Когда используется произвольная глобальная система координат, значения узловых координат ограничены только границами области. Было бы полезным упрощением, если бы экстремальные значения этих координат принимали значения –1, 0 или 1. Этого можно достигнуть выбором локальной (местной) системы координат, привязанной к элементу так, чтобы координаты менялись линейно между нормированными узловыми координатами. Система координат такого типа называется системой локальных (естественных) координат.
Преимущество естественных координат состоит в том, что интегрирование по элементу для метода конечных элементов часто может быть проведено в стандартном аналитическом виде.
Рассмотрим одномерный элемент с узлами
и
(см. рис. 2.8). Координатами узлов
и
в глобальной системе координат являются
и
, соответственно.
Введем локальную систему координат, поместив начало системы в -м узле элемента (см. рис. 2.8)
. (2.25)
Рис. 2.8. Локальная система координат
для одномерного элемента
Для узла локальная система координат запишется
. (2.26)
Из выражений (2.25), (2.26) видно, что при –
,
, а при
–
,
.
Независимой является только одно из координат и
, что следует из соотношения
.
Можно отметить также, что и
. Таким образом
. (2.27)
Как будет показано ниже, обычно элементные вклады могут быть выражены в -координатах как произведение узловых значений и интегралов типа
, где
и
целочисленные показатели степени. Интегрирование можно провести аналитически согласно формуле
, (2.28)
где – длина конечного элемента.
2.5. Локальная система координат для двухмерного симплекс-элемента
Координата площади в двухмерном случае аналогична координате длины в одномерном случае. Для произвольно выбранной точки в трехузловом элементе площадь треугольника
(см. рис. 2.9) определяется по формуле
, а площадь всего треугольника
– по формуле
. Тогда отношение площадей
. (2.29)
Рис. 2.9. Три площади, связанные с произвольной
точкой треугольника, и локальные координаты
Ясно, что величина изменяется в пределах от нуля до единицы. Координаты
и
определяются аналогично
,
, (2.30)
и изменяются в тех же пределах, что и .
Так как ,
. (2.31)
Координаты ,
,
называются
-координатами.
Изучение свойств ,
,
с учетом соотношения (2.31) обнаруживают некоторые интересные сведения. Координатные переменные
,
,
представляют собой функции формы для треугольного симплекс-элемента
,
,
. (2.32)
Как видно из рис. 2.9
Подобные соотношения выполняются также для и
. Кроме того, формула (2.31) позволяет утверждать, что в произвольной точке элемента функции формы всегда в сумме равны единице.
Если записать следующие зависимости
(2.33)
и разрешить их относительно ,
,
, то в результате получим соотношения, идентичные (2.22).
Формула интегрирования для треугольного симплекс-элемента с использованием -координат имеет вид
, (2.34)
Использование соотношения (2.34) может быть проиллюстрировано при вычислении интеграла вида
Этот интеграл по площади элемента преобразуется следующим образом
Дата: 2019-02-02, просмотров: 211.