Если PV – текущая сумма, а i – ставка процента, то будущую сумму FV при простом начислении процентов для n периодов (лет) можно определить как
FV = PV *(1+ i * n ).
Дисконтирование – процесс приведения будущих доходов к их текущей стоимости. Дисконтирование – всегда уменьшение суммы. Математически дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной приращению первоначальной суммы долга.
PV = FV /(1+ i * n ),
где 1/(1+ i * n ) – коэффициент дисконтирования (дисконтный множитель);
Коэффициент дисконтирования – коэффициент, используемый для преобразования будущих значений стоимости в текущую стоимость.
D = FV - PV – дисконт FV.
4.3 Первая (прямая) функция сложного процента.
Накопление суммы денежной единицы
Сложный процент означает, что полученный процент, положенный на депозит вместе с первоначальными инвестициями, становится частью основной суммы. В следующий промежуток времени он наряду с первоначальным депозитом уже сам приносит процент. Простой процент не предполагает получение дохода с процента.
| Год | Проценты | Будущая стоимость |
| 1 | PV*i | FV=PV+PV*i = PV*(1+i) |
| 2 | PV*(1+i)*i | FV= PV*(1+i) + PV*(1+i)*i = PV*(1+i)2 |
| … | … | … |
| n | PV*(1+i)n-1*i | FV= PV*(1+i)n |
Наращение суммы по сложным % можно представить как последующее реинвестирование средств, вложенных под простые % на один период начисления. Присоединение начисленных % к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией %.
Предположим, что 100 руб. положены на счет, ставка по которому составляет 10% и этот процент накапливается раз в год.
| Год | Сложный процент | Простой процент | |
| 0 | Депозит | 100,00 | 100,00 |
| 1 | Полученный процент | 10,00 | 10,00 |
| Остаток, конец года | 110,00 | 110,00 | |
| 2 | Полученный процент | 11,00 | 10,00 |
| Остаток, конец года | 121,00 | 120,00 | |
| 3 | Полученный процент | 12,10 | 10,00 |
| Остаток, конец года | 133,10 | 130,00 | |
| 4 | Полученный процент | 13,31 | 10,00 |
| Остаток, конец года | 146,41 | 140,00 | |
| 5 | Полученный процент | 14,64 | 10,00 |
| Остаток, конец года | 161,05 | 150,00 |
По истечении 5 лет остаток на счете при сложном проценте составит 161,05 руб., а при простом проценте – 150 руб.
Во всех таблицах сложного процента используется формула:
FV =(1+ i ) n ,
где FV – сумма после n периодов;
i – периодическая ставка процента (в долях);
n – число периодов.
Более частое накопление может происходить ежедневно, раз в месяц, квартал, в полгода или непрерывно. Обычно устанавливается номинальная годовая ставка, но при более частом накоплении ставка повышается и называется эффективной. Общая формула остается той же, однако число лет, на протяжении которых происходит накопление, умножается на его частоту в течение одного года; одновременно номинальная годовая ставка процента делится на частоту накопления.
FV = PV *(1+ i / m ) m * n .
Например, 10% ставка при ежеквартальном накоплении означает в действительности, что процент будет выплачиваться по ставке 2,5% за каждый квартал года, то есть четыре раза. Если накопление происходит ежемесячно, то выплачиваемый за месяц процент составит 0,1:12=0,00833.
Чем выше частота накопления, тем быстрее растет денежный остаток. Это означает, что эффективная годовая ставка будет выше номинальной годовой ставки. Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получается в целом за год от начисления %.
4.4 Вторая (обратная) функция сложного процента:
текущая стоимость денежной единицы
(текущая стоимость реверсии)
Текущая стоимость денежной единицы PV – величина, обратная накопленной сумме единицы или будущей стоимости FV. Это текущая стоимость одного рубля, который должен быть получен в будущем (рис. 5). Поскольку целью осуществления инвестиций является получение доходов в будущем, умножение фактора текущей стоимости реверсии на величину ожидаемого будущего дохода является важнейшим шагом при оценке инвестиций.
 |
Рис. 5 - Диаграмма текущей стоимости денежной единицы.
S – депозитная сумма; t – время, годы.
При определении текущей стоимости используют понятия дисконтирование или ставка дисконта, противоположные понятиям накопление и ставка процента, применяемые при расчете накопленной суммы единицы.
Насколько меньше рубль, полученный в будущем, будет стоить рубля сегодняшнего (ставка дисконта), зависит от: а) разрыва во времени между оттоком и притоком денежных средств и б) необходимой ставки процента или дисконта.
Формула расчета текущей стоимости реверсии имеет вид:
 |
Любая задача, которая может быть решена с использованием накопленной суммы единицы, может быть также решена с применением реверсии, но не через умножение, а через деление.
Текущая стоимость денежной единицы приводится в 4 колонке таблиц сложного процента. Вычислить текущую стоимость денежной единицы можно, определив обратную величину от накопленной суммы (из 1 колонки).
Безопасный рубль стоит дороже, чем рискованный. Рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, что вы рассматриваете проект инвестиций в строительство офисного здания. Прогнозные расчеты показали, что через год можно продать офисное здание за 400 000. Какую сумму можно сегодня инвестировать в строительство?
Очевидно, что получаемые через год 400 000 должны включать в себя как начальную инвестированную сумму, так и плату за использование ваших денег. Как определить норму оплаты за это использование?
Как свободный участник рынка, вы можете инвестировать ваши средства в государственные ценные бумаги. При этом предполагается, что государство заплатит за использование капитала 7%, следовательно, вы можете через год получить 400 000, вложив сегодня
PV=400 000 / (1+0,07)=373 832.
В этом случае говорят, что стоимость вашего капитала 7%.
Посмотрим на альтернативную стоимость капитала с точки зрения риска. Предположим, что на рынке акций вы нашли компанию, занимающуюся вложением денег в строительство под 12%. Какую сумму вы должны вложить сегодня?
PV=400 000 / (1+0,12)=357 143.
При более частом дисконтировании интервалы между периодами дисконтирования могут быть короче, чем один год. В расчете текущей стоимости реверсии это учитывается так же, как и при накоплении процента. Номинальная ставка дисконта делится на частоту интервалов, а число периодов в году умножается на число лет.
4.5 Третья (прямая) функция сложного процента:
текущая стоимость единичного аннуитета
Обычный аннуитет
На рис. 6 представлена диаграмма текущей стоимости обычного аннуитета, то есть текущей стоимости серии равновеликих платежей. Аннуитет можно также определить как серию поступлений. Например, право получать 100 руб. в конце каждого года в течение последующих 4 лет создает обычный аннуитет. Эта ситуация может возникнуть, если собственник сдает активы в аренду и хочет получать ежегодную арендную плату. Аналогично обязательство выплачивать ежемесячно 100 руб. в течение следующих 300 месяцев является обычным аннуитетом. Текущая стоимость аннуитета показана на рисунке 6.
аннуитета
Рис. 6. - Текущая стоимость обычного аннуитета
Текущая стоимость обычного аннуитета может быть рассчитана путем оценки каждого платежа в отдельности. Каждое из четырех поступлений можно учесть как отдельную реверсию. При 10%-ной ставке дисконта стоимость первого поступления равна 90,91 руб. (100 × 0,90909 = 90,91); второго – 82,64 руб., третьего – 75,13 руб., четвертого – 68,30 руб. Текущая стоимость всего четырехлетнего аннуитета составляет 316,98 руб. Поэтому при 10%-ной ставке сегодняшние инвестиции в 316,98 руб. (текущая стоимость) являются обоснованной платой за право ежегодного получения 100 руб. на протяжении последующих четырех лет.
В таблицах сложного процента для определения текущей стоимости аннуитета предназначена пятая колонка. Данная таблица показывает факторы с учетом того, что каждый платеж за период равен 1 руб. Это факторы аннуитета или факторы Инвуда по имени Уильяма Инвуда, открывшего этот фактор (1771-1843).
Фактор Инвуда рассчитывается по следующей формуле:
 |
Фактор текущей стоимости аннуитета может быть рассчитан как сумма текущих стоимостей в 1 руб. за определенный временной период:
 |
Для построения аннуитетной таблицы можно просто сложить факторы текущей стоимости единицы за соответствующее число лет.
Чтобы определить текущую стоимость аннуитета, необходимо фактор Инвуда из таблицы умножить на величину платежа.
При укороченных интервалах поступления происходят чаще, раз в полугодие, квартал, месяц. Чтобы учесть это, необходимо номинальную ставку процента разделить на количество периодов в году, а общее число периодов взять равным числу лет, умноженному на число периодов в году.
Авансовый аннуитет
Если собственник договаривается с арендатором, что первый платеж вносится немедленно после подписания контракта, а последующие равные платежи – через определенный период, то такие платежи называются авансовым аннуитетом. При авансовом аннуитете первый платеж не дисконтируется, так как он вносится немедленно после подписания.
 |
Для превращения обычного аннуитета в авансовый необходимо к фактору обычного аннуитета, укороченного на один период, добавить единицу.
PV = PMT*(фактор для n-1 +1).
В нашем примере при авансовом аннуитете текущая стоимость первого платежа – 100 руб., второго – 90,91 руб., третьего – 82,64 руб., четвертого – 75,13 руб. Текущая стоимость авансового аннуитета при 10%-ной ставке составит 348,68 руб.
Дата: 2019-02-02, просмотров: 289.
