Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача выявления основной тенденции развития в статистике называется выравниванием временного ряда.

Методами выявления тренда являются:

- метод укрупнения интервалов;

- метод скользящей средней;

- аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интервалов. Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. При суммировании уровней по укрупненным интервалам колебания в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимнопогашаются и более четко обнаруживается общая тенденция.

Метод скользящей средней. Метод сглаживание скользящей средней заключается в том, что рассматривается средний уровень из определенного числа первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, продвигаясь на один срок.

Пример 4.5. Произведем расчет скользящей средней по данным об урожайности зерновых культур (ц/га) за 10 лет.

Исходные данные и расчетные показатели представлены в таблице.

Период скольжения может быть четным и нечетным. Для нечетного периода (трехлетняя) первое значение скользящей средней есть (15 + 13 + 15)/3 = 14,33, второе – (13 + 15 + 16)/3 = 14,67 и т.д, причем полученные результаты скользящей средней отнесены к середине периода скольжения.

Для четного периода (четырехлетняя) первое значение скользящей средней есть (15 + 13 + 15 + 16)/4 = 14,75, второе – (13 + 15 + 16 + 18)/4 = 15,50 и т.д., но рассчитанные усредненные значения нельзя сопоставить каким-либо определенным значениям t, поэтому применяют процедуру центрирования (вычисляют среднее значение из двух последовательных скользящих средних). Первое значение центрированной скользящей средней есть (14,75 + 15,50)/2 = 15,125, второе – (15,50 + 16,50)/2 = 16 и т.д., причем, первая центрированная средняя будет отнесена к третьему году.

Замечание. Используя пакет анализа Excel (Скользящее среднее), можно также получить результаты сглаживания.

Метод аналитического выравнивания. В этом методе фактические уровни ряда заменяются плавно изменяющимися уровнями, полученные из уравнения регрессии y_t = f(t) + e. При аналитическом выравнивании используются различные виды трендовых моделей.

Упражнение 4.3. Имеются данные о розничном товарообороте региона (усл. ед.) за 10 лет:

Построить следующие трендовые модели товарооборота и выбрать из них наиболее подходящий:

Замечание. Для нахождения наиболее адекватного уравнения тренда в Excel используется инструмент «Подбор линии тренда» из Мастера диаграмм.

Анализ аддитивной модели

Общий вид аддитивной модели таков:

Y = T + S + ε.

Построение модели включает в себя следующие шаги:

1. выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2. расчет значений сезонной компоненты S;

3. устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда (Y – S) и получение выровненных данных (T + ε);

4. аналитическое выравнивание уровней (T + ε) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда;

5. расчет полученных по модели значений (T + S);

6. расчет абсолютных ошибок.

Пример 4.6. Имеются данные (усл. ед.) об объеме потребления электроэнергии y в некотором районе за четыре года (поквартально).

В качестве зависимой переменной при анализе временного ряда выступают фактические уровни ряда y_t, а в качестве независимой переменной – время (номер квартала) t = 1, 2, …, 16.

По графику ряда можно приблизительно установить наличие линейного тренда и сезонных колебаний (период равен 4) одинаковой амплитуды, поэтому используется аддитивная модель. Определим ее компоненты.

Для исключения влияния сезонной компоненты произведем выравнивание исходного ряда методом скользящей средней за 4 квартала и процедуру центрирования. Результаты расчетов представлены в таблице.

На рис. 13 представлены графики фактических уровней ряда и центрированной скользящей средней.

Рис. 13

Оценки сезонной вариации определяются как разность между фактическими уровнями ряда y_t и центрированными скользящими средними.

Расчет сезонной компоненты произведем в следующей расчетной таблице, в которой оценки сезонной вариации записываются под соответствующим номером квартала в году.

В строке Среднее рассчитаны средние сезонной вариации по годам за каждый квартал и их сумма равна 0,075.

В аддитивной модели предполагается, что сумма всех сезонных компонент по всем кварталам должна быть равна нулю (условие взаимопогашаемости сезонных воздействий).

В строке Скорректированное рассчитаны значения сезонных компонент S_i как разность между средней сезонной вариацией и корректирующим коэффициентом 0,075/4, при этом S S_i = 0.

Расчет трендовой компоненты и ошибок произведем в следующей таблице

В столбце Y – S = T + e исключается влияние сезонной компоненты; вычитая ее значение из каждого уровня исходного ряда, в результате получим только тенденцию и случайную компоненту.

Производя аналитическое выравнивание ряда (T + e) с помощью линейного тренда, получим следующее уравнение линии тренда: T = 5,706 + 0,187×t.

Уровни ряда T для каждого t = 1, 2, …, 16 приведены в таблице.

Расчет ошибки в аддитивной модели производится по формуле e = Y – (T + S).

Дисперсии фактического ряда и ошибки, рассчитанные в Excel с помощью функции ДИСПР, составляют: var(y) = 4,196, var(e) = 0,0684.

Для оценки качества построенной модели по аналогии с моделью регрессии можно использовать выражение

,

т.е. аддитивная модель объясняет 98, 4% общей вариации уровней временного ряда потребления электроэнергии.