Модель объекта может быть получена аналитически или экспериментально. При аналитическом получении моделей они записываются в виде дифференциальных уравнений на основании законов физики и т.д. При экспериментальном получении моделей их получают на основании экспериментального графика или таблицы чисел.

Принятая структура математической модели передаточной функции объекта – дробно-рациональная функция и звено запаздывания:

.                                                       (12-1)

Существуют объекты с самовыравниванием и без самовыравнивания. При моделировании объекта с самовыравниванием обычно используют цепочку А-звеньев последовательно со звеном запаздывания, передаточная функция имеет вид:

.                                     (12-2)

Объекты без самовыравнивания моделируются цепочкой апериодических звеньев, последовательно с которой включено И-звено и З-звено, передаточная функция имеет вид:

.                                   (12-2)

Простейший вид модели для объекта с самовыравниванием имеет вид:

.                                                    (12-4)

Как видно, в данном случае модель объекта представляет собой последовательное соединение апериодического звена и звена запаздывания. Способ нахождения параметров модели объекта представлен на рис. 12-1. Для того, чтобы найти параметры, необходимо провести касательную к точке перегиба переходной характеристики объекта.

Рис. 12-1. Нахождение параметров простейшей модели объекта.

Если полученная точность не удовлетворительна, необходимо усложнить модель.

Следует заметить, что переходная характеристика определяет поведение объекта только в линейном приближении, то есть, вид модели зависит от точки линеаризации, для увеличения точности нужно рассмотреть несколько точек, то есть, снять переходные характеристики в нескольких режимах. Кроме того, экспериментально снятая переходная характеристика фактически является оценкой, то есть, случайной функцией времени, поэтому для повышения точности следует снять несколько реализаций при одном режиме и усреднить по множеству.

Звенья с распределенными параметрами

В состав тепловых объектов часто входят элементы, аккумулирующие емкости в которых имеет распределенный характер. Динамические процессы в таких элементах описываются уравнениями в частных производных. Передаточные функции таких объектов являются трансцендентными функциями s.

Примером объекта с распределенными параметрами является звено запаздывания.

Основные понятия имитационного моделирования. Разностные уравнения

Выражение для y(t) не всегда можно найти путем решения дифференциального уравнения или через преобразования Фурье и Лапласа или через интеграл свертки.

Это происходит потому, что не всегда можно получить математическое описание объекта в явном виде и линеаризовать. Кроме того, исследуемый объект может быть подвержен одновременному действию нескольких возмущений, поступающих на различные входы. Возмущения могут быть различного характера, в том числе, случайные.

В описанных случаях можно применять имитационное моделирование, то есть, численное решение дифференциальных уравнений (для дифференциальных уравнений первого порядка – метод Эйлера).

Например, для апериодического звена можно записать:

;                                                             (12-5)

.                                                         (12-6)

Из последней формулы можно с помощью арифметических преобразований выразить y_i+1. Полученная формула носит название рекуррентной и для А-звена имеет вид:

.                                                     (12-7)

Аналогичные формулы могут быть получены для всех элементарных звеньев. Далее модель объекта может быть "набрана" из элементарных звеньев, как из блоков. Пусть имеется система, показанная на рис. 12-2.

Рис. 12-2. Параллельное соединение А и И-звеньев.

При реализации в программе MathCad формулы для данного случая будут иметь вид:

.                                                 (12-8)

Контрольные вопросы       

В чем состоит принцип наложения?

Какая динамическая система называется линейной?

Какие существуют типовые (или тестовые) входные воздействия?

Что называется функцией Хевисайда?

Что называется переходной характеристикой?

Что называется функцией Дирака?

Что называется импульсной переходной характеристикой?

Как можно экспериментально найти переходную/импульсную переходную характеристику?

Как можно представить произвольное входное воздействие в виде последовательности импульсов? В виде последовательности ступенек?

Что называется интегралом свертки?

В чем состоит различие статической и динамической систем?

Запишите формулу прямого и обратного преобразования Лапласа.

Для чего применяется преобразование Лапласа?

Запишите изображение по Лапласу функции Хевисайда, линейной функции, экспоненты.

Каковы свойства преобразования Лапласа?

Как вычислить начальное и конечное значение оригинала, зная изображения?

Что называется передаточной функцией?

Каким образом можно получить передаточную функцию по дифференциальному уравнению системы?

Каким образом можно решить дифференциальное уравнение с помощью преобразования Лапласа?

Запишите дифференциальное уравнение апериодического звена, постройте его характеристики.

Приведите пример технической реализации А-звена.

Какие существуют типовые соединения звеньев?

Как найти передаточную функцию системы, состоящей из последовательно соединенных звеньев, зная передаточные функции составляющих?

Можно ли найти переходную характеристику системы, состоящей из последовательно соединенных звеньев, перемножив переходные характеристики входящих в нее звеньев? Почему?

Как найти АЧХ и ФЧХ системы, состоящей из последовательно соединенных звеньев, зная АЧХ и ФЧХ составляющих?

Как найти передаточную функцию системы, состоящей из параллельно соединенных звеньев, зная передаточную функцию каждого звена?

Как найти переходную характеристику параллельного соединения звеньев, зная переходные характеристики каждого звена?

Какие существуют виды обратной связи?

Как найти передаточную функцию системы с обратной связью, зная передаточные функции составляющих?