Для исследования системы, описываемой передаточной функцией (1) на устойчивость применяются алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица предполагает исследование матрицы, составленной из коэффициентов характеристического уравнения [3, стр. 139-143]:

.

Система устойчива, если все диагональные миноры матрицы Гурвица положительны.

Анализ устойчивости по критерию Михайлова [2, стр. 96-99] предполагает построение на комплексной плоскости годографа

при изменении w от 0 до ¥. Система будет устойчива, если годограф, начинаясь на положительной вещественной полуоси при w =0, проходит последовательно n квадрантов против часовой стрелки, устремляясь в n-м в ¥.

Критерий Найквиста [2, стр. 102-105] позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по частотной характеристике разомкнутой системы. Если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система также будет устойчивой в том случае, когда АФХ разомкнутой системы W_p ( j w ) не охватывает точку (-1, j 0) при изменении w  от 0 до ¥.

4. Контрольные вопросы

1. Как формулируется основное условие устойчивости линейных систем?

2. Как по АФХ исследуемой разомкнутой системы найти k _1кр?

3. Каким образом коэффициент передачи разомкнутой системы влияет на вид годографа Михайлова?

4. Как, используя критерий Гурвица для замкнутой системы, найти критическое значение коэффициента разомкнутой системы?

5. Какой вид имеет переходная характеристика системы, находящейся на колебательной границе устойчивости?

6. Каковы условия нахождения системы на границе устойчивости по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста?

Схема эксперимента

Исследуемая в данной работе САУ имеет вид, представленный на рис. 1.

Сумматор реализуется в виде принципиальной схемы (рис. 2), которая описывается математической моделью вида:

Усилительное звено с математической моделью:

,

реализуется в виде схемы, представленной на рис. 3.

Апериодическое звено AZ первого порядка с передаточной функцией вида:                                                   (3)

реализуется в схеме исследуемой САУ в виде принципиальной схемы (рис. 4). Параметры передаточной функции (3) связаны с номиналами компонентов ее схемы реализации следующими соотношениями:

Колебательное звено KZ с передаточной функцией

реализуется в виде принципиальной схемы (рис. 5), параметры которой связаны с параметрами схемы его реализации следующими соотношениями:

; ; ;      (4)

Структурная схема исследуемой САУ (рис. 1) реализуется в виде принципиальной электрической схемы (рис. 6).

           На основе операционного усилителя А1 c резисторами R1, R2, R3 реализуется сумматор с переменным коэффициентом усиления.

     Апериодическое звено первого порядка с параметрами   и  реализуется на основе резисторов R4, R5 и конденсатора С1.

     Колебательное звено с параметрами К=1, Т=0.001 и z =0.12 реализуется с помощью трех операционных усилителей А2, А3 и А4 с соответствующими резисторами и конденсаторами.

Монтажная схема реализации исследуемой САУ приведена на рис. 7.

Схема реализована на основе операционных усилителей, реализованных в виде микросхем УД608. Элементы схемы выбраны таким образом, чтобы реализовывать заданные параметры структурных звеньев исследуемой САУ.

Порядок проведения работы

6.1. Скоммутируйте схему, представленную на рис. 5: Для питания операционных усилителей, соблюдая полярность, подключите первый источник питания (U пит1+, U пит1-) к верхней шине монтажной платы, а второй источник питания (U пит2+, U пит2-) к нижней шине монтажной платы, подключите на вход схемы генератор (GenA_1, GND). Общий провод (GND) подается на нижний вход схемы. К выходу схемы подключите канал А осциллографа (CH_A+, CH_A-). Канал В осциллографа (CH_B+, CH_B-) подключите на вход схемы, чтобы можно было увидеть разницу между входным сигналом и выходным. При подключении осциллографа соблюдайте полярность.

6.2. Подавая на вход прямоугольный импульс амплитудой 5 В, частотой 100 Гц и скважностью 50 %, постройте переходную характеристику.

6.3. Изменяя значение резистора R 4, тем самым изменяя коэффициент усиления усилительного звена, и наблюдая переходную характеристику, выведите систему на границу устойчивости. По значению резистора измеренного с помощью мультиметра, используя формулы (4), определите граничный коэффициент усиления k _1гр.

6.4. Используя формулы (4), рассчитайте сопротивление резистора R 8, соответствующее увеличенному в два раза коэффициенту демпфирования z. Построив переходную характеристику по методике, описанной в пункте 6.2, определите значение сопротивления резистора R 4, при котором система будет находиться на границе устойчивости. По значению резистора определите граничный коэффициент усиления k _1гр.

6.5. Используя формулы (4), рассчитайте сопротивление резистора R 8, соответствующее уменьшенному в два раза по сравнению c первоначальным коэффициенту демпфирования z. Построив переходную характеристику и изменяя значение сопротивления R 4, определите его значение, при котором система будет находиться на границе устойчивости. По значению резистора определите граничный коэффициент усиления k _1гр.

6.6. По результатам проведенных в пунктах 6.2-6.6 экспериментов заполните таблицу 6.1 и на основании этих данных постройте график зависимости .

Таблица 6.1

6.7. Установите схему в первоначальное положение и определите граничный коэффициент усиления k _1гр .

6.8. Используя формулы, рассчитайте сопротивление R 13, соответствующее увеличенному в два раза коэффициенту обратной связи k_{OC .} Наблюдая переходную характеристику по методике, описанной в пункте 6.2, определите значение резистора R 4, при котором система будет находиться на границе устойчивости. По значению резистора определите граничный коэффициент усилений k _1гр.

6.9. Использую формулы, рассчитайте сопротивление резистора R 13, соответствующее уменьшенному в два раза коэффициенту обратной связи k_OC. Наблюдая переходную характеристику по методике, описанной в пункте 6.2, определите значение резистора R 4, при котором система будет находиться на границе устойчивости. По значению резистора определите граничный коэффициент усилений k _1гр.

6.10. По результатам проведенных в пунктах 6.2-6.6 экспериментов заполните таблицу 6.1 и на основании этих данных постройте график зависимости .

Таблица 6.1

Отчет по работе

Отчет по работе должен содержать:

- цель работы;

- структурную схему исследуемой системы и численные значения параметров;

- рассчитанные и экспериментально найденные критические значения параметров системы, при которых она находится на границе устойчивости;

- график переходного процесса исследуемой системы при табличных значениях параметров;

- графики зависимости k_1кр ( z ) и k _1гр­ ( k_oc ).

Лабораторная работа № 9
Исследование переходных процессов и точности работы САУ на ОУ

Цель работы

Исследовать влияние структуры и параметров системы на качество переходных процессов и статическую ошибку.

Задание на работу

2.1. При подготовке к работе необходимо изучить: показатели качества; оценка качества по переходной функции, точность работы САУ, корневые методы анализа исследования качества САУ.

2.2. Исследовать качество САУ по задающему воздействию: по переходной характеристике выходной переменной звена определить необходимые величины для расчета перерегулирования, а также по характеристике определить время переходного процесса; по переходной характеристики ошибки определить статический коэффициент ошибки по задающему воздействию, а также по логарифмическими амплитудно- и фазочастотной характеристике определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

2.3. Исследовать качество САУ по возмущающему воздействию: по переходной характеристике выходной переменной звена определить необходимые величины для расчета перерегулирования, а также по характеристике определить время переходного процесса; по переходной характеристики ошибки определить статический коэффициент ошибки по задающему воздействию, а также по логарифмическим амплитудно- и фазочастотной характеристике определить запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

2.4. Заполнить таблицу результатов исследований и сделать выводы.

Методические указания