Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

Рассмотрим систему s линейных уравнений с n неизвестными

                                   (6.1)

1. Если среди уравнений системы есть уравнения вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k , где b_k ¹0, то система уравнений (6.1) несовместна.

2. Пусть в каждом уравнении системы есть хотя бы по одному отличному от 0 коэффициенту. Если a₁₁ =0, то перенумерацией неизвестных добьемся, чтобы первый коэффициент был отличен от нуля. Таким образом, можем считать , что a₁₁¹0.

Исключим теперь слагаемые, содержащие х₁, из всех остальных уравнений. Для этого к каждому i-ому (i=2,...,n) уравнению прибавим первое, умноженное на (i=2,...,n).

продолжим аналогичные рассуждения для переменной х₂ (начиная со второго уравнения).

Если в системе уравнений в результате преобразований появились уравнения вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=0, то их отбрасываем, а если появилось уравнение вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k , где b_k ¹0, то полученная система уравнений , а следовательно и равносильная ей система уравнений (6.1), несовместна.

Если система не содержит уравнений вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k , где b_k ¹0, то будем считать, что a₂₂ ¹0, и исключим х₂ из всех оставшихся уравнений, прибавляя к каждому i-ому (i=3,...,n) уравнению второе, умноженное на   (i=3,...,n). Так как система содержит конечное число уравнений, то процесс исключения неизвестных конечен. То есть через некоторое число шагов мы получим систему уравнений

            (6.2)

 

Здесь  ..., , k £s, и, очевидно, k £n.

В этом случае система уравнений (6.2) и, следовательно, система уравнений (6.1) совместны, причем, если k=n, то система имеет единственное решение, а если k <n ,то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Действительно, если k=n, то система имеет вид

                (6.3)

Так как , то из последнего уравнения системы (6.3) найдем x_n, подставим найденное значение во все остальные уравнения системы и из предпоследнего уравнения найдем x_n-1 и так далее. Все переменные определяются однозначно и система (6.3) и, следовательно, система уравнений (6.1) имеют единственное решение.

Если k <n, то система уравнений имеет вид (6.3). Неизвестные х_k+1, x_k+2, ..., x_n  объявляем свободными. Этим переменным можно присвоить любые значения и поднимаясь по системе (6.3) снизу вверх, найти значения остальных переменных, которые для данного набора свободных переменных определяются однозначно. Таким образом, давая различные значения свободным переменным х_k+1, x_k+2,...,x_n, получим все решения системы.

 

Вывод . Метод Гаусса применим к решению любой системы линейных уравнений. При этом система (6.1) будет несовместной, если в процессе преобразований получится уравнение вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k , где b_k ¹0, или система будет совместной. Совместная система имеет единственное решение, если k=n, и будет иметь множество решений, если k <n.

Замечание 1. Однородная система уравнений всегда совместна, так как в ней не может быть уравнений вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k , где b_k ¹0. Она всегда имеет нулевое решение, а если k <n,то система имеет и ненулевые решения.

 

 Замечание 2. На практике все преобразования производят не над уравнениями системы, а над строками расширенной матрицы системы.

Если b₁=b₂=…=b_s=0, тогда система линейных уравнений имеет вид

                                                                 (6.4)

и называется однородной. Очевидно, что однородная система всегда совместна, то есть множество ее решений не пусто. В частности, решением любой однородной системы линейных уравнений будет решение: x₁=…=x_n=0. Это решение называется нулевым, или тривиальным.

Пример выполнения заданий практической части

 

Пример 1. Решить систему линейных уравнений

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к диагональному виду

 

 

Таким образом, получили следующее решение системы линейных уравнений

х₁=0, х₂=2, х₃=1/3, х₄=-1,5.

 

Пример 2. Решить систему линейных уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к диагональному виду

~ ~

Матрица приведена к диагональному виду, запишем соответствующую систему линейных уравнений

Данная система имеет бесконечно много решений. Чтобы найти общее решение переменные х₃ и х₄ объявим свободными, а остальные выразим через свободные, получим

 следовательно

x₃=c₁, x₄=c₂, x₂₌ c₁-c₂- , x₁= с₁-с₂

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

( с₁-с_2, c₁-c₂- _, с₁, с₂), где с₁ и с₂ – произвольные действительные числа. Если дать свободным переменным некоторые значения, получим частные решения системы.

 

Пример 3. Решить систему уравнений

                                                                  (*)

Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к диагональному виду

~ ~

Третья строка соответствует уравнению

0x₁+0x₂+0x₃+0x₄=-8, которое не имеет решений, следовательно, система (*) также не имеет решений.

 

Пример 4. Решить систему линейных однородных уравнений

                                                           ( )

Решение. Будем решать систему методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и упростим ее.

~  ~  ~  

Получили систему, равносильную данной

Û .

Система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений. Общее решение имеет вид (0,2с; -1,4с; с; 0).

Пример 5. Решить систему линейных однородных уравнений

Решение. Будем решать систему методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и упростим ее.

~ ~ ~

~

Получили систему, равносильную данной

Û

Переменные х₄ и х₅ объявляем свободными. Пусть х₄=с₁, х₅=с₂, тогда

 

Общее решение системы имеет вид

Пример 6. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип	Способ раскроя
заготовки	1	2	3
А	3	2	1
Б	1	6	2
В	4	1	5

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z. Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма 3x +2y +z должна равняться 360, т.е.

3x +2y + z =360.

Аналогично получаем уравнения

x + 6y +2z = 300

4x + y + 5z = 675,

которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к диагональному виду.

Следовательно, x = 90, y = 15, z = 60.

Задания для аудиторного занятия

 

1. Решить системы линейных уравнений:

 

1.1.                                    1.2.

1.3.                            1.4.

1.5.                          1.6.

1.7.                          1.8.

1.9.                             1.10.

1.11.                         1.12.

 

2. На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов. Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.

Изделие	Выход из единицы сырья
способ	I	II	III	IV
А	2	1	7	4
Б	6	12	2	3

 

3. Решить однородные системы линейных уравнений.

3.1.                           3.2.

3.3.

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

 

1.21

1.22

1.23

1.24

6.4. Домашнее задание

1. Решить системы линейных уравнений:

1.1.                                    1.2.

1.3.                      1.4.

1.5.                              1.6.

1.7.

2. Решить однородные системы линейных уравнений.

2.1.                           2.2.

2.3.                              2.4.

2.5.

3. На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов. Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий А и 328 изделий Б.

Изделие	Выход из единицы сырья
способ	I	II	III	IV
А	2	1	7	4
Б	6	12	2	3