Метод основан на следствии из теоремы Лапласа и заключается в следующем:

1. - с помощью элементарных преобразований получить в некоторой строке (столбце) определителя n-1 нулевой элемент (все, кроме одного);

2. - разложить определитель по элементам полученной строки (столбца);

3. - в результате применения следствия из теоремы Лапласа получится определитель порядка n-1 (на 1 меньше, чем порядок исходного);

4. - повторять указанные действия до тех пор, пока получится определитель третьего или второго порядка;

5. - полученный определитель вычислить одним из указанных выше способов.

Пример выполнения заданий практической части

Пример 1. Найти значение определителя, пользуясь правилом треугольника: .

Решение.

Для вычисления значения определителя воспользуемся формулой .

Получаем:

Пример 2. Найти значение определителя методом приведения к треугольному виду: .

Решение.

Для приведения определителя к треугольному виду воспользуемся элементарными преобразованиями.

Сначала получим а₁₁=1.

[поменяем местами первый и второй столбец, поменяв при этом знак перед определителем]= – [будем получать нули в первом столбце; умножим первую строку на 10 и сложим со второй] =

= – [умножим первую строку на 3 и вычтем из третьей] =

= - [умножим первую строку на 3 и сложим с четвертой]=

= – [поменяем местами вторую и третью строки, поменяв знак перед определителем]= [ будем получать нули во втором столбце; умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей]= [умножим вторую строку

на 3 и вычтем из четвертой]= [умножим третью строку на 4 и вычтем из четвертой] = [умножим четвертую строку на 4 сложим с третьей]= [умножим третью строку на 3 и сложим с четвертой]= = [определитель приведен к треугольному виду; найдем произведение элементов главной диагонали]=37.

Пример 3. Найти значение определителя, разложив его по элементам первой и третьей строки: .

Решение.

Для вычисления значения определителя, воспользуемся теоремой Лапласа. Так как указано две строки, а данный определитель четвертого порядка, то и миноры, и их алгебраические дополнения будут являться определителями второго порядка. Получаем:

= + +

+ + +

+ + = (0×3-1×1) ×(-1)⁷×(-11×(-2)-10×2)+(0×5-(-3) ×1) ×(-1)⁸×(-10×(-2)-10×(-3))+(0×(-7)-12×1) ×(-1)⁹(-10×2-(-11) ×(-3))+(1×5-(-3) ×3)

 ×(-1)⁹×(-2×(-2)-10×3)+(1×(-7)-13×3) ×(-1)¹⁰×(-2×2-(-11) ×3)+(-3×(-7)-12×5) ×(-1)¹¹(-2×(-3)-(-10) ×3) = (-1)×(-1) ×2+3×50+(-12) ×(-1) ×(-53)+14×(-1) ×(-26)+(-43) ×29+(-39) ×(-1) ×36=37.

Пример 4. Найти значение определителя методом понижения порядка: .

Решение.

Для того чтобы воспользоваться следствием теоремы Лапласа, получим нули, например, в первом столбце.

  =[умножим первую строку на 2 и сложим со второй]= = =[умножим первую строку на 4 и сложим с третьей]= = =[умножим первую строку на 3 и вычтем из четвертой]= = =[умножим первую строку на 2 и сложим с пятой]=

= =[разложим определитель по элементам первого столбца, учитывая, что все слагаемые в разложении, кроме первого, будут равны нулю]= =[вынесем за знак определителя из третьей строки множитель (-4)]= =[вынесем за знак определителя из первого столбца множитель (-1)]= =[вычтем из первой строки четвертую, чтобы получить единицу в первой строке]= =[в данном случае удобнее получать нули в первой строке, поэтому сложим первый столбец со вторым]= = =[умножим первый столбец на 7 и сложим с третьим]= = =[ умножим первый столбец на 9 и сложим с четвертым]= = =[разложим определитель по элементам первой строки, учитывая, что все слагаемые в разложении, кроме первого, будут равны нулю]=

= = =[вынесем из первой строки множитель 2]= = = =[вынесем из второй строки множитель 2]= =[вынесем из первого столбца множитель 2]= = = =[вынесем из второго столбца множитель 3]= = =[вторую строку умножим на 4 и вычтем из первой]= = =[разложим определитель по элементам первой строки, учитывая, что все слагаемые в разложении, кроме второго, будут равны нулю]= =96×(2×82-11×15)=-96.

Задания для аудиторного занятия

1. Вычислить определители с помощью правила треугольников:

1.1. ;                                        1.2. ..            1.2

2. Решить уравнения:

2.1. ;                         2.2. .

3. Вычислить определитель, разложив его по элементам:

3.1.  4-го столбца;              3.2.  3-ей строки.

4. Вычислить определители методом приведения к треугольному виду:

4.1. ;                                4.2. .

5. Вычислить определители:

5.1. ;                                     5.2.   

5.3. .         4.2.            4.3.

4.4.           4.5.                      4.6.

4.7.                    4.8.                 4.9.

2.4. Домашнее задание

1. Вычислить определители с помощью правила треугольников:

1.1. ;                                                   1.2. .

2. Вычислить определитель, разложив его по элементам:

2.1.  4-ой строки;                          2.2.  3-его столбца.

3. Вычислить определители:

3.1. ;                                                  3.2. ;

3.3.