Если x ³1, то корни уравнения (2) вещественные отрицательные. Пусть p1= l 1, p2= l 2 . В результате получается переходная характеристика вида:
.
Такое звено называется апериодическим звеном второго порядка [3, стр. 72-74].
Колебательное звено
Если 0<x <1, то корни уравнения (2) будут комплексно-сопряженными, т.е. 
, где d - коэффициент затухания, w - частота свободных колебаний. Следовательно, будет иметь место затухающий колебательный процесс. Такое звено называется колебательным [3, стр. 74-80]. Выражение для его переходной характеристики имеет вид:
Консервативное звено
В случае, когда x =0, корни уравнения будут чисто мнимые 
, где w - частота свободных колебаний. В этом случае звено будет консервативным [3, стр. 80-80], для которого имеет место незатухающий переходный процесс, который описывается переходной характеристикой вида:
Три типа звена второго порядка реализуются на основе схемы (рис. 1), параметры которой связаны коэффициентами дифференциального уравнения следующими соотношениями [4, стр. 575-576] :
(3)
3.5. Экспериментальное исследование временных
характеристик звена второго порядка
При исследовании звена второго порядка в данной лабораторной работе необходимо экспериментально определять постоянную времени, частоту свободных колебаний и время переходного процесса.
Для экспериментального определения постоянной времени необходимо построить импульсную характеристику звена и применить следующий алгоритм:
- в точке начала спада замеряется максимальное значение импульсной характеристики ymax;
- по формуле:
определяется значение, в котором величина будет в е раз меньше, по сравнению с первоначальным;
- промежуток времени от ymax до ye будет являться постоянной времени звена.
Определение времени переходного процесса производится как по переходной, так и по импульсной характеристике.
Для определения времени переходного процесса по переходной характеристике применяется следующий алгоритм:
- находится установившееся значение переходной характеристики Yуст, по которой стоится «труба» на расстоянии 
от установившегося значения;
- время, при котором переходная характеристика, войдя в «трубу», не выйдет из него, будет считаться временем переходного процесса.
Определение частоты свободных колебаний выполняется с использованием осциллограммы колебательного процесса следующим образом:
- находятся времена двух соседних максимумом, положительных или отрицательных переходов графика через ось абсцисс;
- разность измеренных времен будет являться периодом Т свободных колебаний;
- связь частоты w свободных колебаний с периодом Т описывается формулой:
.
4. Контрольные вопросы
1. Каков физический смысл постоянной времени?
2. Каков физический смысл коэффициента демпфирования?
3. Запишите уравнение, которым описывается звено второго порядка?
4. Какой вид корней и каков их физический смысл у апериодического звена второго порядка?
5. Какой вид корней и каков физический смысл их составляющих у колебательного звена?
6. Какой вид корней и какой их физический смысл у консервативного звена?
7. Какой математический вид имеет переходная характеристика для апериодического звена?
8. Какой математический вид имеет переходная характеристика для колебательного звена?
9. Какой математический вид имеет переходная характеристика для консервативного звена?
10. Изобразите график переходной характеристики апериодического звена второго порядка.
11. Изобразите график переходной характеристики колебательного звена.
12. Изобразите график переходной характеристики консервативного звена
Схема эксперимента
|
Рис. 1. Принципиальная схема звена второго порядка |
Описанные три типа звена второго порядка можно реализовать на основе одной схемы, представленной на рис. 1.
В зависимости от выбора параметров компонентов схемы реализации звена второго порядка это звено может быть апериодическим, колебательным или консервативным.
| Рис. 2. Монтажная плата для исследования звена второго порядка |
Монтажная схема реализации звена второго порядка приведена на рис. 2.
Схема реализована на основе трех операционных усилителей УД608. Также в данную схему входят элементы со следующими номинальными значениями:
R1 = 1 кОм;
R3 = 1 кОм;
R4 = 1 кОм;
R5 = 1 кОм;
R6 = 1 кОм;
C1 = 1 мкФ;
C2 = 3.3 мкФ,
которые задают следующие параметры звена второго порядка:
K=1;
T=5.1 мс.
Резистор R2, являясь переменным, позволяется менять коэффициент демпфирования x звена второго порядка.
Работа связана с расчетом и экспериментальной проверкой предварительно рассчитанных параметров для различных режимов работы звена второго порядка.
Порядок проведения работы
6.1. Скоммутируйте схему, представленную на рис. 1: для питания операционных усилителей подключите источник постоянного напряжения, выставив максимально допустимый ток 100 мА и напряжение +12 В, подключите на вход схемы генератор (GenA_1, GND). Общий провод (GND) подается на нижний вход схемы. К выходу схемы подключите канал А осциллографа (CH_A+, CH_A-). Канал В осциллографа (CH_B+, CH_B-) подключите на вход схемы, чтобы можно было увидеть разницу между входным сигналом и выходным. При подключении осциллографа соблюдайте полярность.
6.2. Рассчитайте по формулам (3) значения резистора R2 при заданных значениях коэффициента демпфирования (табл. 1).
Таблица 1
| Коэффициент демпфирования | Значение резистора R2 | Корни характеристического уравнения | Экспериментальные значения | Вид звена второго порядка | |||
| Реальная часть | Мнимая часть | Постоянная времени | Частота колебаний | Время переходного процесса | |||
| 0 | 0 | ||||||
| 0.5 | 1k | ||||||
| 1 | 4k | ||||||
| 1.5 | 9k | ||||||
При каждом значении коэффициента демпфирования необходимо:
- рассчитать корни характеристического уравнения и получившуюся постоянную времени;
- рассчитать и установить с помощью мультиметра полученное значение резистора и, подавая на вход схемы с помощью генератора прямоугольный импульс амплитудой 5 В, частотой 100 Гц, построить на осциллографе переходную и импульсную ххарактеристику;
- по импульсной характеристике на основе описанных методик определите постоянную времени, частоту колебаний (для колебательного процесса) и время переходного процесса, используя выше описанные методики;
6.3. Постройте зависимости постоянной времени, частоты свободных колебаний и времени переходного процесса от коэффициента демпфирования;
6.4. Сделайте выводы.
Отчет по работе
Отчет по работе должен содержать:
- формулы расчета значения резистора;
- результаты расчета и эксперимента, оформленные в виде таблицы 1.
- графики переходного процесса по одному для колебательного, апериодического и консервативного звена;
- построенные в пункте 6.3 зависимости постоянной времени, частоты свободных колебаний и времени переходного процесса от коэффициента демпфирования;
- выводы по проведенным расчетам и экспериментам.
Лабораторная работа № 8
Исследование устойчивости линейных систем автоматического управления на операционных усилителях
Цель работы
Исследование устойчивости линейной системы и влияния на нее параметров звеньев.
Задание на работу
2.1. При подготовке к работе необходимо изучить: понятия технической и математической устойчивости линейных систем автоматического управления, необходимые и достаточные условия устойчивости систем, алгебраические и частотные критерии устойчивости.
2.2. Изменяя коэффициент усиления усилительного звена и наблюдая переходную характеристику, определить значение коэффициента усиления, при котором систем находится на границе устойчивости.
2.3. Рассчитать параметры схемы для уменьшенного и увеличенного вдвое коэффициента демфпирования. Повторить пункт 2.2 для расчитанных значений коэффициента демпфирования.
2.4. Построить график зависимости критического коэффициента усиления от коэффициента демпфирования и сделать выводы о их взаимосвязи.
Методические указания
Дата: 2019-02-02, просмотров: 233.
