель­ный интервал для значения измеряемой величины.

При большом числе измерений (более 25-30), выполненных при нахождении каждого из аргументов, доверительную границу слу­чайной погрешности результата косвенного измерения можно оп­ределить по формуле:

δ  = zp S ,

где zp - квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р (см. Приложение 1).

При меньшем числе измерений для определения доверительного интервала используется распределение Стьюдента, число степеней свободы которого рассчитывается по приближенной формуле:

где n i - число измерений при определении аргумента . В этом случае при условии, что распределение погрешностей результатов измерения аргументов не противоречит нормальному распределе­нию, доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения

δ  = tp S ,

где tp – коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P и числу степеней свободы f (Приложение 1).

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измере­ний аргументов. При измерениях последние стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются неисклю­ченные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное рас­пределение. Такое предположение приводит обычно к достаточно осто­рожным заключениям о погрешности результатов косвенных измере­ний.

Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата линейного косвенного измерения q (Р) в слу­чае, если неисключенные систематические погрешности аргумен­тов заданы границами q i, вычисляют по формуле:

где k - поправочный коэффициент, определяемый принятой дове­рительной вероятностью Р и числом m составляющих q i. Его зна­чения приведены в табл. 3.1. Погрешность от применения этих усредненных коэффициентов не превышает 10% .

 

Таблица 3.1 Значения вероятности P и коэффициента k при m>4

Р 0,90   0,95   0,98   0,99  
k 0,95 1,1   1,3   1,4  

 

Если границы неисключенных систематических погрешно­стей результатов измерений аргументов заданы их доверительны­ми границами q i ( Pi ), соответствующие вероятностям Pi, то гра­ницу q (Р) определяют по формуле:

.

Коэффициенты k i определяются так же, как по­правочный ко­эффициент k .                                    

Суммарная погрешность ре­зультата кос­венного измере­ния оценивается на основе компо­зиции распреде­лений случайных и неисключенных систематических погрешностей. Формулы для ее расчета в зависимости от соотношения границ не­исключенной систематической составляющей и СКО случайной со­ставляющей погрешности приведены в табл. 3.2.Коэффициент k р определяется  по табл. 3.3. 

Результат косвен­ных измерений должен записываться в виде:

х ± D Р ; Р=….

 

Таблица 3.2 Погрешность результата косвенного измерения

 

Значение отношения Погрешность результата измерения
1)  < 0,8   ∆ =
2)  0,8 ≤ ≤ 8 ∆ = k = 2( +
3)   > 8 ∆ =

 

Таблица 3.3 Зависимость kp от отношения q (Р)/ S  при различной доверительной вероятности

q (Р)/ S   0,5   0,75   1   2   3   4   5   6   7   8  
k 0,95   0,81   0,77   0,74   0,71   0,73   0,76   0,78   0,79   0,80   0,81  
k 0,99   0,87   0,85   0,82   0,80   0,81   0,82   0,83   0,83   0,84   0,85  

 

Косвенные измере­ния при нелинейной зависимости между аргументами. Для об­работки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами и некоррелированных погрешностях используется метод линеари­зации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая измеряемую величину с аргументами, разлагается в ряд Тейлора:

.

Здесь - первая частная производная от функции  по аргу­менту , вычисленная в точке ; - отклонение результата измерения аргумента  от его среднего арифметиче­ского; - остаточный член:

Метод линеаризации применим, если остаточным членом мож­но пренебречь. Это возможно в том случае, если:

,

где S - СКО случайной погрешности результата измерений аргумента . При необходимости результаты косвенных измере­ний можно уточнить, используя члены ряда Тейлора более высо­кого порядка. Оценка результата определяется по формуле:

= ( , ,…, ).     

Абсолютная погрешность косвенного измерения :                                        ,

где - коэффициенты влияния i-го аргумента; - абсолютная погрешность измерения i-го аргумента; - частная i-ая погрешность определения результата косвенного измерения.

Оценка СКО случайной погрешности результата косвенного из­мерения:

.

Доверительные границы случайной погрешности результата при нормально распределенных погрешностях измерений аргументов вычисляются так же, как и для линейных косвенных измерений, при условии, что вместо коэффициентов bi в формулах подставля­ются коэффициенты влияния Wi. Аналогичным образом поступа­ют при определении границ неисключенной систематической по­грешности. Погрешность результата нелинейных косвенных измерений оценивается так же, как и при линейных измерениях.

 

Задача 3.1

 

Расход отходящих газов, приведенный к нормальным условиям, определяется через расход газа в рабочих условиях (QРУ), давление в рабочих условиях (PРУ) и температуру в рабочих условиях (TРУ) по формуле:

QНУ = (QРУ . PРУ . TНУ) / (TРУ . PНУ) = (QРУ . PРУ . 293) / (TРУ . 1013) = =(0,289 . QРУ . PРУ) / TРУ,

Выполнены прямые измерения в рабочих условиях расхода газа, давления, температуры и получены следующие результаты (таблица 3.4). Определить значение расхода газа QНУ  и границы доверительного интервала при Р=0,95.                

Для вариантов 26 и больше данные выбираются следующим образом: из варианта вычитается число 20, н-р 26-20 = 6, берутся результаты этого варианта и все значения увеличиваются на 26 (на номер варианта).

 

Таблица 3.4 – Исходные данные

№ варианта Измеряемые величины Результаты измерений
1. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 4500 4490 4510 4500 1025 1027 1026 1026 1025 1027 1650 1400 1645 1655 1645
2. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 9000 8990 9010 9000 1030 1028 1032 1030 1080 1600 1595 1605 1600
3.   QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 2100 2095 2100 2100 2105 1035 1033 1035 1037 1705 1710 1715 1710
4. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 3050 3045 3055 3050 1037 1037 1035 1035 1670 1670 1675 1605 1665
5. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 6540 6535 6545 6540 1050 1048 1050  1000 1052 1660 1670 1665 1670 1660
6. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 5010 5005 5010 5015 5010 1042 1044 1043 1043 1630 1625 1635 1630 1690 1630
7. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 4000 4010 4005 3990 3995 925 927 926 927 928    924 1630 1620 1400 1635 1625
8. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 8000 7990 8000 8010 1130 1128 1128 1005 1120 1125 1500 1510 1490 1510 1505
9. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 2200 2195 2200 2400 2200 2190 935 933 934 936 1605  1610 1615 1610 1610
10. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 3150 3145 3155 3050 3140 1135 1130 1130 1130 1570 1570 1575 1565 1575
11. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 5540 5545 5535 5545 5545 1050 1040 1280 1045 1045 1670 1660 1670 1665
12. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 4990 4980 4985 4980 4980 1040 1035 1040 1280 1040 1650 1645 1655 1650 1710 1650
13. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 4470 4460 4480 4470 4800 1022 1024 1023 1023 1022 1550 1300 1545 1555 1550 1545
14. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 8900 8890 8010 8895 8890 1020 1018 1022 1020 1630 1625 1635 1630 1625
15. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 2150 2000 2145 2150 2150 2155 1050 1048 1050 1052 1050 1690 1695 1700 1695 1700
16. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 3075 3070 3080 3075 3075 1030 1030 1028 1028 1025 1620 1620 1625 1550 1615
17. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 6500 6495 6505 6500 1020 1018 1020 1022 1020 1660 1650 1655 1650
18. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 4010 4005 4010 4015 4010 4005 1047 1049 1048 1048 1047 1600 1595 1605 1605 1600
19. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 3970 3980 3075 3960 915 917 926 921 920 1620 1610 1625 1615 1615 1615
20. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 7000 6990 7000 7000 7010 7005 1150 1148 1148 1145 1140 1525 1535 1515 1535 1530 1525
21. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 2700 2695 2700 2900 2700 2690 945 943 944 946 945 1620 1625 1630 1625
22. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 3450 3445 3455 3350 3440 3450 1130 1125 1125 1120 1120 1580 1580 1585 1575 1585
23. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 5470 5475 5465 5475 5470 1080 1070 1075 1075 1075 1070 1570 1560 1570 1565 1560
24. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 4960 4950 4955 4950 4950 4955 940 935 940 935 930 1550 1545 1745 1540 1545 1550
25. QРУ, м 3/мин PРУ, гПа TРУ, К 2210 2195 2200 2200 2195 2200 1040 1038 1035 1040 1710 1715 1715 1710 1710

 

Дата: 2019-02-02, просмотров: 235.