Когда используется произвольная глобальная система координат, значения узловых координат ограничены только границами области. Было бы полезным упрощением, если бы экстремальные значения этих координат принимали значения –1, 0 или 1. Этого можно достигнуть выбором локальной (местной) системы координат, привязанной к элементу так, чтобы координаты менялись линейно между нормированными узловыми координатами. Система координат такого типа называется системой локальных (естественных) координат.

Преимущество естественных координат состоит в том, что интегрирование по элементу для метода конечных элементов часто может быть проведено в стандартном аналитическом виде.

Рассмотрим одномерный элемент  с узлами  и  (см. рис. 2.8). Координатами узлов  и  в глобальной системе координат являются  и , соответственно.

Введем локальную систему координат, поместив начало системы в -м узле элемента (см. рис. 2.8)

                                            .                                       (2.25)

Рис. 2.8. Локальная система координат
для одномерного элемента

Для узла  локальная система координат запишется

                                            .                                       (2.26)

Из выражений (2.25), (2.26) видно, что при  – , , а при  – , .

Независимой является только одно из координат  и , что следует из соотношения .

Можно отметить также, что  и . Таким образом

                                          .                                     (2.27)

Как будет показано ниже, обычно элементные вклады могут быть выражены в -координатах как произведение узловых значений и интегралов типа , где  и  целочисленные показатели степени. Интегрирование можно провести аналитически согласно формуле

                                   ,                             (2.28)

где  – длина конечного элемента.

2.5. Локальная система координат для двухмерного симплекс-элемента

Координата площади в двухмерном случае аналогична координате длины в одномерном случае. Для произвольно выбранной точки  в трехузловом элементе площадь треугольника  (см. рис. 2.9) определяется по формуле , а площадь всего треугольника  – по формуле . Тогда отношение площадей

                                              .                                        (2.29)

Рис. 2.9. Три площади, связанные с произвольной
точкой треугольника, и локальные координаты

Ясно, что величина  изменяется в пределах от нуля до единицы. Координаты  и  определяются аналогично

                                        , ,                                   (2.30)

и изменяются в тех же пределах, что и .

Так как ,

                                           .                                      (2.31)

Координаты , ,  называются -координатами.

Изучение свойств , ,  с учетом соотношения (2.31) обнаруживают некоторые интересные сведения. Координатные переменные , ,  представляют собой функции формы для треугольного симплекс-элемента

                                  , , .                             (2.32)

Как видно из рис. 2.9

Подобные соотношения выполняются также для  и . Кроме того, формула (2.31) позволяет утверждать, что в произвольной точке элемента функции формы всегда в сумме равны единице.

Если записать следующие зависимости

                                                                   (2.33)

и разрешить их относительно , , , то в результате получим соотношения, идентичные (2.22).

Формула интегрирования для треугольного симплекс-элемента с использованием -координат имеет вид

                            ,                       (2.34)

Использование соотношения (2.34) может быть проиллюстрировано при вычислении интеграла вида

Этот интеграл по площади элемента преобразуется следующим образом