Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение Y находят на основании известной зависимости:

,

где X ₁ , X ₂ ,..., X_m - значения, полученные при прямых измерени­ях. По виду функциональной зависимости они делятся на две основные группы — линейные и нелинейные. Для линейных кос­венных измерений математический аппарат статистической обра­ботки полученных результатов разработан детально. Обработка ре­зультатов косвенных измерений производится, как правило, методами, основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей, линеаризации, приведения, перебора.

Методика обработки результатов косвенных измерений приведена в документе МИ 2083-90 "ГСИ. Измерения косвен­ные. Определение результатов измерений и оценивание их погрешностей".

Косвенные измерения при линейной зависимости между ар­гументами. Линейная функциональная зависимость является про­стейшей формой связи между измеряемой величиной и находимы­ми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой:

,

где b_i - постоянный коэффициент i-го аргумента X_i; m - число аргументов.

  Погрешности линейных косвенных измерений оцени­ваются методом, основанным на раздельной обработке аргумен­тов и их погрешностей.

Если коэффициенты b_i определяют экспериментально, то на­хождение результата измерения величины Y производится по­этапно. Сначала оценивают каждое слагаемое  как косвенно измеряемую величину, полученную в результате произведения двух измеряемых величин, а потом находят оценку измеряе­мой величины Y. Результат косвенного измерения определяют по формуле:

,

где  - оценка результата измерений аргумента , получаемая, как правило, посредством обработки результатов многократных прямых измерений каждого из аргументов. При несмещенности и состоятельности результатов полученная оценка результата из­мерения  будет также несмещенной и состоятельной. Поскольку дисперсия результата измерения:

,

то, если результаты  обладают минимальной дисперсией, т.е. являются эффективными, то и оценка результата измерения  также будет эффективной.

При отсутствии корреляционной связи между аргументами, СКО результата косвенного измерения S , обусловленное случайны­ми погрешностями, вычисляется по формуле:

,   

где S  - среднее квадратическое отклонение (СКО) результата изме­рения аргумента .

При наличии корреляционной связи между аргументами СКО результата косвенного измерения:

.

Здесь - несмещенная оценка коэффициента корреляции меж­ду погрешностями аргументов  и .

,

где ,  - i-e результаты прямых измерений k-ro и l-го аргумен­тов; n - число прямых измерений аргументов. Коэффициент кор­реляции может быть рассчитан и по другим формулам, равнознач­ным приведенной.

Корреляция между аргументами чаще всего возникает в тех слу­чаях, когда их измерения проводятся одновременно и подвергаются одинаковому влиянию внешних условий (температуры, влажности, напряжения питающей сети, помех и т.п.). Критерием отсутствия свя­зи между двумя аргументами является выполнение неравенства

,

где t_q - коэффициент Стьюдента, соответствующий уровню значимости q и числу степеней свободы f = n-2 (Приложение 1). Необходимо прове­рить отсутствие корреляционных связей между всеми парными сочетаниями аргументов.

Моделью для распределения результатов измерений отдельных аргументов обычно можно считать случайную величину с нормаль­ным распределением. Для распределений, отличных от нормально­го, распределение среднего арифметического при этом все же мож­но считать нормальным. Случайную погрешность результата косвенного измерения, образующуюся путем сложения случайных погрешностей результатов определения многих аргументов, еще с большим основанием можно считать нормально распределенной случайной величиной. Это дает возможность найти доверитель­ный интервал для значения измеряемой величины.

При большом числе измерений (более 25-30), выполненных при нахождении каждого из аргументов, доверительную границу слу­чайной погрешности результата косвенного измерения можно оп­ределить по формуле:

δ  = z_p S ,

где z_p - квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р (см. Приложение 1).

При меньшем числе измерений для определения доверительного интервала используется распределение Стьюдента, число степеней свободы которого рассчитывается по приближенной формуле:

где n _i - число измерений при определении аргумента . В этом случае при условии, что распределение погрешностей результатов измерения аргументов не противоречит нормальному распределе­нию, доверительная граница случайной погрешности результата косвенного измерения

δ  = t_p S ,

где t_p – коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P и числу степеней свободы f (Приложение 1).

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измере­ний аргументов. При измерениях последние стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются неисклю­ченные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное рас­пределение. Такое предположение приводит обычно к достаточно осто­рожным заключениям о погрешности результатов косвенных измере­ний.

Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата линейного косвенного измерения q (Р) в слу­чае, если неисключенные систематические погрешности аргумен­тов заданы границами q _i, вычисляют по формуле:

где k - поправочный коэффициент, определяемый принятой дове­рительной вероятностью Р и числом m составляющих q _i. Его зна­чения приведены в табл. 3.1. Погрешность от применения этих усредненных коэффициентов не превышает 10% .

Таблица 3.1 Значения вероятности P и коэффициента k при m>4

Если границы неисключенных систематических погрешно­стей результатов измерений аргументов заданы их доверительны­ми границами q _i ( P_i ), соответствующие вероятностям P_i, то гра­ницу q (Р) определяют по формуле:

.

Коэффициенты k _i определяются так же, как по­правочный ко­эффициент k .                                    

Суммарная погрешность ре­зультата кос­венного измере­ния оценивается на основе компо­зиции распреде­лений случайных и неисключенных систематических погрешностей. Формулы для ее расчета в зависимости от соотношения границ не­исключенной систематической составляющей и СКО случайной со­ставляющей погрешности приведены в табл. 3.2.Коэффициент k _р определяется  по табл. 3.3. 

Результат косвен­ных измерений должен записываться в виде:

х ± D _Р ; Р=….

Таблица 3.2 Погрешность результата косвенного измерения

Значение отношения	Погрешность результата измерения
1)  < 0,8	∆ =
2)  0,8 ≤ ≤ 8	∆ = k = 2( +
3)   > 8	∆ =

Таблица 3.3 Зависимость k_p от отношения q (Р)/ S  при различной доверительной вероятности

q (Р)/ S	0,5	0,75	1	2	3	4	5	6	7	8
k 0,95	0,81	0,77	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
k 0,99	0,87	0,85	0,82	0,80	0,81	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Косвенные измере­ния при нелинейной зависимости между аргументами. Для об­работки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами и некоррелированных погрешностях используется метод линеари­зации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая измеряемую величину с аргументами, разлагается в ряд Тейлора:

.

Здесь - первая частная производная от функции  по аргу­менту , вычисленная в точке ; - отклонение результата измерения аргумента  от его среднего арифметиче­ского; - остаточный член:

Метод линеаризации применим, если остаточным членом мож­но пренебречь. Это возможно в том случае, если:

,

где S - СКО случайной погрешности результата измерений аргумента . При необходимости результаты косвенных измере­ний можно уточнить, используя члены ряда Тейлора более высо­кого порядка. Оценка результата определяется по формуле:

= ( , ,…, ).     

Абсолютная погрешность косвенного измерения :                                        ,

где - коэффициенты влияния i-го аргумента; - абсолютная погрешность измерения i-го аргумента; - частная i-ая погрешность определения результата косвенного измерения.

Оценка СКО случайной погрешности результата косвенного из­мерения:

.

Доверительные границы случайной погрешности результата при нормально распределенных погрешностях измерений аргументов вычисляются так же, как и для линейных косвенных измерений, при условии, что вместо коэффициентов b_i в формулах подставля­ются коэффициенты влияния W_i. Аналогичным образом поступа­ют при определении границ неисключенной систематической по­грешности. Погрешность результата нелинейных косвенных измерений оценивается так же, как и при линейных измерениях.

Задача 3.1

Расход отходящих газов, приведенный к нормальным условиям, определяется через расход газа в рабочих условиях (Q_РУ), давление в рабочих условиях (P_РУ) и температуру в рабочих условиях (T_РУ) по формуле:

Q_НУ = (Q_РУ ^. P_РУ ^. T_НУ) / (T_РУ ^. P_НУ) = (Q_РУ ^. P_РУ ^. 293) / (T_РУ ^. 1013) = =(0,289 ^. Q_РУ ^. P_РУ) / T_РУ,

Выполнены прямые измерения в рабочих условиях расхода газа, давления, температуры и получены следующие результаты (таблица 3.4). Определить значение расхода газа Q_НУ  и границы доверительного интервала при Р=0,95.                

Для вариантов 26 и больше данные выбираются следующим образом: из варианта вычитается число 20, н-р 26-20 = 6, берутся результаты этого варианта и все значения увеличиваются на 26 (на номер варианта).

Таблица 3.4 – Исходные данные