Совместные измерения выполняются с целью определения функциональной зависимость между физическими величинами:            

При этом совместно измеряют значения аргументов  и соответствующие значения величины По полученным экспериментальным данным  строят функциональную зависимость.

Уравнения измерения имеют вид:

где … - искомые величины; - величины измеряемые прямым или косвенным методом; - постоянные величины.

 Характерной особенностью является то, что число уравнений больше числа измеряемых величин.

Вид линейной зависимости непосредственно измеряемых величин с искомыми уравнениями имеют вид:

где - величины, подлежащие измерению при совместных измерениях;

   - известные коэффициенты;

  - непосредственно измеряемые величины;

  n - число искомых величин;

m- число уравнений.

Т.к. m>n из-за номинальных погрешностей, нет возможности найти такие значения величин, которые одновременно удовлетворяли всем уравнениям системы. Эти  уравнения называются условными.

При подстановке в систему условных уравнений результатов прямых измерений возникают погрешности , называемые невязками. Поэтому уравнения системы необходимо скорректировать:

где оценки величин максимально приближенные к ним по свойствам.

Для нахождения этих оценок используется метод наименьших квадратов (МНК). В этом методе оценки параметров зависимости определяются из условия, что сумма квадратов отклонения расчётных значений от экспериментальных минимальна.

Таким образом, оценки находят из условия:

.                     

Рассмотрим случай зависимости для двух искомых величин и :

Заменяя и их оценками и :

Для нахождения оценок и реализации МНК необходимо найти частные производные и приравнять их к нулю:

Уравнения системы называются нормальными. Систему уравнений можно записать в виде:

Значение производных будут равны: ; .

После преобразований уравнения выглядят следующим образом:

где ;

Для n измеряемых величин системы условных и нормальных уравнений имеют вид:

Т.к. число нормальных уравнений равно числу неизвестных, то эти уравнения записываются через определители:

            ….                   

где  - главный определитель.           

Частные определители получают путём замены соответствующего столбца с коэффициентами при неизвестных  на столбец со свободными членами. Например:

.                                                                                                   

Оценки СКО величин, найденных при совместных измерениях определяются по следующим формулам:

где  - оценка СКО условных уравнений;                                 

невязки  рассчитываются при подстановке в каждое условное уравнение найденных оценок искомых величин       

- алгебраические дополнения главного определителя , получаемые путём удаления из матрицы определителя столбца и строки, на пересечении которых находится соответствующий элемент, например:

Доверительный интервал определяют по формуле:

                                ,                              

где - коэффициент Стьюдента (Приложение 1) при заданной доверительной вероятности р и числе степеней свободы

Задача 2.1

 По содержанию фосфора в хромовой руде спектрографическим методом [P]_С получены результаты,  приведенные в таблице 2.4. В качестве арбитражного метода применялось определение фосфора фотометрическим методом [P]_Ф.

Таблица 2.4

[P]ф_, [P]С - концентрация фосфора в руде, определенная  фотометрическим методом и спектрографическим соответственно, %.

Доверительная погрешность анализа на содержание фосфора d_Р = ±0,002 %. Определить наличие и характер методической систематической погрешности в анализе руды, спектрографическим методом, поправку и представить исправленные результаты.

Задача 2.2

 Температура измерялась одновременно комплектом вольфрамрений-вольфрамрениевой (ТВР) термопарой с показывающим измерительным прибором и комплектом платинородий-платиновой (ТПП) термопарой с показывающим измерительным прибором. Вторая термопара является образцовой и имеет доверительную погрешность d_Р = ±5 °С. В результате экспериментов получены следующие данные:

Таблица 2.5

t_В, t_П - температура, измеренная термопарами ТВР и ТПП, соответственно, °С.

Определить наличие и характер поведения инструментальной систематической погрешности в измерении температуры вольфрамрениевой термопарой, поправку и представить исправленные результаты измерения температуры вольфрамрениевой термопарой.